1、微专题29以二元变量为载体的应用数学源于生活，应用所学数学知识解决实际问题是能力与素养的具体表现数学应用问题是江苏数学高考的突出亮点，常以中档题(17或18题)的形式呈现，具有良好的区分度，是高考的重点与热点本专题集中介绍分式函数型的应用问题，常见的处理手段是结合实际问题，利用所给条件，建立分式函数模型，利用基本不等式、函数的单调性或导数的方法予以解决.例题：某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：百元)满足如下关系：w4，且投入的肥料费用不超过5百元，此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x百元已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百
2、千克)，且市场需求始终供不应求，记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：百元)(1)求利润函数L(x)的函数关系式，并写出定义域；(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？变式1某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q(x0)已知生产此产品的年固定投入为4.5万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，且能全部销售完，若每件销售价定为“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的25%”之和(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利
3、润最大？最大利润为多少？变式2某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建防辐射材料的选用与宿舍到工厂的距离有关，若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系式为p(0x8)，若距离为1 km时，测算宿舍建造费用为100万元为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设函数f(x)为建造宿舍与修路费用之和(1)求f(x)的解析式；(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求出最小值串讲1某市近郊有一块400 m400 m正方形的荒地，准备在此荒地上建一个综合性休
4、闲广场，需先建造一个总面积为3 000 m2的矩形场地(如图所示)图中，阴影部分是宽度为2m的通道，三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小矩形场地形状、大小相同)，塑胶运动场地总面积为S m2.(1)求S关于x的函数关系式，并给出定义域；(2)当x为何值时S取得最大值，并求最大值串讲2如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处(点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P)，再沿直线PE裁剪(1)当EFP时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；(2)若使裁剪得
5、到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由(2018苏大预测)如图，某工厂两幢平行厂房间距为50 m，沿前后墙边均有5 m的绿化带，现在绿化带之间空地上建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m3，深度为3 m，水池一组池壁与厂房平行如果池底总造价为c元，平行厂房的池壁每1 m2的造价为a元，垂直厂房的池壁每1 m2的造价为b元，设该贮水池的底面平行于厂房的一边的长为x(m)(1)求建造该长方体贮水池总造价y的函数关系，并写出函数的定义域；(2)试问怎样设计该贮水池能使总造价最低？并求出最低总造价(2018南京调研)某工厂有100名工人接受了生产1 000台某产品的总任务，
6、每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时设f(x)t1t2.(1)求f(x)的解析式，并写出其定义域；(2)当x等于多少时，f(x)取得最小值？答案：(1)f(x)，x|1x99，xN*；(2)75.解析：因为t1，t2，2分所以f(x)t1t2，5分定义域为x|1x99，xN*.6分(2)f(x)1 00010x(100x)10.10分因为1x99，xN*，所以0，0，所以26，12分当且仅当，
7、即当x75时取等号.13分答：当x75时，f(x)取得最小值.14分微专题29例题答案：(1)L(x)643x(0x5)(2)当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4 300元解析：(1)L(x)16x2x643x(0x5)(2)解法1：L(x)673x6767243.当且仅当3(x1)时，即x3时取等号故L(x)max43.答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4 300元解法2：L(x)3，由L(x)0得，x3.故当x(0，3)时，L(x)0，L(x)在(0，3)上单调递增；当x(3，10)时，L(x)0，L(x)在(3，5)上单调递减；故L(x)m
8、ax43.答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4 300元变式联想变式1答案：(1)W16x，(x0)；(2)当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为55万元解析：(1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q4.5)万元，每件销售价为150%25%.年销售收入为Qx.年利润Wxxx16Qx16x，(x0)(2)令x1t(t1)，则W16(t1)643t673.t1，24，即W55，当且仅当，即t8时，W有最大值55，此时x7.答：当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为55万元变式2答案：(1)f(x)56x，(0x8)(2)宿舍应建在离工厂5km处，可使总费用f
9、(x)最小为75万元解析：(1)根据题意得100，所以k800.故f(x)56x，0x8.(2)因为f(x)2(3x5)52575，当且仅当2(3x5)，即x5时取等号所以f(x)min75.答：宿舍应建在离工厂5km处，可使总费用f(x)最小，最小为75万元说明：许多应用问题可以通过构建分式函数的模型区解决，这类问题主要题型有确定分式函数并指出其定义域，常见模型为“f(x)ax”或通过变形转化为这一模型，其最值的求法主要通过基本不等式、函数的单调性来确定，有时也可以运用导数的方法求解串讲激活串讲1答案：(1)S3 030，x(7.5，400)；(2)x50 m时，Smax2 430 m2.解
10、析：(1)设矩形场地的另一条边的长为y m，则xy3 000即y，且7.5x400.S(x4)a(x6)a(2x10)a.因为2a6y，所以a33，所以S(2x10)3 030，其定义域是(7.5，400)(2)S3 0303 03023 03023002 430.当且仅当6x，即x50(7.5，400)时，上述不等式等号成立，此时x50，Smax2 430 (m2)答：当x50 m时，S取得最大值，其最大值为2 430 m2.串讲2答案：(1)2 m2；(2)当EFP时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，为(62)m2.解析：(1)当EFP时，EFPEFDFEP，所以FPE，即FNBC
11、，所以四边形MNPE为矩形，所以四边形MNPE的面积为SPNMN2m2.(2)设EFD，由条件知EFPEFDFEP，PF，NPNFPF3，ME3，由得所以解得tan，所以四边形MNPE的面积为S(PNME)MN266662当且仅当tan，即tan，时取“”答：当EFP时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，为(62) m2.新题在线答案：(1)yc6，x(0，40(2)当ba时，水池设计成装管道的边长40m，另一边长40m，最低造价为(c480)元；当ba时，水池设计成底面边长为40 m的正方形时，最低造价为(c240a240b)元解析：(1)由题意，贮水池的底面一边的长为x m，则另一边长为m，即m，所以总造价yca23xb23，即yc6，x(0，40(2)因为a0，b0，所以ax280.当且仅当ax，即x40时取等号若ba，则40(0，40，当x40时，yminc480；若ba，则当x(0，40时，y660，所以函数y在x(0，40上单调递减，也即当x40时，yminc240a240b.综上可知，当ba时，水池设计成装管道的边长40m，另一边长40m，最低造价为(c480)元；当ba时，水池设计成底面边长为40 m的正方形时，最低造价为(c240a240b)元
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