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[原创]预测2011届高考数学:22空间位置关系与证明.doc

1、第二十二讲 空间位置关系与证明高考在考什么【考题回放】1(浙江)若是两条异面直线外的任意一点,则(B )A过点有且仅有一条直线与都平行B过点有且仅有一条直线与都垂直C过点有且仅有一条直线与都相交D过点有且仅有一条直线与都异面2(06湖南)如图,过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有( D )A.4条 B.6条 C.8条 D.12条3(湖北)平面外有两条直线和,如果和在平面内的射影分别是和,给出下列四个命题:;与相交与相交或重合;与平行与平行或重合其中不正确的命题个数是()12344.(湖北)关于直线、与平面、,有下列四个命题:(D )

2、且,则; 且,则;且,则; 且,则.其中真命题的序号是: A. 、 B. 、 C. 、 D. 、5在正方形中,过对角线的一个平面交于E,交于F,则( ) 四边形一定是平行四边形 四边形有可能是正方形 四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形 四边形有可能垂直于平面以上结论正确的为 。(写出所有正确结论的编号)6(上海)在平面上,两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种 已知是两个相交平面,空间两条直线在上的射影是直线,在上的射影是直线用与,与的位置关系,写出一个总能确定与是异面直线的充分条件: ,并且与相交(,并且与相交) 高考要考什么一 线与线的位置关系:平行、相交、异面;线与面的位置关系:

3、平行、相交、线在面内;面与面的位置关系:平行、相交; 二转化思想: ;高考将考什么【范例1】如图,在四棱锥中,底面,是的中点()证明;()证明平面;()求二面角的大小()证明:在四棱锥中,因底面,平面,故,平面而平面,()证明:由,可得是的中点,由()知,且,所以平面而平面,底面在底面内的射影是,又,综上得平面()解法一:过点作,垂足为,连结则()知,平面,在平面内的射影是,则因此是二面角的平面角由已知,得设,可得在中,则在中,解法二:由题设底面,平面,则平面平面,交线为过点作,垂足为,故平面过点作,垂足为,连结,故因此是二面角的平面角由已知,可得,设,可得,于是,在中,所以二面角的大小是所以

4、二面角的大小是M变式:如图,在五面体中,点是矩形的对角线的交点,面是等边三角形,棱(1)证明/平面;(2)设,证明平面证明:()取CD中点M,连结OM.在矩形ABCD中,又,则,连结EM,于是四边形EFOM为平行四边形. 又平面CDE, EM平面CDE, FO平面CDE()证明:连结FM,由()和已知条件,在等边CDE中,且.因此平行四边形EFOM为菱形,从而EOFM而FMCD=M,CD平面EOM,从而CDEO. 而,所以EO平面CDF. 【点晴】本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识,注意线面平行和线面垂直判定定理的使用,考查空间想象能力和推理论证能力。ABCD【范例2】如图,在

5、六面体中,四边形是边长为2的正方形,四边形是边长为1的正方形,平面,平面,()求证:与共面,与共面()求证:平面平面;()求二面角的大小(用反三角函数值表示)证明:以为原点,以所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系如图,则有ABCD()证明:与平行,与平行,于是与共面,与共面()证明:,与是平面内的两条相交直线平面又平面过平面平面()解:设为平面的法向量,于是,取,则,设为平面的法向量,于是,取,则,二面角的大小为解法2(综合法):()证明:平面,平面ABCD,平面平面于是,设分别为的中点,连结,有,于是由,得,故,与共面过点作平面于点,则,连结,于是,所以点在上,故与共面()证明:平面,

6、又(正方形的对角线互相垂直),与是平面内的两条相交直线,平面又平面过,平面平面()解:直线是直线在平面上的射影,根据三垂线定理,有过点在平面内作于,连结,则平面,于是,所以,是二面角的一个平面角根据勾股定理,有,有,二面角的大小为变式(07江苏)如图,已知是棱长为的正方体,点在上,点在上,且(1)求证:四点共面;(4分)(2)若点在上,点在上,垂足为,求证:平面;(4分)(3)用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小,求证明:(1)建立如图所示的坐标系,则,所以,故,共面又它们有公共点,所以四点共面(2)如图,设,则,而,由题设得,得因为,有,又,所以,从而,故平面(3)设向量截面,于是,而,得,

7、解得,所以又平面,所以和的夹角等于或(为锐角)于是故【范例3】如图,在长方体AC1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.(1)证明:D1EA1D;(2)当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离;(3)AE等于何值时,二面角D1ECD的大小为.解析:法1(1)AE面AA1DD1,A1DAD1,A1DD1E(2)设点E到面ACD1的距离为h,在ACD1中,AC=CD1=,AD1=,故(3)过D作DHCE于H,连D1H、DE,则D1HCE, DHD1为二面角D1ECD的平面角. 设AE=x,则BE=2x法2:以D为坐标原点,直线DA、DC、DD1分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标

8、系,设AE=x,则A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0), C(0,2,0).(1)(2)因为E为AB的中点,则E(1,1,0),从而,设平面ACD1的法向量为,则也即,得,从而,所以点E到平面AD1C的距离为(3)设平面D1EC的法向量,由 令b=1, c=2, a=2x,依题意(不合,舍去), .AE=时,二面角D1ECD的大小为.变式:如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD 为矩形,AB=8,AD=4,侧面PAD为等边三角形,并且与底面所成二面角为60.()求四棱锥PABCD的体积;()证明PABD. 解析:()如图,取AD的中点E,连结PE,则PEA

9、D.作PO平面在ABCD,垂足为O,连结OE.根据三垂线定理的逆定理得OEAD,所以PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角,由已知条件可知PEO=60,PE=6,所以PO=3,四棱锥PABCD的体积VPABCD=()法1 如图,以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P(0,0,3),A(2,3,0),B(2,5,0),D(2,3,0) 所以因为 所以PABD. 法2:连结AO,延长AO交BD于点F.通过计算可得EO=3,AE=2,又知AD=4,AB=8,得所以RtAEORtBAD.得EAO=ABD. 所以EAO+ADF=90 所以 AFBD.因为 直线AF为直线PA在平面ABCD 内的身影,所以PABD.【点晴】本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力,解题的关键是二面角的使用。使用空间向量能降低对空间想象能力的要求,但坐标系的位置不规则,注意点坐标的表示。

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