1、2021年新疆高三高考数学第二次诊断性测试试卷（理科）（问卷）一、选择题（共12小题）.1复数（+i）2的值是（）AiBiC+iD+i2设集合Ax|x22x30，BxZ|2x2则AB的元素个数为（）A2B3C4D53如图，则（）A23B2+3C32D3+24若实数m，n满足mn，且mn0，则下列选项正确的是（）Am3n30B（）m（）nClg（mn）0D5秦九韶是我国南宋著名数学家，他在1247年完成的著作数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例若输入的n，x的值分别是4，3，则输出的v的值为（）A29B88C264
2、D7916下列命题中正确的是（）A有两个平面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱B各个面都是三角形的几何体是三棱锥C夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体D圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线7以椭圆C：1（ab0）的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆C上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆C的标准方程为（）A1B1C+1D18筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O到水面的
3、距离h为1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒车每秒转动rad，如图1所示，盛水桶M在P0处距水面的距离为3.5m，则9s后盛水桶M到水面的距离近似为（）（取1.4）A1.20mB1.15mC0.35mD0.30m9已知（0，），1+sin2cos2sin，则sin2（）ABCD10某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.7，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于（）A0.2646B0.147C0.128D0.044111已知双曲线C：1（a0，b0）的右
4、焦点为F点M（0，m），其渐近线上一点N满足2，且0（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（）ABCD212定义在（，0）（0，+）上的函数f（x）满足f（x）f（x），且x0时，f（x）若关于x的方程f（x）kx有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A（，）（0，）B（，0）（0，）C（，）（0，）D（，0）（0，）二、填空题（共4小题）.13在（x+）5展开式中，x的系数为 （用数值表示）14若函数f（x）满足当x0时，f（x）log2，当x0时，f（x）f（x2），则f（1） 15如图，在直角ABC中，C，BC2，M是BC的中点，若sinBAM，则AB 16将一边长为4的正方形纸
5、片按照图中的虚线所示的方法剪开后拼接为一正四棱锥，则该正四棱锥外接球的表面积为 三、解答题：第17-21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤。17设数列an的前n项和为Sn，已知a12，Snn2+n，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，若T2n，求n的值182021年1月1日新中国成立以来第一部以“法典”命名的法律中华人民共和国民法典颁布施行，我国将正式迈入“民法典”时代为深入了解民法典，大力营造学法守法用法的良好氛围，高三年级从文科班和理科班的学生中随机抽取了100名同学参加学校举办的“民法典与你同行”知识竞赛，将他们的比赛成绩分
6、为6组：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，得到如图所示的频率分布直方图（1）求a的值；（2）估计这100名学生比赛成绩的中位数（同组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”，请将下面的22列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为“比赛成绩是否优秀与文理科别有关”？优秀非优秀合计文科生30理科生55合计100参考公式及数据：K2，na+b+c+dP（K2k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246
7、.6357.87910.82819已知抛物线y22px（0p4）的焦点为F，点P在抛物线上，点P的纵坐标为6，且|PF|10（1）求抛物线的标准方程；（2）若A，B为抛物线上的两个动点（异于P点）且APAB，求点B纵坐标的取值范围20如图所示，四棱锥PABCD中，PA菱形ABCD所在的平面，ABC60，点E、F分别是BC、PC的中点，M是线段PD上的点（1）求证：平面AEM平面PAD；（2）当ABAP时，是否存在点M，使直线EM与平面ABF所成角的正弦值为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由21已知函数f（x）kexx1，kR（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设关于x的不等式f（x）
