1、高三文科数学试题 第1页,共6页文科数学(本试卷考试时间120分钟,满分150分)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.选考题作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小
2、题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A=x|x-20,B=0,1,2,则 AB 等于()A.0B.1C.2D.1,22.设z=1-i1+i+2i,则|z|等于()A.0B.12C.1D.23.已知a=0.2,b=log2,c=cos 2,则()A.cbaB.bcaC.cabD.ac0,b0)的右焦点为 F,过点 F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A(点 A 在第一象限),点 B 在双曲线C 的渐近线上,且BFOA,若 ABOB=0,则双曲线C 的离心率为()A.2 33B.2C.3D.29.2020年12月17日凌晨,嫦娥五号
3、返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度,主要是因为它采用弹跳式返回弹道,实现了减速和再入阶段弹道调整,这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面,假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s,这是第一次“打水漂”,然后石片在水面上多次“打水漂”,每次“打水漂”的速率为上一次的90%,若要使石片的速率低于60 m/s,则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据:取ln 0.6-0.511,ln 0.9-0.105)()A.4B.5C.6D.7高三文科数学试题 第3页,共6页10.已知定义域为 R的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=
4、0,且f(1-x)=f(1+x),则下列结论一定正确的是()A.f(x+2)=f(x)B.函数y=f(x)的图象关于点(2,0)对称C.函数y=f(x+1)是奇函数D.f(2-x)=f(x-1)11.已知三棱锥 A-BCD 的外接球为球O,BCD 是边长为3 3的正三角形,若三棱锥 A-BCD体积的最大值为81 34,则球O 的体积为()A.5003 B.2563 C.100D.6412.若x0,1时,ex-|2x-a|0,则a 的取值范围为()A.-1,1B.2-e,e-2C.2-e,1D.2ln 2-2,1二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知单位向量a,b 满足(a+
5、b)(a-2b),则a 与b 的夹角为 .14.若loga4b=-1,则a+b 的最小值为 .15.已知直线y=kx 与函数f(x)=ln x 的图象相切,则k=.16.声音是物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y=Asin t,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sin x+12sin 2x,则下列结论正确的是 .(填序号)2是f(x)的一个周期;f(x)在0,2上有3个零点;f(x)的最大值为3 34;f(x)在 0,2上是增函数.三、解答题:共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试
6、题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)已知各项都不相等的数列an满足an+2=3an+1-2an.(1)证明:数列an+1-an为等比数列;(2)若a1=1,a2=3,求an的通项公式.高三文科数学试题 第4页,共6页18.(12分)如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 为菱形,且DAB=3,AB=2,EFAC,EA=ED=3,BE=5.(1)求证:平面EAD平面 ABCD;(2)求三棱锥F-BCD 的体积.19.(12分)中央电视台“国家品牌计划”栏目组为了做好新能源汽车的品牌推介,利用网络平台对年龄(单位:岁)在20
7、,60内的人群进行了调查,并从参与调查者中随机选出600人,把这600人分为对新能源汽车比较关注和不太关注两类,并制成如下表格:年龄20,30)30,40)40,50)50,60性别男性女性男性女性男性女性男性女性人数4010120701601008020比较关注所占比例20%50%60%70%70%80%60%80%(1)填写列联表,并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与对新能源汽车的关注有关;比较关注不太关注总计男性女性总计(2)为了进一步了解不同性别的消费者对新能源汽车的关注情况,采用分层抽样的方法从这600人中选出6人进行访谈,最后从这6人中随机选出2名参与
