1、易错点24 空间中的位置关系一、单选题1. 如图，在四面体ABCD中，已知ABAC.BDAC，那么D在平面ABC内的射影H必在A. 直线AB上B. 直线BC上C. 直线AC上D. ABC内部2. 如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是A. EF与BB1垂直B. EF与BD垂直C. EF与CD异面D. EF与A1C1异面3. 已知三个不同的平面,和直线m,n，若=m，=n，则“/”是“m/n”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知两个不同的平面,和两条不重合的直线m,n，下列四个命
2、题若m/n，m，则n；若m,m，则/；若m，m/n，n，则；若m/，=n，则m/n其中真命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 45. 下列四个命题：任意两条直线都可以确定一个平面；若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；若直线l上有一点在平面外，则l在平面外.其中错误命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 46. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则A. 2B. C. D. 7. 若a、b表示直线，表示平面，下列命题中正确的有a，b/ab；a，abb/；a/，abbA. B. C. D. 8. 如图(1)
3、所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体SEFG中必有A. SGEFG所在平面B. SDEFG所在平面C. GFSEF所在平面D. GDSEF所在平面二、填空题9. 已知直线a，b和平面，若a/b，且直线b在平面内，则a与的位置关系是10. 如图，已知四棱锥PABCD的底面为正方形，PA平面ABCD，则四棱锥的五个面中，与平面PAD垂直的平面有_11. 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP=a
4、3，过B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，点Q在直线CD上，则PQ的长为_12. 设m是一条直线，,是两个不同的平面，且m，给出下列两个论断：m/；/，以其中一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：_(用“”符号作答)。三、解答题13. 矩形ABCD中，AB=2AD=2，P为线段DC的中点，将ADP沿AP折起，使得平面ADP平面ABCP()求证：ADBP；()求点P到平面ADB的距离14. 如下图所示，在矩形ABCD中，已知AB=12AD，E是AD的中点，沿BE将ABE折起至ABE的位置，使AC=AD。求证：平面ABE平面BCDE15. 设四边形ABCD为矩形，点P为平面A
5、BCD外一点，且PA平面ABCD，若PA=AB=1，BC=2(1)求PC与平面PAD所成角的正切值；(2)在BC边上是否存在一点G，使得点D到平面PAG的距离为2，若存在，求出BG的值，若不存在，请说明理由；(3)若点E是PD的中点，在PAB内确定一点H，使CH+EH的值最小，并求此时HB的值16. 如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB/CD，BCCD，AB=2BC=2CD.EAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，且平面EAB平面ABCD.点F满足：EF=EA(0,1) (1)试探究为何值时，CE/平面BDF，并给予证明；(2)在(1)的条件下，求直线AB与平面BDF所成角的
6、正弦值一、单选题1如图，在四面体ABCD中，已知ABAC.BDAC，那么D在平面ABC内的射影H必在A. 直线AB上B. 直线BC上C. 直线AC上D. ABC内部【答案】A【解析】解：在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，ABBD=B，AB，BDABD，AC平面ABD，AC平面ABC，平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABD=AB，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上故选：A2如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是A. EF与BB1垂直B. EF与BD垂直C. EF与CD异面D. EF与A1C1异面【答案】D【解析
