1、微专题35运用数形结合探究函数零点问题1.已知函数f(x)若函数g(x)f(x)k仅有一个零点，则k的取值范围是_2若偶函数yf(x)，xR，满足f(x2)f(x)，且x0，2时，f(x)2x2，则方程f(x)sin|x|在10，10内的根的个数为_3方程|ex1|ax10有两个不同的解，则实数a的取值范围是_4(2018南京、盐城二模)已知函数f(x)tR.若函数g(x)f(f(x)1)恰有4个不同的零点，则t的取值范围为_5我们把形如y(a0，b0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a1，b1时的“囧函数”与函数ylg|x|的交点个数为n，则n_.6已知函数
2、f(x)若关于x的方程f(f(x)0有且仅有一个实数解，则实数k的取值范围为_7.已知函数f(x)x22exm1，g(x)x(x0)(1)若g(x)m有实根，求m的取值范围；(2)试确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根8已知函数f(x)xsinx，判断函数f(x)在(0，)内的零点个数，并加以证明微专题351答案：(，0).解析：作出函数图像，易得k的取值范围是(，0).2答案：10.解析：偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，故函数f(x)的周期为4.当x0，2时，f(x)2x2，故当x2，0时，f(x)2x2.则方程f(x)sin|x|的根的个数等于函数yf(x)的图象与
3、函数ysin|x|的图象的交点个数在同一个坐标系中画出函数yf(x)与函数ysin|x|在0，10上的图象，可知有5个交点，故函数yf(x)的图象与函数ysin|x|的图象在10，10上有10个交点3答案：(，e)解析：化为|ex1|1ax，令f(x)|ex1|1作出图像可知，yax与f(x)应在x0上有两个不同的交点，考虑相切时，设切点P(x0，y0)，则所以x01，此时P(1，e)，所以ae，得ae.4答案：4，0)解析：当x0时，f(x)3x26x3x(x2)0，所以f(x)在x0时单调递减，如图，作出函数f(x)的图象，设f(x)1m，则f(x)1m，f(m)0.若t0，则函数g(x)
4、f(f(x)1)恰有1个或2个不同的零点，不合题意，所以t0.由得，m0或mm10，当m0时，由得，f(x)1，此时f(x)1有2个不同的根；当mm10时，由得，f(x)1m1，此时f(x)1m1也必须有2个不同的根，所以1m10，所以1m10，又m133m12t0，所以tm133m12，且tm133m12在1m10时单调增，所以t的取值范围为4，0)5答案：4.解析：由题意知，当a1，b1时，y在同一坐标系中画出“囧函数”与函数ylg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点6答案：(1，0)(0，)解析：设f(x)t，则方程f(f(x)0有且仅有一个实数解，等价于f(t)0，tf(x)有唯一
5、解情形1：当k0时，由f(t)0得t0或t1，而f(x)t时，解得x1，与题意矛盾；情形2：当k0时，由图1可知，由f(t)0得t1，而f(x)t1时，解得x1，适合题意；情形3：当k0时，由图2可知，由f(t)0得t1，要使f(x)t1有唯一解，则k1，即1k0；综上，k(1，0)(0，)7答案：(1)2e，)；(2)(e22e1，)解析：(1)g(x)x22e，等号成立的条件是xe，故g(x)的值域是2e，)因而只需m2e，g(x)m有实根(2)g(x)f(x)0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点作出g(x)x(x0)和f(x)的图象如图f(x)x22exm1(x
6、e)2m1e2，其最大值为m1e2，故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根，m的取值范围是(e22e1，)8答案：2个解析：f(x)在(0，)内有且只有两个零点证明如下：易得，f(x)xsinx，从而f(0)0，f0.又f(x)在上的图象是连续不断的，所以f(x)在内至少存在一个零点又可得出f(x)在上单调递增，故f(x)在内有且只有一个零点当x时，令g(x)f(x)sinxxcosx，由g10，g()0，且g(x)在上的图象是连续不断的，故存在m，使得g(m)0.由g(x)2cosxxsinx知，当x时，g(x)0，从而g(x)在上单调递减当x时，g(x)g(m)0，即f(x)0，从而f(x)在上单调递增，故当x时，f(x)f0，故f(x)在上无零点；当x(m，)时，有g(x)g(m)0，即f(x)0，从而f(x)在(m，)上单调递减又f(m)0，f()0，且f(x)的图象在m，上连续不断，从而f(x)在区间(m，)上有且仅有一个零点综上所述，f(x)在(0，)内有且只有两个零点
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