1、易错点14 导数中的恒成立与存在性问题一、单选题1. 若函数在区间(12,2)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是A. B. C. (2,18)D. 2. 若函数f(x)=exlnxmx在区间1,+上单调递增，则实数m的取值范围为A. ,e1B. ,e1C. ,e+1D. ,e+13. 已知函数f(x)=3x+2cosx，g(x)=(ex1)(e2x5)，若x1(,0，x2R，f(x1)+ag(x2)，则a的取值范围是A. (,2B. (,4027C. (,3D. (,94274. 已知aR，函数fx=x2ax+2a,x1xalnx,x1，且对任意的实数x，fx0恒成立，则a的取值范围为A
2、. 0,2B. 0,eC. 1,2D. 1,e5. 已知函数f(x)=x28x5，g(x)=ex+exex，实数m，n满足mn1”是“f(x)ax1恒成立”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数f(x)=12x2+alnx，若对任意两个不相等的正数x1，x2，都有f(x1)f(x2)x1x24恒成立，则a的取值范围为A. 4,+)B. (4,+)C. (,4D. (,4)8. 已知函数f(x)=exxax2,x(0,+)，当x2x1时，不等式fx1x2fx2x1 0，函数f(x)=x+a2x，g(x)=xlnx，若对任意的x1，x21,
3、e，都有f(x1)g(x2)成立，则实数a的取值范围为_11. 已知函数f(x)=(x+1)sinx+cosx，若对于任意的x1,x20,2(x1x2)，均有fx1fx2aex1ex2成立，则实数a的取值范围为_12. fx=ax33x+1对于x1,1总有f(x)0成立，则a= 三、解答题13. 已知函数f(x)=lnxx+1，g(x)=lnxex+2(1)讨论函数f(x)在(0,+)的零点个数；(2)证明：g(x)0在(12,2)内有解，即1x+2ax0a12x2在(12,2)内有解故存在x(12,2)，使得a12x2，令g(x)=12x2，则g(x)在(12,2)单调递增，所以g(x)(2
4、,18)，故a2故选D2. 若函数f(x)=exlnxmx在区间1,+上单调递增，则实数m的取值范围为A. ,e1B. ,e1C. ,e+1D. ,e+1【答案】B【解析】解：由题意，函数，可得，因为函数在上单调递增，即在上恒成立，即在上恒成立，设，则，所以函数在为单调递增函数，所以，即实数的取值范围是故选B3. 已知函数f(x)=3x+2cosx，g(x)=(ex1)(e2x5)，若x1(,0，x2R，f(x1)+ag(x2)，则a的取值范围是A. (,2B. (,4027C. (,3D. (,9427【答案】D【解析】解：因为f(x)=32sinx0，所以f(x)在(,0上为增函数，所以f
5、(x)max=f(0)=2，令t=ex(t0)，(t)=(t1)(t25)，则(t)=(t+1)(3t5)当0t53时，(t)53时，(t)0所以(t)min=(53)=(531)(2595)=4027，从而g(x)max=4027依题意可得a+24027，即a9427则a的取值范围是(,9427故选D4. 已知aR，函数fx=x2ax+2a,x1xalnx,x1，且对任意的实数x，fx0恒成立，则a的取值范围为A. 0,2B. 0,eC. 1,2D. 1,e【答案】B【解析】解：当x1时，x2ax+2a0ax22x，即ax22xmax，设gx=x22x，gx=xx42x2x1，当x,0时，g
6、x0，gx单调递增，当x0,1时，gx1时，xalnx0axlnx，设x=xlnx，x=lnx1lnx2x1，当x=0时，x=e，当x1,e时，x0，x单调递增，所以当x=e时，函数x取得最小值，e=e，ae，综上可知：0ae，故选B5. 已知函数f(x)=x28x5，g(x)=ex+exex，实数m，n满足mn0，所以g(x)=ex(x1)ex2，则当0x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)单调递增，所以g(x)min=g(1)=2f(x)=(x+4)2+1111，作两函数的图象如图所示，当f(x)=2时，方程(x+4)2+11=2的两根分别为1和7，则nm的最大值为1(7)=6故选B6
7、. 已知f(x)是定义在(0,+)上的增函数，且恒有ff(x)lnx=1，则“a1”是“f(x)ax1恒成立”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：因为f(x)是定义在(0,+)上的增函数，且恒有ff(x)lnx=1，所以f(x)lnx为常数，令t=f(x)lnx，则f(x)=lnx+tf(t)=lnt+t=1，g(t)=lnt+t是增函数且g(1)=1，t=1，f(x)=lnx+1，f(x)ax1lnx+1ax1alnx+2x对x0恒成立令(x)=lnx+2x，(x)=lnx1x2，令(x)0，得0x1e，令(x)1e，(x)
8、在(0,1e)上单调递增，在(1e,+)上单调递减，(x)max=(1e)=e，ae.a1是ae的必要不充分条件故选B7. 已知函数f(x)=12x2+alnx，若对任意两个不相等的正数x1，x2，都有f(x1)f(x2)x1x24恒成立，则a的取值范围为A. 4,+)B. (4,+)C. (,4D. (,4)【答案】A【解析】解：因为函数f(x)=12x2+alnx，若对任意两个不相等的正数x1，x2，都有f(x1)f(x2)x1x24恒成立，所以fx=ax+x4x0恒成立，所以a4xx2恒成立，令gx=4xx2=x22+4，则agxmax，因为gx=4xx2为开口向下，对称轴为x=2的抛物
