1、双基限时练(十四)1顶点在原点对称轴为x轴，焦点在直线3x4y120上的抛物线的方程为()Ay216x By212xCy216x Dy212x解析直线与x轴的交点坐标为(4,0)，抛物线的焦点为(4,0)，4，p8，抛物线方程为y216x.答案C2过点M(3,2)作直线l与抛物线y28x只有一个交点，这样的直线共有()A0条 B1条C2条 D3条解析因为点(3,2)在抛物线内部，所以只有一条与对称轴平行的直线与抛物线有一个交点答案B3设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为()Ay24x By28xCy24x Dy
2、28x解析由题可知，抛物线焦点坐标为(，0)，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y2(x)，令x0，可得A点坐标为(0，)，所以SOAF4，a8，故选B.答案B4抛物线y22px与直线axy40交于A，B两点，其中A的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F，则|FA|FB|等于()A7 B3C6 D5解析将A(1,2)分别代入抛物线与直线方程可得p2，a2，可得x25x40，x11，x24.|FA|FB|x1x27.答案A5过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标和等于a22a3(aR)的最小值，则这样的直线()A有且仅有一条 B有且仅有两条C有一条或两条 D有无数
3、多条解析由抛物线的定义知，|AB|xAxBp，而a22a3(a1)222，p2，|AB|224.而过焦点最短的弦长|AB|4(即通径长)，这样的直线有且仅有一条答案A6已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y22x上，其中O为坐标原点，则OAB的外接圆的方程是_解析由抛物线的性质知，A，B两点关于x轴对称，所以OAB外接圆的圆心C在x轴上设圆心坐标为(r,0)，并设A点在第一象限，则A点坐标为 (r，r)，于是有(r)22r，解得r4，所以圆C的方程为(x4)2y216.答案(x4)2y2167如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线m交抛物线于A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|B
4、F|，|AF|3，则此抛物线的方程为_解析分别过点A，B作AA1，BB1垂直于l，且垂足分别为A1，B1，由已知条件|BC|2|BF|，得|BC|2|BB1|，BCB130.又|AA1|AF|3，|AC|2|AA1|6.|CF|AC|AF|633.F为线段AC的中点故F到准线的距离p|AA1|，故抛物线的方程为y23x.答案y23x8已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，则点A的坐标为_解析如图，由题意可得|OF|1，由抛物线定义，得|AF|AM|，AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之
5、比为31，3.|AF|AM|3，设A(x0，y0)x013，x02，代入y24x，可得y8.解得y02，点A的坐标是(2，2)答案(2，2)9在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y24x的焦点F，且与该抛物线交于A，B两点，其中点A在x轴上方若直线l的倾斜角为60，则OAF的面积为_解析抛物线y24x的焦点F(1,0)，直线l的方程为y(x1)，由得y24y40.解得y12，y2.A(3,2)，OAF的面积为S12.答案10已知抛物线y2x与直线l：yk(x1)相交于A，B两点(1)求证：OAOB；(2)当OAB的面积等于时，求k的值解 (1)联立消去x，得ky2yk0.设A(x1，y1)，B
6、(x2，y2)，则y1y2，y1y21.yx1，yx2，(y1y2)2x1x2.x1x21.x1x2y1y20，即0.OAOB.(2)设直线l与x轴的交点为N，则N的坐标为(1，0)，SAOB|ON|y1y2|ON|1 ，解得k2，所以k.11.如图，l1，l2是通过某市开发区中心O的南北和东西走向的两条道路，连接M，N两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线l1对称M到l1，l2的距离分别是2 km、4 km，N到l1，l2的距离分别是3 km、9 km.(1)建立适当的坐标系，求抛物线MN的方程；(2)该市拟在点O的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求厂址到点O的距离大于5
7、km而不超过8 km，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于 km，求该厂离点O的最近距离(注：工厂视为一个点)解(1)分别以l2、l1为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则M(2,4)，N(3,9)设MN所在抛物线的方程为yax2c，则有解得故所求抛物线MN的方程为yx2(2x3)(2)设抛物线弧上任意一点P(x，y)，则yx2(2x3,4y9)，厂址为A(0，t)(5t8)由题意|PA|，即y(yt)26，y2(12t)yt260(*)t要使(*)恒成立，只需当y时成立，即(12t)t260，即得4t250，t，又50)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值解(1)由题意知，直线AB的方程为y2，与y22px联立，消去y并整理，得4x25pxp20.|AB|x1x2pp9，解得p4.抛物线方程为y28x.(2)由于p4，则4x25pxp20为4x220x160，即x25x40.解得x11，x24.于是y12，y24.从而A(1，2)，B(4,4)设C的坐标为(x3，y3)，则(x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42)又y8x3，(42)28(41)，即(21)241.解得0或2.