1、易错点30 抛物线及其性质一、单选题1. 以抛物线y2=2px(p0)的焦半径|MF|为直径的圆与y轴的位置关系是A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定2. 设抛物线y2=8x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆x2+y24x+3=0交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则2|AP|+|QB|的最小值为A. 22+3B. 22+5C. 42+3D. 42+53. 已知P为抛物线x2=12y上一个动点，Q为圆x42+y2=1上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到x轴距离之和的最小值是A. 4B. 3C. 2D. 14. 抛物线y2=4x的焦点为F，点P(x,y)为该抛物线上的动
2、点，又点A(1,0)，则|PF|PA|的最小值是A. 12B. 22C. 32D. 2235. 已知F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点，以F2为焦点的抛物线与椭圆交于点P，且PF1F2=4，则椭圆的离心率是A. 31B. 21C. 22D. 326. 已知抛物线y2=2px(p0)，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线上的两点，A,B的中点到抛物线准线的距离为5，ABO的重心为F，则p=A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M,N两点，且MF=2NF，则直线l的斜率为
3、A. 2B. 22C. 22D. 248. 设抛物线y2=4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线与抛物线相交于A,B两点，与抛物线的准线相交于C，若BF=2，则BCF与ACF的面积之比SBCFSACF=A. 35B. 25C. 32D. 23二、填空题9. 设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B,D两点，若ABD=90，且ABF的面积为93，则此抛物线的方程为_10. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x，直线l过抛物线的焦点，直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB长为8，则直线l的方程为_11. 若双曲线C:x2a2
4、y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线围成的三角形面积为2，则双曲线C的离心率为 .12. 抛物线x2=2py(p0)上的点到直线y=x5的最短距离为2，则正数p的值为_。三、解答题13. 已知抛物线C：x2=2pyp0的焦点为F，直线l：y=kx+2交抛物线C于A,B两点，P是线段AB的中点，过作x轴的垂线交抛物线C于点Q(1)若p=4，且AB=16，求直线l的方程；(2)若k=2，且QAQB，求抛物线C的方程14. 已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，准线方程是x=1(1)求此抛物线的方程;(2)设点M在此抛物线上，且|MF|=3，若O为坐标原点，求OFM的面
5、积15. 如图，已知抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F.若M(3,t)(t0)为抛物线C上一点，且|MF|=4(1)求p的值；(2)已知点G(1,0)，延长MF交抛物线C于点N，试判断MGF与NGF的大小关系已知抛物线E：x2=2py(p0)，直线y=kx+2与E交于A，B两点，且OAOB=2，其中O为坐标原点(1)求抛物线E的方程；(2)点C坐标为(0,2)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k222k2为定值一、单选题1. 以抛物线y2=2px(p0)的焦半径|MF|为直径的圆与y轴的位置关系是A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定【答案】B【解析】解：抛物线
6、y2=2px(p0)的焦点F的坐标为(p2,0)，设点M坐标为(x1,y1)，则以MF为直径的圆的圆心是(2x1+p4,y12)，根据抛物线的定义|MF|与M到直线x=p2是等距离的，所以MF为直径的圆的半径为2x1+p4，因此以MF为直径的圆与y轴的位置关系是相切故选B2. 设抛物线y2=8x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆x2+y24x+3=0交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则2|AP|+|QB|的最小值为A. 22+3B. 22+5C. 42+3D. 42+5【答案】C【解析】解：因为圆的方程为即为，所以圆心为即为抛物线的焦点且半径，因为，所以，又因为，所以，设，