8、xexex+m对任意x0，1恒成立时k的最大值为n，其中m1，2，求m+n的取值范围选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。22在极坐标系下，方程2sin3的图形为如图所示的“三叶玫瑰线”（1）当玫瑰线的0，时，求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标；（2）求曲线cos（）2上的点M与玫瑰线上的点N距离的最小值及取得最小值时的点M、N的极坐标23已知x，y0（1）当x+y+xy8时，求x+y的最小值；（2）当x+y2时，证明：x2y2（x2+y2）2参考答案一、选择题（共12小题）.1复数（+i
9、）2的值是（）AiBiC+iD+i解：（+i）2（）2+2i+（）2+i+i，故选：C2设集合Ax|x22x30，BxZ|2x2则AB的元素个数为（）A2B3C4D5解：集合Ax|x22x30x|（x+1）（x3）0x|1x3，又BxZ|2x22，1，0，1，2，所以AB1，0，1，2，故AB的元素个数为4个故选：C3如图，则（）A23B2+3C32D3+2解：由题意得：3+，+4，故3+（+4）23，故选：A4若实数m，n满足mn，且mn0，则下列选项正确的是（）Am3n30B（）m（）nClg（mn）0D解：对于A：mn，m3n3，m3n30，故A正确；对于B：mn，（）m（）n，故B错误
10、；对于C：不妨设m0.1，n0.1，则lg（mn）lg0.20，故C错误；对于D：令m1，n1，则，故D错误；故选：A5秦九韶是我国南宋著名数学家，他在1247年完成的著作数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例若输入的n，x的值分别是4，3，则输出的v的值为（）A29B88C264D791解：模拟程序的运行，可得：n4，x3，v2，i3，满足条件i0，执行循环体，v9，i2，满足条件i0，执行循环体，v29，i1，满足条件i0，执行循环体，v88，i0，满足条件i0，执行循环体，v264，i1，此时，不满足条件i0
11、，退出循环，输出v的值为264故选：C6下列命题中正确的是（）A有两个平面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱B各个面都是三角形的几何体是三棱锥C夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体D圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线解：对于A：上下底面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱，假如两个斜棱柱叠放在一块，就不叫棱柱，故A错误；对于B：各个面都是三角形的几何体是三棱锥，与棱锥的定义矛盾，故B错误；对于C：只有夹在圆柱的两个平行截面间且平行于底面的几何体才是一个旋转体，故C错误；对于D：圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线，故D正确故选：D7以椭圆C：1（a
12、b0）的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆C上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆C的标准方程为（）A1B1C+1D1解：由椭圆短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形可得bc，再由椭圆C上的点到左焦点的最大距离为6，则可得a+c6，又因为a2b2+c2，可得c2+4c120，解得c2，解得：a216，b212，所以椭圆的方程为：+1，故选：C8筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O到水
13、面的距离h为1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒车每秒转动rad，如图1所示，盛水桶M在P0处距水面的距离为3.5m，则9s后盛水桶M到水面的距离近似为（）（取1.4）A1.20mB1.15mC0.35mD0.30m解：如图，设MOP01，MON2，由题意可得sin，所以cos，因为旋转的角度为，所以sinsin，所以hh+rsin1.51.51.50.351.15，故选：B9已知（0，），1+sin2cos2sin，则sin2（）ABCD解：1+sin2cos2sin，2sin2+2sincossin，（0，），sin0，2（sin+cos）1，sin+cos，（sin+cos）21+2si
14、ncos，1+sin2，sin2故选：A10某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.7，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于（）A0.2646B0.147C0.128D0.0441解：该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，该选手第一题答对，第二题答错，第三题和第四题都答对或该选手第一题答错，第二题答错，第三题和第四题都答对，该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为：P0.70.30.70.7+0.30.30.70.70.147故选：B11已知双曲线