7、】解：连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，三角形B1AC中EF/AC，并且EF=12AC，所以EF/平面ABCD，而B1B面ABCD，所以EF与BB1垂直；故A正确；又ACBD，所以EF与BD垂直，EF与CD异面；故B、C正确；观察正方体，连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，可得EF/AC，所以EF/A1C1；故选D3已知三个不同的平面,和直线m,n，若=m，=n，则“/”是“m/n”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：根据面面平行的性质定理，可知当“”时，有“m/n”，故充分性成立；反之，当m/n时，
8、可能相交(如图)，故必要性不成立所以“”是“m/n”的充分不必要条件故选A4已知两个不同的平面,和两条不重合的直线m,n，下列四个命题若m/n，m，则n；若m,m，则/；若m，m/n，n，则；若m/，=n，则m/n其中真命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：因为两平行线中的一条垂直平面，则另一条也垂直这个平面，是直线与平面垂直的判定定理之一，故真命题；垂直同一直线的两平面平行，是两个平面平行的判定之一，故真命题；根据直线与平面垂直可推出平面与平面垂直故真命题；m、n可以是异面直线故是假命题故选C5下列四个命题：任意两条直线都可以确定一个平面；若两个平面有3个不同的公
9、共点，则这两个平面重合；直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；若直线l上有一点在平面外，则l在平面外.其中错误命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：在中，两条异面直线不能确定一个平面，故错误；在中，若两个平面有3个不共线的公共点，则这两个平面重合，若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交，故错误；在中，直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面，如四面体SABC中，SA与AB共面，AB与BC共面，但SA与BC异面，故错误；在中，若l，则l上所有点都在内；反之，若l上有一个点不在内，则l必在外，正确故错误命题为，共3个故选：C
10、6在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则A. 2B. C. D. 【答案】C【解析】解：连B1C，由题意得BC1B1C，A1B1平面B1BCC1，且BC1平面B1BCC1，A1B1BC1，BC1平面A1ECB1,A1B1平面A1ECB1，B1C平面A1ECB1，A1B1B1C=B1，BC1平面A1ECB1，A1E平面A1ECB1，A1EBC1故选C7若a、b表示直线，表示平面，下列命题中正确的有a，b/ab；a，abb/；a/，abbA. B. C. D. 【答案】D【解析】解：a，b/ab，故正确；a，abb/或b，故错误；a/，abb与可能斜交或b或b/，故错误即命题中正
11、确的有故选D8如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体SEFG中必有A. SGEFG所在平面B. SDEFG所在平面C. GFSEF所在平面D. GDSEF所在平面【答案】A【解析】解：在折叠过程中，始终有SG1G1E，SG3G3F，即SGGE，SGGF，GEGF=G，GE，GF平面EFG，SG平面EFG，故A正确B错误；因为GFGE，GFSG，GESG=G，GE，SG平面SGE，所以GF平面SGE，故C错误若GD
12、面SEF，则SDGD，由(1)知SGGD，在SGD中，这是不可能的，D错故选A二、填空题9已知直线a，b和平面，若a/b，且直线b在平面内，则a与的位置关系是【答案】a/平面或a平面【解析】解：因为a/b，所以a，b共面，若此平面就是平面，满足题意，所以直线a平面；若a，b构成的平面不是平面，则根据线面平行的判定定理，可知直线a/平面综上可知直线a 与平面的位置关系为a/平面或a平面，故答案为a/平面或a平面10如图，已知四棱锥PABCD的底面为正方形，PA平面ABCD，则四棱锥的五个面中，与平面PAD垂直的平面有_【答案】平面PAB、平面PCD、平面ABCD【解析】解：因为PA平面ABCD，
13、AB平面ABCD，所以PAAB.因为底面ABCD为正方形，所以ABAD.因为PA，AD平面PAD，PAAD=A，所以AB平面PAD.又因为AB/CD，所以CD平面PAD因为AB平面PAD，AB平面PAB，所以AB平面PAD故答案为：平面PAB、平面PCD、平面ABCD11正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP=a3，过B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，点Q在直线CD上，则PQ的长为_【答案】223a【解析】解：因为平面A1B1C1D1/平面ABCD，而平面B1D1P平面ABCD=PQ，平面B1D1P平面A1B1C1D1=B1D1，所以B1D1/PQ又因为B