7、联立，消去y，整理得，所以，所以，取等号时综上可知：故选：C3. 已知P为抛物线x2=12y上一个动点，Q为圆x42+y2=1上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到x轴距离之和的最小值是A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】解：如图所示，抛物线x2=12y焦点F(0,3)，圆(x4)2+y2=1的圆心为S(4,0)，半径r=1设P在准线上的射影为R，|PQ|PS|QS|=|PS|1，|PR|=|PF|，|PQ|+|PR|PS|+|PF|1，|PS|+|PF|FS|=042+32=5，|PQ|+|PR|51=4，当且仅当F，P，Q，S共线且依序排列时取等号，则点P到点Q的距离与点P到
8、x轴距离之和的最小值：4p2=43=1，故选D4. 抛物线y2=4x的焦点为F，点P(x,y)为该抛物线上的动点，又点A(1,0)，则|PF|PA|的最小值是A. 12B. 22C. 32D. 223【答案】B【解析】解：作抛物线y2=4x的准线方程为x=1，如图，过P作PN垂直于直线x=1于N，由抛物线的定义，可知|PF|=|PN|，在RtPAN中，sinPAN=PNPA，当PNPA=PFPA最小时，sinPAN最小，即PAN最小，即PAF最大，此时，PA为抛物线的切线，设PA的方程为y=k(x+1)，联立y=k(x+1)y2=4x，得k2x2+(2k24)x+k2=0，所以=(2k24)2
9、4k4=0，解得k=1，所以PAF=PAN=45，所以|PF|PA|min=sin45=22，故选B5. 已知F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点，以F2为焦点的抛物线与椭圆交于点P，且PF1F2=4，则椭圆的离心率是A. 31B. 21C. 22D. 32【答案】B【解析】解：由题意，设PF2=t，则PF1=2at，F1F2=2c，由，由余弦定理得，t2=(2at)2+4c24c(2at)22，化简整理得t=2a2+2c222ac2a2c，又设点P的横坐标为x0，则由题意，抛物线方程为y2=4cx，与x2a2+y2b2=1(ab0)联立，消去y得b2x2+4a2c
10、xa2b2=0，解得x0=a(ac)a+c，又由题意，t=x0+c，可得2a2+2c222ac2a2c=a(ac)a+c+c，化简整理得，e22(21)e+(21)2=0，解得e=21，故选B6. 已知抛物线y2=2px(p0)，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线上的两点，A,B的中点到抛物线准线的距离为5，ABO的重心为F，则p=A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】解：由题知抛物线y2=2px(p0)的焦点Fp2,0，准线为x=p2，A(x1,y1),B(x2,y2)，A,B的中点x1+x22,y1+y22，ABO的重心为F，x1+x2+
11、03=p2且A,B的中点在x轴上，A,B的中点到抛物线准线的距离为5，x1+x22+p2=5，联立得p=4故选D7. 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M,N两点，且MF=2NF，则直线l的斜率为A. 2B. 22C. 22D. 24【答案】B【解析】解：依题意F(1,0)，设直线AB的方程为x=my+1，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y24my4=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以y1+y2=4m，y1y2=4，因为|MF|=2|NF|，所以y1=2y2，联立和，消去y1，y2，得m=24，所以直线AB的斜率是22.故选：B8. 设抛物线y
12、2=4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线与抛物线相交于A,B两点，与抛物线的准线相交于C，若BF=2，则BCF与ACF的面积之比SBCFSACF=A. 35B. 25C. 32D. 23【答案】B【解析】解：如图过B作准线l：x=1的垂线，垂足分别为A1，B1，SBCFSACF=|BC|AC|，又B1BCA1AC、|BC|AC|=|BB1|AA1，由拋物线定义|BB1|AA1|=|BF|AF|=2|AF|由|BF|=|BB1|=2知xB=1，yB=2，AB：y0=2012(x2)，即y=2x4代入抛物线方程解得yA=4，xA=4，|AF|=|AA1|=5故SBCFSACF=|BF|AF|=2
13、5故选B二、填空题9. 设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B,D两点，若ABD=90，且ABF的面积为93，则此抛物线的方程为_【答案】y2=6x【解析】因为以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，ABD=90，由抛物线的定义可得|AB|=|AF|=|BF|，ABF是等边三角形，FBD=30ABF的面积为93=34|BF|2，|BF|=6，点F到准线的距离为|BF|sin30=3=p，则该抛物线的方程为y2=6x10. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x，直线l过抛物线的焦点，直线l与抛物线交于A，B两点