8、电视直播节目,求其中恰好有一名女性参与电视直播节目的概率.附:P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.高三文科数学试题 第5页,共6页20.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 22,过 F2 且垂直于x 轴的直线交椭圆于M,N 两点,且|MN|=2.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过F2 的直线l交椭圆C 于A,B 两点,若ABF1 内
9、切圆的周长为4 59,求直线l的方程.21.(12分)已知函数f(x)=x2+2x+aln x.(1)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调函数,求实数a 的取值范围;(2)当t1时,不等式f(2t-1)2f(t)-3恒成立,求实数a 的取值范围.高三文科数学试题 第6页,共6页(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.【选修4-4:坐标系与参数方程】(10分)在直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为x=2-22t,y=1+22t(t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的单位长度,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴
10、)中,圆C 的极坐标方程为=4cos.(1)求圆C 的直角坐标方程;(2)设圆C 与直线l交于点A,B,若点P 的坐标为(2,1),求|PA|+|PB|.23.【选修4-5:不等式选讲】(10分)已知函数f(x)=|x-a|+2 x+12.(1)当a=2时,解不等式f(x)5;(2)若对任意的xR,不等式|x-2|+|x-a|f(x)+2m2+4m(m0)恒成立,求实数 m 的取值范围.高三文科数学试题答案 第1页,共4页文科数学答案精析1.C A=x|x2,B=0,1,2,则AB=2.2.C z=1-i1+i+2i=(1-i)(1-i)(1+i)(1-i)+2i=-i+2i=i,所以|z|=
11、1.3.A a=0.20=1,12,b=log2(0,1),22,c=cos 20,cb0.5,前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.480.5,所以2x2.5.由0.5(x-2)=0.50-0.48,解得x=2.04.8.A 如图,易知 A c,bca ,直线BF 的方程为y=ba(x-c),直线OB 的方程为y=-bax,联立得B c2,-bc2a ,ABOB=0,ABOB,bca+bc2ac-c2=ab a2=3b2,又c2=a2+b2,c2=43a2,e2=c2a2=43,e=2 33.9.C 设石片第n 次“打水漂”时的速率为vn,则vn=1000.90n-1
12、.由1000.90n-160,得0.90n-10.6,则(n-1)ln 0.90ln 0.6ln 0.9-0.511-0.1054.87,则n5.87,故至少需要“打水漂”的次数为6.10.B 在f(1-x)=f(1+x)中,把x 换成1+x,得f(1-(1+x)=f(1+(1+x),即f(x+2)=f(-x);把 x 换 成 1-x,得 f(1-(1-x)=f(1+(1-x),即 f(x)=f(2-x).根 据f(-x)+f(x)=0,得f(x+2)+f(2-x)=0,在高三文科数学试题答案 第2页,共4页y=f(x)的图象上任取一点 P(2+x,y),则y=f(x+2)=-f(2-x),即
13、 点 P(2-x,-y)在y=f(x)的图象上,而点 P(2+x,y)和点 P(2-x,-y)关于点(2,0)对称,所以由点 P 的任意性,知函数y=f(x)的图象关于点(2,0)对称.11.A 设三棱锥 A-BCD 的高为h,当球心 O 在三棱锥A-BCD 的高线上时,三棱锥 A-BCD 的体积 最 大,此 时 13 12 3 3 3 3 32h=81 34,解得h=9.设球 O 的半径为R,则(9-R)2+23 32 3 3 2=R2,解得R=5,所以球 O 的体积为43R3=5003.12.D 由题意得2x-ex a2x+ex 对x0,1恒成立,令f(x)=2x-ex,g(x)=2x+e
14、x,f(x)=2-ex 在0,1上单调递减,且f(ln 2)=0,f(x)在(0,ln 2)上单调递增,在(ln 2,1)上单调递减,af(x)max=f(ln 2)=2ln 2-2,又g(x)=2x+ex 在0,1上单调递增,ag(x)min=g(0)=1,a 的取值范围为2ln 2-2,1.13.180解析 由(a+b)(a-2b),得(a+b)(a-2b)=a2-ab-2b2=-1-ab=0,ab=-1.设a 与b 的夹角为,则cos=ab|a|b|=-1,因此a 与b 的夹角为180.14.1解析 由loga4b=-1得a=14b0,即ab=14,所以a+b2 ab=1.当且仅当a=b
