1、12019 年 6 月浙江省学考数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共 18 小题，每小题 3 分，共 54 分）1.已知集合1,2,3A，3,4,5,6B，则 AB（）A 3B1,2C4,5,6D1,2,3,4,5,6【答案】A2.函数 log4af xx（0a，且1a ）的定义域是（）A0,4B4,C,4D,44,【答案】C3.圆223216xy的圆心坐标是（）A3,2B2,3C2,3D3,2【答案】D4.一元二次不等式 90 xx的解集是（）A|0 9x xx或 B|09xxC|9 0 x xx 或 D|90 xx【答案】B5.椭圆2212516xy 的焦点坐标是（）A0,3，0,3B3
2、,0，3,0C0,41，0,41D41,0，41,0【答案】B6.已知空间向量1,1,3 a，2,2,xb，若 ab，则实数 x 的值是（）A 43B43C 6D 6【答案】C7.22cossin88（）A22B22C 12D12【答案】A28.若实数 x，y 满足不等式组,1,1,yxxyy ，则 2xy的最小值是（）A3B 32C0D 3【答案】D9.平面 与平面 平行的条件可以是（）A 内有无穷多条直线都与 平行B直线 a，a，且直线 a 不在 内，也不在 内C直线 a，直线 a，且 a，bD 内的任何直线都与 平行【答案】D10.函数 2211xxf xxx的图象大致是（）【答案】A1
3、1.已知两条直线1:3453lm xym，2:258lxm y，若 12ll，则实数 m 的值是（）A 1 或 7B 7C133D133【答案】C12.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A24B12C8D4【答案】B13.已知 x，y 是实数，则“1xy”是“12x 或12y”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件3C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A14.已知数列 na的前 n 项和为212343nSnn（*nN），则下列结论正确的是（）A数列 na是等差数列B数列 na是等差数列C1a，5a，9a 成等差数列D63SS，96SS，129SS成等差数列【答案】D1
4、5.如图，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）111ABCA B C的底面边长为 a，侧棱长为2a，则1AC 与侧面11ABB A 所成的角是（）A 30B 45C 60D90（试题编辑与解析提供：绍兴徐浙虞）【答案】A【解析】过1C 作111C HA B，易证1C H 面11A B BA，所以1C AH就是所求角，由于132C Ha，13ACa，所以11sin2C AH，故所成的线面角为 6.16.如图所示，已知双曲线 C：222210,0 xyabab的右焦点为 F，双曲线 C 的右支上一点 A，它关于原点 O 的对称点为 B，满足120AFB，且3BFAF，则双曲线 C 的离心率是（）A
5、2 77B 52C72D74（试题编辑与解析提供：绍兴徐浙虞）【答案】C【解析】如图所示，易求3F AF，设 AFx，则3BFAFx，可求227FFx，所以72cx，又因为 232axxx，故 ax，所以72cea.17.已知数列 na满足11,1,2nnnanaan 为奇数，为偶数，（*Nn），若1023a，则1a 的取值范围是（）A1110aB1117aC123aD126a（试题编辑与解析提供：绍兴徐浙虞）【答案】B【解析】由递推关系可知，22211nnaa，21212nnaa，所以222112nnaa ，即2221222nnaa，可求112211122122nnnaaa，所以410111
6、22aa，代入求得1117a，所以选 B.18.已知四面体 ABCD 中，棱 BC，AD 所在直线所成的角为 60，且2BC，3AD，120ACD，则四面体 ABCD 体积的最大值是（）A32B34C 94D 34（试题编辑与解析提供：浙江宁波赖庆龙）【答案】D【解析】因为棱 BC 与 AD 所成的角为 60，由最小角定理知，直线 BC 与平面 ACD 所成角的最大值为 60，由120ACD，3AD，知 动 点 D 的 轨 迹 为 以 AD 为 弦，圆 周 角 为 120 的 圆 弧 上，此 时1333 32224ACDSAD h，所以11 3 332 sin603344B ACDACDVSd
7、 二、填空题（本大题共 4 小题，每空 3 分，共 15 分）19.设等比数列 na的前 n 项和为*NnSn，首项13a，公比2q，则4a；3S【答案】21,24520.已知平面向量,a b 满足3a，4b，且 a 与 b 不共线若kab 与kab 互相垂直，则实数k【答案】4321.我国南宋著名数学家秦九韶（约 12021261）被国外科学史家赞誉为“他那个民族，那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”他独立推出了“三斜求积”公式，求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积”把以上这段文字写成从三条边长求三角形面