14、1D1/BD，所以BD/PQ，设PQAB=M，因为AB/CD，所以APMDPQ.所以PQPM=PDAP=2，即PQ=2PM又知APMADB，所以PMBD=APAD=13，所以PM=13BD，又BD=2a，所以PQ=223a故答案为223a12设m是一条直线，,是两个不同的平面，且m，给出下列两个论断：m/；/，以其中一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：_(用“”符号作答)。【答案】【解析】解：,是两个不同的平面，且m，故答案为三、解答题13矩形ABCD中，AB=2AD=2，P为线段DC的中点，将ADP沿AP折起，使得平面ADP平面ABCP()求证：ADBP；()求点P到平面A
15、DB的距离【答案】解：()AP=2，AB=2，BP=2，AP2+BP2=AB2，BPAP，平面ADP平面ABCP，平面ADP平面ABCP=AP，BP平面ABCP，BP平面ADP ， AD平面ADP ，BPAD.()由()知，BPAD，DPAD，DPBP=P，AD平面DBP， 平面ADB平面DBP，平面ADB平面DBP=BD，在平面DBP 内作PEBD于E，则PE平面ADB ，在RtBPD中，PE=DPBPDB=121+2=63，点P到平面ADB的距离为6314如下图所示，在矩形ABCD中，已知AB=12AD，E是AD的中点，沿BE将ABE折起至ABE的位置，使AC=AD。求证：平面ABE平面B
16、CDE【答案】解：证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接AM，AN，MN，则MN/BCAB=12AD，E是AD的中点，AB=AE，即AB=AEANBE.AC=AD，AMCD在四边形BCDE中，CDMN，又MNAM=M，CD平面AMN. CDANDE/BC且DE=12BC，BE必与CD相交又ANBE，ANCD，AN平面BCDE又AN平面ABE，平面ABE平面BCDE15设四边形ABCD为矩形，点P为平面ABCD外一点，且PA平面ABCD，若PA=AB=1，BC=2(1)求PC与平面PAD所成角的正切值；(2)在BC边上是否存在一点G，使得点D到平面PAG的距离为2，若存在，求出BG的
17、值，若不存在，请说明理由；(3)若点E是PD的中点，在PAB内确定一点H，使CH+EH的值最小，并求此时HB的值【答案】解：(1)因为平面，CD平面，所以，又因为底面是矩形，所以，又PAAD=A，PA,AD平面APD，所以平面，所以与平面所成角为，又由题意可得：，所以tanCPD=55所以与平面所成角的正切值为55(2)假设边上存在一点G满足题设条件，作，又PA平面ABCD，所以PADQ，因为AGPA=A，所以平面，所以因为SAGD=1221=12AG2，所以AG=2，所以BG=12，故存在点G，当时，使点D到平面的距离为(3)延长CB到，使，因为平面，平面，所以，又因为底面是矩形，所以，因为
18、PAAB=A，所以平面，则C是点C关于面的对称点，连接CE，交面于H，则点H是使的值最小时，在面上的一点作于M，则点M是AD的中点，连接交AB于N，连接HN，则，所以，又，所以，而，所以所以16如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB/CD，BCCD，AB=2BC=2CD.EAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，且平面EAB平面ABCD.点F满足：EF=EA(0,1) (1)试探究为何值时，CE/平面BDF，并给予证明；(2)在(1)的条件下，求直线AB与平面BDF所成角的正弦值【答案】解(1)当=13时，CE/平面FBD证明如下：连接AC，交BD于点M，连接MF因为AB/CD，
19、所以AM:MC=AB:CD=2:1，又EF=13EA，所以FA:EF=2:1，所以AM:MC=AF:EF=2:1，所以MF/CE，又MF平面BDF，CE平面BDF，所以CE/平面FBD(2)取AB的中点O，则EOAB，又因为平面ABE平面ABCD，平面ABE平面ABCD=AB，所以EO平面ABCD，因为OD平面ABCD，所以EOOD，由BCCD，及AB=2CD得ODAB，由OB,OD,OE两两垂直可建立空间直角坐标系Oxyz，因为EAB为等腰直角三角形，AB=2BC=2CD，所以OA=OB=OD=OE，设OB=1，所以O0,0,0，A1,0,0，B1,0,0，C1,1,0，D0,1,0，E0,0,1，所以AB=2,0,0，BD=1,1,0，EF=13EA=13,0,13，F13,0,23，所以FB=43,0,23，设平面BDF的法向量为n=x,y,z，则有nBD=0nFB=0,所以x+y=043x23z=0,取x=1，得n=1,1,2，设直线AB与平面BDF所成的角为，则sin=cosAB,n=ABnABn=21+01+02212+12+22=66即直线AB与平面BDF所成角的正弦值为66