15、C：1（a0，b0）的右焦点为F点M（0，m），其渐近线上一点N满足2，且0（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（）ABCD2解：如图，2，点N为FM的三等分点，且靠近M点，0，ONFM，则kONkFM1，即m，2，N（），即N（），代入y，可得，即2a2b2，又b2c2a2，3a2c2，得e故选：C12定义在（，0）（0，+）上的函数f（x）满足f（x）f（x），且x0时，f（x）若关于x的方程f（x）kx有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A（，）（0，）B（，0）（0，）C（，）（0，）D（，0）（0，）解：当x0时，f（x），则f（x），当0xe2时，f（x）0，f（x）单
16、调递增，当xe2时，f（x）0，f（x）单调递减，故f（x）maxf（e2），又当xe时，f（x）0，所以函数f（x）的图像如图：（f（x）f（x）知，函数f（x）为偶函数），方程f（x）kx可以转化为：f（x）+kx，设g（x）f（x）+，可得g（x）的大致图像，设直线yax （a0）和yax与函数g（x）的图像相切，则当0ka或ak0时，ykx与g（x）的图像有3个交点，当ka或ka时，ykx与g（x）的图像有2个交点，当ka或ka时，ykx与g（x）的图像有1个交点，设直线yax和yax与函数g（x）的图像相切与（x0，g（x0），则ag（x0），切线方程为：yg（x0）x，将点（x0，
17、g（x0）代入得g（x0）g（x0）x0，又f（x）g（x），+x0，整理得：x03e2elnx0，由yx+2elnx在（0，+）递增，且xe时，y3e，当x0e时，方程成立，故a，故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13在（x+）5展开式中，x的系数为40（用数值表示）解：二项式（x+）5的展开式中的通项Tr+1x5r2rx52r，令52r1，解得r2，二项式（x+）5的展开式中x的系数为：2240，故答案为：4014若函数f（x）满足当x0时，f（x）log2，当x0时，f（x）f（x2），则f（1）1解：根据题意，当x0时，f（x）f（x2），则f（1）f（12）f（1），又
18、由当x0时，f（x）log2，则f（1）log21，则有f（1）1，故答案为：115如图，在直角ABC中，C，BC2，M是BC的中点，若sinBAM，则AB解：如图，设ACb，ABc，CMMB1，MAC，在ABM中，由正弦定理可得3，解得sinAMB，故coscos（AMC）sinAMCsin（AMB）sinAMB，而在RTACM中，cos，故可得，再由勾股定理可得a2+b2c2，即c，故9b2（1+b2）（4+b2），解得b，可得ABc故答案为：16将一边长为4的正方形纸片按照图中的虚线所示的方法剪开后拼接为一正四棱锥，则该正四棱锥外接球的表面积为解：由图可知，正四棱锥的底面边长为2，斜高为
19、3，则高为，如图，设底面正方形的中心为F，连接AF，则正四棱锥的外接球的球心在AF上，设为O，连接OE，则OAOER（四棱锥外接球的半径），FECE，解得R，则该正四棱锥外接球的表面积为4故答案为：三、解答题：第17-21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤。17设数列an的前n项和为Sn，已知a12，Snn2+n，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，若T2n，求n的值解：（1）当n2时，Sn1（n1）2+（n1），又Snn2+n，两式相减可得，anSnSn1n2+n（n1）2（n1）3n1，上式对n1也成立，所以an3n1，nN*
20、；（2）（），Tn（+）（），若T2n，即，解得n20182021年1月1日新中国成立以来第一部以“法典”命名的法律中华人民共和国民法典颁布施行，我国将正式迈入“民法典”时代为深入了解民法典，大力营造学法守法用法的良好氛围，高三年级从文科班和理科班的学生中随机抽取了100名同学参加学校举办的“民法典与你同行”知识竞赛，将他们的比赛成绩分为6组：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，得到如图所示的频率分布直方图（1）求a的值；（2）估计这100名学生比赛成绩的中位数（同组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩
21、不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”，请将下面的22列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为“比赛成绩是否优秀与文理科别有关”？优秀非优秀合计文科生30理科生55合计100参考公式及数据：K2，na+b+c+dP（K2k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）由题意可知：（0.005+0.010+0.020+0.040+a+0.010）101，解得：a0.015（2）（0.005+0.010+0.020）100.350.5，（0.005+0.010+0.020+0.040）10
