1、第八章 圆锥曲线方程 第 1 讲 椭圆 一、选择题 1已知椭圆的长轴长是短轴长的 2倍，则椭圆的离心率等于()A.12 B.22 C.2 D.32 解析：由题意得 2a2 2ba 2b，又 a2b2c2bca 2ce 22.答案：B 2已知椭圆x210m y2m21，长轴在 y 轴上若焦距为 4，则 m 等于()A4 B5 C7 D8 解析：由于椭圆的方程已知，且长轴在 y 轴上，所以有 m210m0，解之可得 6mb0)的焦点分别为 F1、F2，b4，椭圆 的离心率为35，过 F1的直线交椭圆于 A、B 两点，则ABF2的周长为()A10 B12 C16 D20 解析：由椭圆定义知ABF2的
2、周长为 4a，又ca35，即 c35a，a2c21625a2b216，a5，ABF2的周长为 20.答案：D 4(2010湖北黄冈模拟)已知在椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)中，以 F1(c,0)为圆心，ac 为半径作圆 F1，过点 B2(0，b)作圆 F1的两条切线，设切点分别为 M，N 两点若过两个切点M，N 的直线恰好经过点 B1(0，b)，则椭圆 E 的离心率为()A.31 B.31 C.3 D2 3 解析：由条件得，圆 F1：(xc)2y2(ac)2.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则切线 B2M：(x1c)(xc)y1y(ac)2，切线 B2N：(x2c)(xc)y2
3、y(ac)2.又两条切线都过点 B2(0，b)，所以 c(x1c)y1b(ac)2，c(x2c)y2b(ac)2.所以直线方程 c(xc)yb(ac)2就是过点 M、N 的直线又直线 MN 过点 B1(0，b)，代入化简得 c2b2(ac)2，所以 e 31.答案：A 二、填空题 5(2010创新情景题)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 P 变轨进 入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入 仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用 2c1和 2c2分
4、别表示椭圆轨道和的焦距，用 2a1和 2a2分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子：a1c1a2c2；a1c1a2c2；c1a2a1c2；c1a1b0)，椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为 12，2a12a6，椭圆的离心率为 32，a2b2a 32，36b26 32，解得 b29，椭圆 G 的方 程为x236y291.答案：x236y291 7(2010模拟精选)以等腰直角ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的 离心率为_ 解析：当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有 bc，此时可 求得离心率 ecacb2c2 c2c 22；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为
5、焦点时，设直角边长为 m，故有 2cm,2a(1 2)m，所以，离心率 eca2c2am(1 2)m 21.答案：22 或 21 三、解答题 8(1)求与椭圆x29y241 有相同的焦点，且离心率为 55 的椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为 8，两个顶点坐标分别是(6,0)，(6,0)，求椭圆的方 程 解：(1)c 94 5.所求椭圆的焦点为(5，0)，(5，0)设所求椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)eca 55，c 5，a5，b2a2c220.所求椭圆的方程为x225y2201.(2)当椭圆的焦点在 x 轴上时，设它的标准方程为x2a2y2b21(ab0)2c8，c
6、4，又 a6，b2a2c220.椭圆的方程为x236y2201.当椭圆的焦点在 y 轴上时，设它的标准方程为y2a2x2b21(ab0)2c8，c4，又 b6，a2b2c252.椭圆的方程为y252x2361.综上，椭圆的方程为：x236y2201 或y252x2361.9(2010安徽芜湖检测)如图所示，椭圆x2a2y2b21(ab0)与过点 A(2,0)、B(0,1)的直线 有且只有一个公共点 T，且椭圆的离心率 e 32，求椭圆的方程 解：过 A、B 的直线方程为x2y1.由题意得 x2a2y2b21y12x1有唯一解，即(b214a2)x2a2xa2a2b20 有唯一解，所以 a2b2
7、(a24b24)0(ab0)，故 a24b240.又因为 e 32，即a2b2a234，所以 a24b2.从而 a22，b212.故所求的椭圆方程为x222y21.10(2010甘肃天水调研)在椭圆x2a2y2b21(ab0)上任取一点 P(P 不是短轴的端点)，P 与短轴两端点的连线交 x 轴于 M、N 两点，求证：|OM|ON|为定值(O 为原点)证明：设 P 点坐标为(acos，bsin)(其中 sin 1)，椭圆x2a2y2b21(ab0)短轴的端 点为 A(0，b)，B(0，b)则直线 PA 的方程为 ybbbsin acos x.令 y0，则 x acos 1sin.直线 PB 的
8、方程为 ybbbsin acos x.令 y0，则 x acos 1sin .|OM|ON|acos 1sin|acos 1sin|a2.1(2010改编题)已知椭圆x225y291 上一点 P 到两焦点的距离之积为 m，则当 m 取最 大值时，点 P 的坐标为()A(5,0)或(5,0)B.52，3 22或52，3 22 C.5 22，32 或5 22，32 D(0，3)或(0,3)解析：设点 P 到两焦点的距离分别为 r1，r2，则 r1r210，mr1r2r1r12225，当且仅当 r1r25 时取等号此时点 P 的坐标为(0，3)或(0,3)答案：D 2()已知椭圆x2a2y2b21(ab0)，以 O 为圆心，短半轴长为半径作圆 O，过椭 圆的长轴的一端点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A、B，若四边形 PAOB 为正方形，则椭圆的离心率为()A.32 B.22 C.53 D.33 解析：如图所示，因为四边形 PAOB 为正方形，且 PA、PB 为圆 O 的切线，所以OAP 是等腰直角三角形，故 a=b，所以 eca 22.答案：B w.w.w.k.s.5.u.c.o.m