1、1.1归纳推理明目标、知重点1.了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理.2.了解归纳推理在数学发展中的作用1归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理2归纳推理的思维过程大致是实验、观察概括、推广猜测一般性结论3归纳推理具有如下的特点(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理；(2)由归纳推理得到的结论不一定正确；(3)归纳推理是一种具有创造性的推理 情境导学佛教百喻经中有这样一则故事从前有一位富翁想吃芒果，打发他的仆人到果园去买，并告诉他：“要甜的，好吃的，你才买”仆人拿好钱就去了到了果园，园主说：“
2、我这里树上的芒果个个都是甜的，你尝一个看”仆人说：“我尝一个怎能知道全体呢？我应当个个都尝过，尝一个买一个，这样最可靠”仆人于是自己动手摘芒果，摘一个尝一口，甜的就都买回去带回家去，富翁见了，觉得非常恶心，一齐都扔了想一想：故事中仆人的做法实际吗？换作你，你会怎么做？学习了下面的知识，你将清楚是何道理探究点一归纳推理思考1在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？答根据一个或几个已知
3、的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫做推理思考2观察下面两个推理，回答后面的两个问题：(1)哥德巴赫猜想：633835103712571477165111 000299711 002139863猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电问题：思考2中的两个推理在思维方式上有什么共同特点？其结论一定正确吗？答共同特点：部分推出整体，个别推出一般(这种推理称为归纳推理)其结论不一定正确小结归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(
4、简称归纳)探究点二归纳推理在数列中的应用例1已知数列an的第1项a11，且an1(n1,2,3，)，试归纳出这个数列的通项公式解当n1时，a11；当n2时，a2；当n3时，a3；当n4时，a4.通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出an.反思与感悟归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)归纳推理在数列中应用广泛，我们可以从数列的前几项找出数列项的规律，归纳数列的通项公式或探求数列的前n项和公式跟踪训练1已知数列an满足a11，an12an1(n1,2,3，)(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项
5、公式an.解(1)当n1时，知a11，由an12an1得a23，a37，a415，a531.(2)由a11211，a23221，a37231，a415241，a531251，可归纳猜想出an2n1(nN)探究点三归纳推理在图形变化中的应用例2在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)_；f(n)_(答案用含n的代数式表示)答案10解析观察图
6、形可知：f(1)1，f(2)4，f(3)10，f(4)20，故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第一层的个数，即f(2)f(1)3；f(3)f(2)6；f(4)f(3)10；f(n)f(n1).将以上(n1)个式子相加可得f(n)f(1)3610(1222n2)(123n)n(n1)(2n1).反思与感悟解本例的关键在于寻找递推关系式：f(n)f(n1)，然后用“叠加法”求通项图形中的归纳推理问题主要涉及某固定图形的个数，所以可以转化成数列问题来求解，也可从图形的变化规律入手来求解跟踪训练2在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，由此猜想凸n(n4且nN
7、)边形有几条对角线？解凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条，凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，于是猜想凸n边形比凸(n1)边形多(n2)条对角线因此凸n边形的对角线条数为2345(n2)n(n3)(n4且nN)探究点四归纳推理在算式问题中的应用例3观察下列等式，并从中归纳出一般法则(1)112，1322，13532，135742，1357952，(2)112，23432，34567524567891072，567891011121392，解(1)对于(1)，等号左端是整数，且是从1开始的n项的和，等号的右端是项数的平方；对于(2)，等号的左端是连续自然数的和，且项
8、数为2n1，等号的右端是项数的平方(1)猜想结论：135(2n1)n2(nN)(2)猜想结论：n(n1)(3n2)(2n1)2(nN)反思与感悟对于运算式的猜测和推广，这一类问题需要观察的方面很多：首先是式子的共同结构特点，其次是式子中出现的字母之间的关系，还有化简或运算的结果等等另外要注意对较为复杂的运算式，不要化简，这样便于观察运算规律和结构上的共同点跟踪训练3在ABC中，不等式成立；在四边形ABCD中，不等式成立；在五边形ABCDE中，不等式成立猜想在n边形A1A2An中有怎样的不等式成立？答案(n3且nN)1已知 2，3，4，若 6(a、b均为实数)请推测a_，b_.答案635解析本题
