1、控江中学2016届高三下半学期毕业考 数学(文科)试卷2016.5一. 填空题(每小题4分, 共56分).1. 集合, , 则等于_.2. 函数的定义域是_.3. 已知函数, 则_.4. 若复数所对应的点在直线上, 则的值为_.5. 各项均为实数的等比数列的前项和为, 已知成等差数列, 则数列的公比为_.6. 已知平面上四点满足, 则_.7. 若对任意正实数, 不等式恒成立, 则实数的最大值为_.8. 如图, 水平放置的正三棱柱的主视图是一边长为的正方形, 则该三棱柱的左视图的面积为_.9. 对于抛物线, 设直线过的焦点, 且与的轴的夹角为. 若被所截得的弦长为, 则抛物线的焦点到顶点的距离为
2、_.10. 已知实数满足 则目标函数的取值范围为_.11. 函数的图像的一个对称中心的坐标是_.(只需要写出一个对称中心的坐标)12. 某班级有名学生被某大学综合评价录取后, 该大学提供了个专业由这名学生选择, 每名学生只能选择一个专业, 假设每名学生选择每个专业都是等可能且独立的, 则这个专业都有学生选择的概率是_.13. 设分别为双曲线的左、右焦点, 若在双曲线右支上存在点, 满足, 且到直线的距离等于双曲线的实轴长, 则该双曲线的渐近线的方程为_.14. 如图, 是同一平面内的三条平行直线, 在的同侧. 与的距离是, 与的距离是, 边长为的正三角形的三个顶点分别在上, 则_.二. 选择题
3、(每小题5分, 共20分).15. 下列函数中, 与函数的值域相同的函数为_.(A) (B) (C) (D) 16. 角终边上有一点, 则下列各点中在角的终边上的点是_.(A) (B) (C) (D) 17. 无穷等比数列的各项和为, 第二项为, 则该数列的公比为_.(A) (B) (C) (D) 或18. 正四面体中, 的中点依次记为. 直线与的关系是_.(A) 相交且垂直(B) 异面且垂直(C) 相交且不垂直(D) 异面且不垂直三. 解答题(五题分别为12,14,14,16,18分, 共74分).19. (本题满分12分, 其中第1小题6分, 第2小题6分).已知复数、(, 是虚数单位)在
4、复平面上对应的点依次为、, 点是坐标原点.(1) 若, 求的值;(2) 若点的横坐标为, 求.20. (本题满分14分, 其中第1小题6分, 第2小题8分).某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐(不计厚度, 长度单位为米), 其中储油罐的中间为圆柱形, 左右两端均为半球形, (为圆柱的高, 为球的半径, ). 假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平方米建造费用为千元, 半球形部分每平方米建造费用为千元. 设该储油罐的建造费用为千元.(1) 写出关于的函数表达式, 并求该函数的定义域;(2) 若预算为万元, 求所能建造的储油罐中的最大值(精确到), 并求此时储油罐的体积(单位
5、: 立方米, 精确到立方米).21. (本题满分14分, 其中第1小题7分, 第2小题7分).已知. 是不小于的固定正整数.(1) 解不等式;(2) 试分别证明: 函数在内有一个零点, 且在内仅有一个零点.22. (本题满分16分, 其中第1小题5分, 第2小题5分, 第3小题6分).如图, 在平面直角坐标系中, 过轴正方向上一点任作一直线, 与抛物线相交于两点, 一条垂直于轴的直线分别与线段和直线交于点.(1) 若, 求的值;(2) 若, 为线段的中点, 求证: 直线与该抛物线有且仅有一个公共点.(3) 若, 直线的斜率存在, 且与该抛物线有且仅有一个公共点, 试问是否一定为线段的中点? 说
6、明理由.23. (本题满分16分, 其中第1小题4分, 第2小题8分, 第3小题6分).在数列中, 若是正整数, 且, , 则称为“D-数列”.(1) 举出一个前五项均不为零的“D-数列”(只要求依次写出该数列的前五项);(2) 若“D-数列”中, , , 数列满足, , 写出数列的通项公式, 并分别判断当时, 与的极限是否存在, 如果存在, 求出其极限值(若不存在不需要交代理由);(3) 证明: 设“D-数列”中的最大项为, 证明: 或. 参考答案一. 填空题(每小题4分, 共56分).1. .2. .3. .4. .5. .6. .7. .8. .9. .10. .11. (或任何一个形如
7、的点).12. .13. .14. .二. 选择题(每小题5分, 共20分).15. B16. C17. D18. A三. 解答题(五题分别为12,14,14,16,18分, 共74分).19. (本题满分12分, 其中第1小题6分, 第2小题6分).(1) . 即.(3分)于是.(6分)(2) .(8分)于是,-(10分)经计算得.(12分)20. (本题满分14分, 其中第1小题6分, 第2小题8分).(1) 半球的表面积, 圆柱的表面积.(2分)于是.(4分)定义域为.(6分)(2) , 即, 解得.-(9分),-(11分)经计算得(立方米).(14分)故的最大值为(米), 此时储油罐的
8、体积约为立方米.21. (本题满分14分, 其中第1小题7分, 第2小题7分).(1) 时, ,-(1分)即.(3分)在上递减,-(5分)故即要求, 即.(7分)(1)另解: 时, ,-(1分)(这里).(3分)由于开口向上, 故即-(5分)解得.(7分)(2) .(2分).(3分)(因连续)故在上有零点.(4分)又在上增, 故零点不会超过一个.(7分)22. (本题满分16分, 其中第1小题5分, 第2小题5分, 第3小题6分).(1) 设.(1分)与联立, 得. 故-(2分)从而-(3分)解得或,-(4分)舍去负值, 得.(5分)(2) 承(1), , 故.(6分).(7分)设在上, 且满
9、足., 故直线的方程为, 而.(9分)故, 与联立得, 故直线与该抛物线有且仅有一个公共点.(10分)(3) 设, 这里, 由(2)知过的与有且仅有一个公共点的斜率存在的直线必为.与相交, 得.(12分)故. , 所以. 与联立, 得, 即, 故.(14分)这样, 即是的中点.(16分)23. (本题满分16分, 其中第1小题4分, 第2小题8分, 第3小题6分).(1) 如等等.(4分)(注: 本题只有0分和4分两档)(2) 因为, , , 故.(7分)的极限不存在.(9分)而时, .(11分) 所以的极限存在, .(12分)(3) 反证法, 假设且.(14分)注意到.(16分)故对一切, 均有, 这与的最大项为矛盾, 从而假设不成立, 或.(18分)