9、线，可得a4故选A8. 已知函数f(x)=exxax2,x(0,+)，当x2x1时，不等式fx1x2fx2x1x1时，不等式f(x1)x2f(x2)x10可变为x1f(x1)0，由g(x)=(x2)exx3,x0知，函数g(x)在(0,2),(2,+)，所以g(x)min=g(2)=e24，所以3ag(x)min=e24，即ae212所以实数a的取值范围为：故选A二、单空题9. 已知aR，设函数若关于x的不等式f(x)0在R上恒成立，则a的取值范围为_【答案】0,e【解析】解：当x=1时，f(1)=12a+2a=10恒成立；当x1时，f(x)=xalnx0axlnx恒成立，令(x)=xlnx，
10、则(x)=lnxx1x(lnx)2=lnx1(lnx)2，当xe时，(x)0，(x)递增，当1xe时，(x) 0，函数f(x)=x+a2x，g(x)=xlnx，若对任意的x1，x21,e，都有f(x1)g(x2)成立，则实数a的取值范围为_【答案】e2,+)【解析】解：g(x)=xlnx，g(x)=11x，x1,e，g(x)0，函数g(x)单调递增，g(x)的最大值为g(e)=e1；f(x)=x+a2x，f(x)=x2a2x2，令f(x)=0，a0，x=a，当0aae2；当1ae时，fx在1,a上单调递减，在(a,e上单调递增，f(x)min=f(a)=2ae1恒成立，当ae时f(x)在1,e
11、上单调递减，f(x)min=fe=e2+a2ee1恒成立，综上ae2故答案为：e2,+)11. 已知函数f(x)=(x+1)sinx+cosx，若对于任意的x1,x20,2(x1x2)，均有fx1fx2aex1ex2成立，则实数a的取值范围为_【答案】1,+)【解析】解：由题意，函数f(x)=xsinx+sinx+cosx，求导得，则由x0,2可知f(x)0恒成立，故f(x)在x0,2单调递增，不妨设x1x2，则|f(x1)f(x2)|=f(x2)f(x1),|ex1ex2|=ex2ex1，从而有f(x2)f(x1)a(ex2ex1)恒成立，即f(x2)aex20即x(0,1时，f(x)=ax
12、33x+10可化为a3x21x3，设g(x)=3x21x3，则g(x)=3(12x)x4，所以g(x)在区间(0,12上单调递增，在区间12,1)上单调递减，因此g(x)max=g(12)=4，从而a4；当x0即x1,0)时，f(x)=ax33x+10可化为a3x21x3，可得g(x)在区间1,0)上单调递增，因此g(x)min=g(1)=4，从而a4综上可得a=4故答案为4三、解答题13. 已知函数f(x)=lnxx+1，g(x)=lnxex+2(1)讨论函数f(x)在(0,+)的零点个数；(2)证明：g(x)0，得：0x1，f(x)在(0,1)上递增，在(1,+)上递减，故f(x)f(1)
13、=0，即f(x)在(0,+)的零点个数为1(2)法1：g(x)=lnxex+2，令g(x)=1xex=(x)，(x)=1x2ex0，g(1)=1e0，g(x)单调递增，在(x0,+)上g(x)0，g(x)单调递减，g(x)max=lnx0ex0+2=x01x0+20，即g(x)0在(0,+)恒成立.法2：由(1)知f(x)=lnxx+10，lnxx1，当且仅当x=1时取“=”，ln(x+1)x，eln(x+1)ex，即x+1ex，当且仅当x=0时取“=”，1+lnxxex1，且两个等号不能同时取到，lnxex+20，故：g(x)0在(0,+)上恒成立14. 已知函数f(x)=x2+alnx()
14、当a=2时，求函数fx的单调区间和极值；()若g(x)=f(x)+2x在1,+)上是单调增函数，求实数a的取值范围【答案】解：()函数，函数f(x)的定义域为(0,+)当a=2时，f(x)=x22lnx，f(x)=2x2x=2(x+1)(x1)x当x变化时，f(x)和f(x)的值的变化情况如下表：x(0,1)1(1,+)f(x)0+f(x)递减极小值递增由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,+)，极小值是f(1)=1，无极大值()由g(x)=x2+alnx+2x，得g(x)=2x+ax2x2若函数g(x)为1,+)上的单调增函数，则g(x)0在1,+)上恒成立
15、，即不等式2x2x2+ax0在1,+)上恒成立也即a2x2x2在1,+)上恒成立令(x)=2x2x2，则(x)=2x24x当x1,+)时，(x)=2x24x0，(x)=2x2x2在1,+)上为减函数，(x)max=(1)=0a0a的取值范围为0,+)15. 已知函数(x)=(x1)ex12mx2+2，kR(1)当m=0时，求函数(x)的极值；(2)若对于任意的x0,+)，(x)1恒成立，求实数m的取值范围【答案】解：(1)当m=0时，f(x)=(x1)ex+2，f(x)=xex，x(,0)，f(x)0，f(x)单调递增当x=0时，函数f(x)取得极小值，无极大值(2)对于任意的x0,+)，f(x)1恒成立，等价于g(x)=(x1)ex12mx2+10，x0,+).g(x)=xexmx=x(exm)，x0，ex1，则当m1，g(x)0，g(x)单调递增，g(0)=0，g(x)g(0)=0当m1时，令g(x)=0，得x=0，或x=lnm，x(0,lnm)，g(x)0，g(x)单调递减，g(0)=0，x0(0,lnm)，使得g(x0)0得，0x1，故所求fx的单调递增区间为0,12,1,+(2)由fx=2x+1xa，fx在0,1上是增函数，所以2x+1xa0在0,1上恒成立，即a2x+1x恒成立，2x+1x22(当且仅当x=22时取等号)，所以a22，即a,22
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