9、考查归纳推理能力，由前面三个等式，发现被开方数的整数与分数的关系：整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 中，a6，b62135.2将全体正整数排成一个三角形数阵：12 3456789101112131415按照以上排列的规律，第n行(n3)从左向右的第3个数为_答案解析前n1行共有正整数12(n1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第3个，即为个3已知正项数列an满足Sn(an)，求出a1，a2，a3，a4，并推测an.解a1S1(a1)，又因为a10，所以a11.当n2时，Sn(an)，Sn1(an1)，两式相减得：an(an)(an1)，即an(an1)所
10、以a22，又因为a20，所以a21.a32，又因为a30，所以a3.a42，又因为a40，所以a42.将上面4个式子写成统一的形式：a1，a2，a3，a4，由此可以归纳推测：an.呈重点、现规律归纳推理的一般步骤(1)对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题，提出带有规律性的结论，即猜想注意：一般性的命题往往要用字母表示，这时需注明字母的取值范围一、基础过关1数列5,9,17,33，x，中的x等于()A47 B65 C63 D128答案B解析5221,9231,17241,33251，归纳可得：x26165.2观察(x2)2
11、x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)等于()Af(x) Bf(x) Cg(x) Dg(x)答案D解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(x)g(x)3f(n)1(nN)，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，推测当n2时，有_答案f(2n)解析f(4)f(22)，f(8)f(23)，f(16)f(24)，f(32)f(25).4已知sin230sin290sin2150，sin25sin265si
12、n2125. 通过观察上述两等式的规律，请你写出一个一般性的命题：_.答案sin2(60)sin2sin2(60)5已知a13，a26且an2an1an，则a33_.答案3解析a33，a43，a56，a63，a73，a86，故an以6个项为周期循环出现，a33a33.6设xR，且x0，若xx13，猜想x2nx2n(nN)的个位数字是_答案7解析当n1时，x2x2(xx1)22927，当n2时，x4x4(x2x2)2249247.猜想x2nx2n的个位数字是7.7已知数列an的前n项和为Sn，a11且Sn120(n2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式解当n1时，S1a11；当n2
13、时，2S13，S2；当n3时，2S2，S3；当n4时，2S3，S4.猜想：Sn(nN)二、能力提升8如图，观察图形规律，在其右下的的空格处画上合适的图形，应为_答案解析观察图中每一行，每一列的规律，从形状和颜色入手每一行，每一列中三种图形都有，故填长方形又每一行每一列中的图形的颜色应有二黑一白9如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为_答案an3n1(nN)解析观察新产生的一个三角形的周围伴随三个着色三角形的产生an3n1.10观察下列等式1211222312223261222324210照此规律，第n个等式可为_答案12223242(1)n1n
14、2(1)n1解析观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(1)n1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，.设此数列为an，则a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anan1n，各式相加得ana1234n，即an123n.所以第n个等式为12223242(1)n1n2(1)n1.11根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式(1)a1a，an1；(2)对一切的nN，an0，且2an1.解(1)由已知可得a1a，a2，a3，a4.猜想an(nN)(2)2an1，2a1
15、1，即2a11，a11.又2a21，2a21，a2a230，对一切的nN，an0，a23.同理可求得a35，a47，猜想出an2n1(nN)12一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分(1)3条直线最多将平面分成多少部分？(2)设n条直线最多将平面分成f(n)部分，归纳出f(n1)与f(n)的关系；(3)求出f(n)解(1)3条直线最多将平面分成7个部分(2)f(n1)f(n)n1.(3)f(n)f(n)f(n1)f(n1)f(n2)f(2)f(1)f(1)n(n1)(n2)22.三、探究与拓展13在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液a升，搅匀后再倒出溶液a升，这叫一次操作，设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn，计算b1、b2、b3，并归纳出计算公式解b1(rp)；b2()2rpp；b3()3rppp归纳得bn()nrppp