8、积的公式，就是222222142cabSc a 现如图，已知平面四边形 ABCD 中，1AD ，3AC，120ADC，2AB，2BC，则平面四边形 ABCD 的面积是（编辑与解析提供：杭州李红波）【答案】4233【解析】在 ACD中，根据余弦定理：DCDADCDADACcos2222所以)21(12132CDCD，解得：1CD，或2CD（舍去）因此 ACD的面积43sin211DCDADS，在 ABC中，根据余弦定理：8232cos222BCABACBCABB所以846sinB，因此 ABC的面积.423sin212BBCABS6故四边形 ABCD 的面积423321SSS.22.已 知()f
9、 x是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数，且 在 0,上 单 调 递 增 若 对 任 意 xR，不 等 式()(21),f axbf xxa bR 恒成立，则222ab的最小值是（试题编辑与解析提供：浙江省鲁迅中学中学 金晓江）【答案】38【解析】解析 1：必要性开路根据题意：|2|1|axbxx令0 x，则|2ab根据柯西不等式222221821(|)4223ababab，当且仅当24,33ab接下去证明：2424|2|1|2|1|3333xxxxxx2424|2|1|2|1|3333|24242|1|2|1|3333xxxxxxxxxxxx所以22 tin 823ab解析 2：绝对值三角
10、不等式|2|1|axbxx恒成立所以|2|1|axbxx或者|2|1|axbxx（舍去）即|2|1|axxxb恒成立接下去只需要求|2|1|xxxb的最大值即可max|2|1|max|2|1|,2|1|xxxbxxxbxxxb|2|1|22xxxbxxbb 2|1|22xxxbxxbb综上2ab7所以222282223bbba，当且仅当24,33ab解析 3：巧构图像(|)(|2|1|),|2|1|f axbfxxaxbxx 即|2|1|axbxx或者|2|1|axbxx（舍去）令2,1,()|2|1|()|32,01,xxxbaxbg xxxh xxbaxxxbaxb 函数 h x 图像为顶
11、点坐标,b a 的 V 型函数，画出两个函数图像 h x 的图像必须 g x在上或者上方，取临界状态，h x 图像为顶点坐标,b a 在+2(x 2)yx 上，即+2ab 所以222282223bbba，当且仅当24,33ab三、解答题（本大题共 3 小题，共 31 分）23.（本题满分 10 分）已知函数()sinsin 3f xxx（1）求(0)f的值；（2）求函数()f x 的最小正周期；（3）当0,2x 时，求函数()f x 的最小值（编辑与解析提供：杭州李红波）【答案】（1）23；（2）2T；（3）.21)2()(minfxf【解析】)3sin(cos23sin21)(xxxxf8（
12、1）.233sin)0(f（2）函数)(xf的最小值正周期为.2T（3）由于2,0 x，所以65,33 x.所以当653 x，即2x时，.21)2()(minfxf24.（本题满分 10 分）如图，已知抛物线2:2C yx的焦点为 F，O 为坐标原点，直线:l ykxb与抛物线 C 相交于 A，B 两点（1）当1k ，2b 时，求证：OAOB；（2）若 OAOB，点 O关于直线 l 的对称点为 D，求 DF 的取值范围（编辑与解析提供：杭州方超）【答案】（1）略；（2）)27,21(|DF【解析】（1）由方程组xyxy222，消去 y，得0462 xx.设),(11 yxA，),(22 yxB
13、，621 xx，421 xx，421yy，因为02121yyxxOBOA，所以OBOA；（2）由方程组xybkxy22，消去 x，得)0(0222kbyky，kyy221，kbyy221，2221kbxx，由02222121kbkbyyxxOBOA，解得kb2或0b（舍）设点O 关于直线l 的对称点),(00 yxD，由方程组)22(210000 xkykxy9得141420220kkykkx，即)14,14(222kkkkD，由点)0,21(F，得1484921114921|222kkkDF，由02 k，得)27,21(|DF.25.（本题满分 11 分）设 aR，已知函数 2242,011
14、,0axaxxf xaxxx（1）当1a 时，写出 f x 的单调递增区间；（2）对任意2x，不等式 12f xax恒成立，求实数 a 的取值范围（试题编辑与解析提供：杭州沙志广）【答案】（1）),1(；（2）10 a;【解析】（1）当1a时，1,110,210,22)(2xxxxxxxxxxf；所以，)(xf的单调递增区间是),1(（2）思路一：分类讨论若0 x，2)1(2)42(2xaxaax，于是0)3(2xaax在0,(x上恒成立，则0a或0230aaa得30 a；若21,1110,11|1|1)(,0 xaxxxaxxxaxxfx若10 x时，2)1()(xaxf，即2)1(11xaaxxxxxa1)1(，得xa1，所以，1a10若1x时，Ra若21 x时，2)1()(xaxf，即2)1(11xaaxx)1()12)(1(xaxxx，得xxxa1212，所以，1a综上所述：10 a思路二：数形结合当0 x时，还可以采用数形结合进行说明2)1()(xaxf，即xxxxa1|1|2)1(令10,111,123|1|12)(xxxxxxxxxg如下图所示，设直线)1(xay过定点)0,1(，当直线与)0,1(左右侧的图像分别相切时取到两个极限状态，此时xxy123，112|21xyx；xy11，11|21xyx即11a，11a综上所述：10 a