14、，弦AB长为8，则直线l的方程为_【答案】y=x1或y=x+1【解析】思路1：由题意知，直线l过(1,0)当斜率不存在时，直线l为x=1，此时A(1,2)，B(1,2)，AB=4，不满足题意当斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx1，Ax1,y1，Bx2,y2联立，得y=kx1,y2=4x.整理，得k2x22k2+4x+1=0所以x1+x2=2k2+4k2又AB=x1+x2+p=8，所以2k2+4k2+2=8，解得k=1，所以直线l的方程为y=x1或y=x+1思路2：由题意知，直线l过点(1,0)，所以设直线l的方程为x=my+1联立x=my+1,y2=4x,得y24my4=0，y1+y2=4
15、m，y1y2=4所以AB=1+m2y1y2=41+m2=8，解得m=1所以直线l的方程为y=x1或y=x+111. 若双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线围成的三角形面积为2，则双曲线C的离心率为 .【答案】5【解析】解：y2=4x的准线方程为l：x=1，双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别为：y=bax，y=bax，双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线相交于A，B两点，AOB的面积为2，12|1|AB|=2，A(1,ba)，B(1,ba)，ba=2，即b=2a，c=a2+4a2=5a，e=
16、ca=5故答案为512. 抛物线x2=2py(p0)上的点到直线y=x5的最短距离为2，则正数p的值为_。【答案】6【解析】解：设抛物线x2=2py(p0)上的点坐标为A(x,x22p)，则由点A到直线y=x5的距离公式可得：xx22p52=12pxp25+p225p22=2，解之得p=6，故答案为6三、解答题13. 已知抛物线C：x2=2pyp0的焦点为F，直线l：y=kx+2交抛物线C于A,B两点，P是线段AB的中点，过作x轴的垂线交抛物线C于点Q(1)若p=4，且AB=16，求直线l的方程；(2)若k=2，且QAQB，求抛物线C的方程【答案】【解答】解：(1)抛物线C:x2=8y，由x2
17、=8yy=kx+2得x28kx16=0，故AB=1+k264k2+64=81+k2=16，解得k=1，故直线l的方程为xy+2=0或x+y2=0(2)直线l:y=2x+2，由x2=2pyy=2x+2得x24px4p=0，设Ax1,x122p,Bx2,x222p，从而P2p,x12+x224p，故Q2p,2p，QA=(x12p,x122p2p)，QB=(x22p,x222p2p)，因QAQB，故QAQB=0，所以x12px22p+x122p2px222p2p=0，整理得3x1x22px1+x2+8p2+x12x224p2x1+x22=0，而x1+x2=4p，x1x2=4p，从而4p2+3p1=0
18、，解得p=1(舎)或p=14所以抛物线的方程为x2=12y14. 已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，准线方程是x=1(1)求此抛物线的方程;(2)设点M在此抛物线上，且|MF|=3，若O为坐标原点，求OFM的面积【答案】解：(1)因为抛物线的准线方程为x=1，所以p2=1，得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x(2)设M(x0,y0)，因为点M(x0,y0)在抛物线上，且|MF|=3，由抛物线的定义，知|MF|=x0+p2=3，得x0=2将(2,y0)代入方程y2=4x，得y0=22，所以OFM的面积为12|OF|y0|=12122=215. 如图，已知抛物线C：y2=2px(p0)的
19、焦点为F.若M(3,t)(t0)为抛物线C上一点，且|MF|=4(1)求p的值；(2)已知点G(1,0)，延长MF交抛物线C于点N，试判断MGF与NGF的大小关系【答案】解：(1)根据抛物线的定义有|MF|=3+p2=4，解得p=2；(2)由(1)知抛物线C的方程为y2=4x，点M(3,23)，F(1,0)，直线MF的方程是y=3(x1)由y=3(x1),y2=4x3x210x+3=0,解得x1=3或x2=13，点N13,233，又点G(1,0)，kGM=2303+1=32，kGN=233013+1=32，tanMGF=tanNGF，又MGF，NGF(0,)，MGF=NGF16. 已知抛物线E
20、：x2=2py(p0)，直线y=kx+2与E交于A，B两点，且OAOB=2，其中O为坐标原点(1)求抛物线E的方程；(2)点C坐标为(0,2)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k222k2为定值【答案】(1)解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由x2=2pyy=kx+2，整理得x22pkx4p=0，其中=4p2k2+16p0，则x1+x2=2pk,x1x2=4p，OAOB=x1x2+y1y2=x1x2+x122px222p=4p+4，由题知，4p+4=2，解得p=12，抛物线E的方程为x2=y(2)证明：由(1)知，x1+x2=k,x1x2=2，k1=y1+2x1=x12+2x1=x12x1x2x1=x1x2，同理k2=x2x1，所以k12+k222k2=2(x1x2)22(x1+x2)2=8x1x2=16
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