22、0.750.5，中位数在70，80）之间，设为m，0.35+（m70）0.040.5，解得：m73.75，这100名学生比赛成绩的中位数估计值为73.75（3）抽取的100名学生中，“优秀”的人数为100（0.015+0.010）1025人，“非优秀”的人数为1002575人，22列联表如下图：优秀非优秀合计文科生153045理科生104555合计2575100K23.033.841，没有95%的把握认为“比赛成绩是否优秀与文理科别有关”19已知抛物线y22px（0p4）的焦点为F，点P在抛物线上，点P的纵坐标为6，且|PF|10（1）求抛物线的标准方程；（2）若A，B为抛物线上的两个动点（异
23、于P点）且APAB，求点B纵坐标的取值范围解：（1）抛物线准线方程为：x将P纵坐标代入抛物线的方程可得：622px，所以x，由抛物线的性质，10+，p0，解得：p18或p2，因为0p4，所以抛物线的标准方程为：y24x；（2）由（1）可得P（9，6），设A（，n），B（，y0），因为APAB，kPA，AB所在的直线方程：yn（x），整理可得：（y+n）（n+6）+160，联立，整理可得：n2+（y+6）n+6y+160，（y+6）24（6y+16）0，解得：y14或y2所以点B纵坐标的取值范围y|y14或y220如图所示，四棱锥PABCD中，PA菱形ABCD所在的平面，ABC60，点E、F分别
24、是BC、PC的中点，M是线段PD上的点（1）求证：平面AEM平面PAD；（2）当ABAP时，是否存在点M，使直线EM与平面ABF所成角的正弦值为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由【解答】（1）证明：因为ABCD为菱形，且ABC60，所以ABC为等边三角形，又E为BC的中点，所以AEBC，因为ADBC，所以AEAD，又PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE，因为PAADA，PA，AD平面PAD，所以AE平面PAD，又AE平面AEM，所以平面AEM平面PAD；（2）解：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设ABAP2，则，所以，故，设（01），M（a，b，c），所以，因为
25、，所以（a，b，c2）（0，2，2），解得M（0，2，2+2），所以，又，设平面ABF的法向量为，则有，即，令y3，则，故，因为直线EM与平面ABF所成角的正弦值为，所以，解得，所以存在M（0，1，1）使直线EM与平面ABF所成角的正弦值为，此时21已知函数f（x）kexx1，kR（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设关于x的不等式f（x）xexex+m对任意x0，1恒成立时k的最大值为n，其中m1，2，求m+n的取值范围解：（1）函数f（x）kexx1，则f（x）kex1，当k0时，f（x）0，则f（x）在R上为减函数；当k0时，令f（x）0，解得，当时，f（x）0，则f（x）单调递减，当
26、时，f（x）0，则f（x）单调递增，所以f（x）单调递减区间为，单调递增区间为综上所述，当k0时，f（x）的单调减区间为R；当k0时，f（x）单调递减区间为，单调递增区间为（2）因为关于x的不等式f（x）xexex+m对任意x0，1恒成立，所以对任意x0，1恒成立，令，则，令p（x）exxm，则p（x）ex10，所以p（x）在0，1上单调递增，当p（0）0，即m1时，因为m1，2，所以m1，当x0，1时，p（x）0，即g（x）0，所以g（x）在0，1上单调递增，所以ng（x）ming（0）1，故n+m2；当p（0）0，即me1，2时，因为x0，1，则p（x）0，即g（x）0，所以g（x）在x0
27、，1上单调递减，所以，故n+m；当p（0）p（1）0，即m（1，e1）时，因为p（x）exxm在0，1上单调递增，所以存在唯一的x0（0，1），使得p（x0）0，即，则当x（0，x0）时，p（x）0，则g（x）0，故g（x）单调递减，当x（x0，1）时，p（x）0，则g（x）0，故g（x）单调递增，所以n+m，设，则，所以u（x）在（0，1）上单调递增，所以n+m综上所述，n+m选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。22在极坐标系下，方程2sin3的图形为如图所示的“三叶玫瑰线”（1）当玫瑰线的0，
28、时，求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标；（2）求曲线cos（）2上的点M与玫瑰线上的点N距离的最小值及取得最小值时的点M、N的极坐标解：（1）以极点为圆心的单位圆，所以1，即2sin31，整理得，0，所以，整理得故交点为（1，）或（1，）（2）曲线cos（）2，根据，转换为直角坐标方程为当玫瑰线2sin3，极径的最大值为2时，2，所以N（2，），转换为直角坐标为（），所以：射线ON的方程为y，过N向直线l：作垂线垂足为M，则|MN|，令M（），所以，令直线的斜率为k1，且kMNk11，所以，所以，解得x03，所以，故M（3，），转换为极坐标为M（2，故|MN|所以最小值为2，故此时M（），N（2，）23已知x，y0（1）当x+y+xy8时，求x+y的最小值；（2）当x+y2时，证明：x2y2（x2+y2）2解：（1）x，y0，且x+y+xy8，所以8x+y+xyx+y+，令x+yt可得t2+4t320，解得t4或t8舍去，当且仅当xy2时，x+y取得最小值为4；证明：（2）由x，y0，且x+y2，得x2y2（x2+y2）（）2xy（x2+y2）xy（x2+y2）（2xy）（x2+y2）（）22当且仅当xy1时取等号
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