15、=12时等号成立 15.1e解析 设切点为(x0,ln x0),则k=f(x0)=1x0,所以切线方程为y-ln x0=1x0(x-x0),即y=1x0 x+ln x0-1,所以ln x0-1=0,所以x0=e,所以k=1e.16.解析 y=sin x 的最小正周期是2,y=12sin 2x的最小正周期是22=,所以f(x)=sin x+12sin 2x 的最小正周期是2,故正确;当f(x)=sin x+12sin 2x=0,x0,2时,sin x+sin xcos x=0,即sin x(1+cos x)=0,即sin x=0或1+cos x=0,解得x=0或x=或x=2,所以f(x)在0,2
16、上有3个零点,故正确;f(x)=sin x+12sin 2x=sin x+sin xcos x,f(x)=cos x+cos2x-sin2x=2cos2x+cos x-1,令f(x)=0,解得cos x=12或cos x=-1,当x 0,3 或x 53,2 时,12cos x0,则 f(x)在 0,3 ,53,2 上单调递增,当x 3,53 时,-1cos x6.635,因此,在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为性别与对新能源汽车的关注有关.(6分)(2)由(1)知采用分层抽样从600人中抽取6人,抽取的男性人数为400 6600=4,分别记为D,E,F,G,则抽取的女性人数为2,分别
17、记为a,b.再从这6人中随机选出2人,总的基本事件有 15个:a,b,a,D,a,E,a,F,a,G,b,D,b,E,b,F,b,G,D,E,D,F,D,G,E,F,E,G,F,G.(8分)记“恰好有一名女性参与电视直播节目”为事件 A,其包含的基本事件有8个:a,D,a,E,a,F,a,G,b,D,b,E,b,F,b,G.(10分)所以P(A)=815,即恰好有一名女性参与电视直播节目的概率为815.(12分)20.解(1)由题意可知e=ca=22.(1分)因为过 F2 且垂直于 x 轴的直 线 交 椭 圆 于 M,N两点,且|MN|=2,所以2b2a=2.(3分)结合a2=b2+c2,解得
18、a=2,b=1,c=1.所以椭圆C 的标准方程为x22+y2=1.(5分)(2)ABF1 内切圆的半径r=4 592=2 59.(6分)由椭圆的定义,得ABF1 的周长为4a=4 2,(7分)则ABF1 的面积S=122 59 4 2=4 109.(8分)设点 A,B 的纵坐标分别为y1,y2,则有S=12|y2-y1|2=4 109,得|y2-y1|=4 109,得(y2+y1)2-4y1y2=16081.(10分)设直线l的方程为my=x-1.由x22+y2=1,my=x-1,消去x 并整理,得(m2+2)y2+2my-1=0,0显然成立.则有y1+y2=-2mm2+2,y1y2=-1m2
19、+2,所以-2mm2+2 2+4m2+2=16081.整理,得20m4-m2-1=0,解得 m=12.(11分)故直线l的方程为2xy-2=0.(12分)21.解(1)函数f(x)的定义域是(0,+),f(x)=2x+2+ax=2x2+2x+ax,(1分)高三文科数学试题答案 第4页,共4页因为函数f(x)在区间(0,1)上为单调函数,所以只需使f(x)0或f(x)0在区间(0,1)上恒成立,(3分)即a-(2x2+2x)或a-(2x2+2x)在区间(0,1)上恒成立,解得a0或a-4,故实数a 的取值范围是(-,-40,+).(5分)(2)不等式f(2t-1)2f(t)-3,可化为2t2-4
20、t+2aln t2-aln(2t-1),即2t2-aln t22(2t-1)-aln(2t-1),(8分)记g(x)=2x-aln x(x1),易知t22t-1,所以g(x)=2x-aln x(x1)是增函数.(10分)即g(x)=2-ax 0在1,+)上恒成立,即a2x 在1,+)上恒成立,故a2,故实数a 的取值范围是(-,2.(12分)22.解(1)由题意得圆C 的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.(3分)(2)设点 A,B 对应的参数分别为t1,t2,将x=2-22t,y=1+22t 代入(x-2)2+y2=4整理,得t2+2t-3=0,则 t1+t2=-2,t1t2=-3,(5分
21、)又点P 在直线l上,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=14.(10分)23.解(1)因为a=2时,不等式f(x)5可变形为|x-2|+|2x+1|5,采用分类讨论的方式:当x2时,x-2+2x+15,解得x2;当-12x5,无解;当x-12时,2-x-2x-15,解得x0)可变形为|x-2|-|2x+1|2m2+4m(m0),设g(x)=|x-2|-|2x+1|,则g(x)=x+3,x2,故g(x)的最大值为g-12 =52,(7分)因为对于任意的xR,不等式|x-2|+|x-a|f(x)+2m2+4m(m0)恒成立,所以2m2+4m52,即4m2+8m-50,解得 m12或 m-52,(9分)因为 m0,所以 m 12,+.(10分)
