2023届高考数学二轮复习 微专题6 与不等式相关的三角最值问题学案.docx

1、微专题6与不等式相关的三角最值问题不等式是解决最值问题的重要方法，有关三角最值问题是高考的热点和难点，解决此类问题的关键是将所求量转化为单一变量的函数或者双变量的表达式(后者必须找到这两个变量的关系式)，从而考虑采用不等式的方法求最值.例题：(2016江苏卷)在锐角三角形ABC中，若sinA2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是_变式1(2018浙江模拟)若ABC的内角满足sinAsinB2sinC，求cosC的最小值变式2(2018盐城三模)设ABC的面积为2，若角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则a22b23c2的最小值为_串讲1在ABC中，BC，AC1，以AB为边

2、作等腰直角三角形ABD(B为直角顶点，C，D两点在直线AB的两侧)，当C变化时，线段CD长的最大值为_串讲2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点(a，b)在直线x(sinAsinB)ysinBcsinC上(1)求角C的大小；(2)若ABC为锐角三角形且满足，求实数m的最小值(2018镇江期末)如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC与BD焊接而成，焊接点D把杆AC分成AD，CD两段，其中两固定点A，B间距离为1米，AB与杆AC的夹角为60，杆AC长为1米，若制作AD段的成本为a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作杆BD是4a元/米设ADB，则制作整个支架的总成本记为

3、S元(1)求S关于的函数表达式，并求出的取值范围；(2)问AD段多长时，S最小？(2018扬州期末)如图，射线OA和OB均为笔直的公路，扇形OPQ区域(含边界)是一蔬菜种植园，其中P，Q分别在射线OA和OB上经测量得，扇形OPQ的圆心角(即POQ)为，半径为1千米为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ区域外修建一条公路MN，分别与射线OA，OB交于M，N两点，并要求MN与扇形弧PQ相切于点S，设POS(单位：弧度)，假设所有公路的宽度均忽略不计(1)试将公路MN的长度表示为的函数，并写出的取值范围；(2)试确定的值，使得公路MN的长度最小，并求出其最小值答案：(1)MNtantan，其中；(2)当

4、时，MN长度的最小值为2千米解析：(1)因为MN与扇形弧PQ相切于点S，所以OSMN.在RtOSM中，因为OS1，MOS，所以SMtan，在RtOSN中，NOS，所以SNtan，所以MNtantan，4分其中.6分(2)因为，所以tan10，令ttan10，则tan(t1)，所以MN，8分由基本不等式得MN2，10分当且仅当t即t2时取“”.12分当时tan，由于，故.13分答：(1)MNtantan，其中.微专题6例题1答案：8.解析：由sinAsin(A)sin(BC)sinBcosCcosBsinC，sinA2sinBsinC，可得sinBcosCcosBsinC2sinBsinC.由三

5、角形ABC为锐角三角形，则cosB0，cosC0，可得tanBtanC2tanBtanC.又tanAtan(A)tan(BC)，则tanAtanBtanCtanAtanBtanCtanA2tanBtanC，由A，B，C为锐角可得tanA0，tanB0，tanC0，所以tanAtanBtanCtanA2tanBtanC2，即tanAtanBtanC8，当且仅当tanA2tanBtanC，即tanB2，tanC2，tanA4(或tanB，tanC互换)时取到等号，因此tanAtanBtanC最小值为8.变式联想变式1答案：.解析：设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由正弦定理得ab2

6、c，所以cosC，当且仅当a2b2时，即时等号成立，所以cosC的最小值为.变式2答案：8.解析：由SbcsinA，得bc.又a2b2c22bccosA，所以a22b23c23b24c22bccosA22bccosAbc.令f(A)，A(0，)，f(A)，令f(A)0，解得cosA，sinA，由单调性可知此时f(A)取得最小值为8.当且仅当b2c且cosA时取等号，则a22b23c2的最小值为8.串讲激活串讲1答案：3.解析：设CBA，ABBDa，则在BCD中，由余弦定理可知CD22a22sin，在三角形ABC中，由余弦定理可知cos，可得sin，所以CD22a2，令t2a2，则CD2tt59，当(t5)24时等号成立CD的最大值为3.串讲2答案：(1)；(2)2.解析：(1)由条件可知a(sinAsinB)bsinBcsinC，由正弦定理可得a2b2c2ab，又由余弦定理知cosC，C(0，)，在ABC中可得C.(2)由，可得mtanC，即m.由正、余弦定理可得mmin22，当且仅当ab时，等号成立，所以实数m的最小值为2.新题在线答案：(1)Sa，；(2)AD时，S最小解析：(1)在ABD中，由正弦定理得，所以BD，AD，则Sa2a4aa，由题意得.(2)令Sa0.设cos0.0cosS000S单调递减极小单调递增所以当cos时，S最小，此时sin，AD.8