1、2019 年浙江省 1 月学业水平统一考试数学试卷一、选择题（每题 3 分，共 18 题，总计 54 分）1已知集合5,3,1A，7,5,3B，则BAA7,5,3,1B 7,1C5,3D 52函数)1(log)(5xxf的定义域是A),1()1,(B)1,0C),1 D),1(3圆9)2(22 yx的半径是A3B2C9D64一元二次不等式072 xx的解集是A70 xxB70 xxx或C07xxD07xxx或5双曲线22194xy的渐近线方程是A32yx B23yx C94yx D49yx 6已知空间向量(1,0,3),(3,2,)abx，若 ab，则实数 x 的值是A 1B0C1D27cos
2、15 cos75 A32B 12C34D 148若实数,x y 满足不等式组10,0,3,xyxy ，则2xy的最大值是A 9B 1C3D79若直线l 不平行于平面，且l，则下列结论成立的是A 内的所有直线与l 异面B 内不存在与l 平行的直线C 内存在唯一的直线与l 平行D 内的直线与l 都相交10函数2()22xxxf x的图象大致是11.若两条直线 1l：260 xy与 2l：70 xay平行，则 1l 与 2l 之间的距离是A.5B.2 5C.52D.5512.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A.B.2C.3D.413.已知,a b 是实数，则“|ab”是“22ab”
3、的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.已知数列na是正项等比数列，且3723+6aa，则5a 的值不可能是A.2B.4C.85D.8315.如图，四棱柱1111ABCDA B C D中，平面11A B CD 平面ABCD，且四边形 ABCD 和四边形11A B CD 都是正方形，则直线1BD 与平面11A B CD 所成角的正切值是A.22B.32C.2D.3(第 12 题图)(第 15 题图)16.如图所示，椭圆的内接矩形和外切矩形的对角线所在的直线重合，且椭圆的两焦点在内接矩形的边上，则该椭圆的离心率是（）A22B32C23D3317.数列na，n
4、b用图像表示如下，记数列nna b的前 n 项和为nS，则（）A141011,SSSSB451013,SS SSC141011,SSSSD451013,SS SS18.如图，线段 AB 是圆的直径，圆内一条动弦 CD 与 AB 交于点 M，且 MB=2AM=2，现将半圆 ACB 沿直径 AB 翻折，则三棱锥 C-ABD 体积的最大值是（）A 23B 13C3D1二、填空题（本大题共 4 小题，每空 3 分，共 15 分）19.已知等差数列na中，131,5aa，则公差 d _，5a _20.若平面向量,a b 满足|6,|4ab，a与b的夹角为060，则()a ab_21.如图，某市在进行城市
5、环境建设中，要把一个四边形 ABCD 区域改造成公园，经过测量得到kmADkmCDkmBCkmAB4,3,2,1，且120ABC,则这个区域的面积是_2km.22.已知函数2212)(axaxxxf，当,1x时，0)(xf恒成立，则实数a的取值范围是.三、解答题（本大题共 3 小题，共 31 分）23.（本题满分 10 分）已知函数Rxxxxxf.cos)6sin()6sin()(（1）求)0(f的值.（2）求函数)(xf的最小正周期（3）求函数)(xf的最大值.24.如图，已知抛物线21:4Cxy和抛物线22:Cxy 的焦点分别为 F 和 F，N 是抛物线1C 上一点，过 N 且与1C 相切
6、的直线l 交2C 于 A、B 两点，M 是线段 AB 的中点（1）求 FF；（2）若点 F 在以线段 MN 为直径的圆上，求直线l 的方程25.设 aR，已知函数 2211f xxxaxxx（1）当0a 时，判断函数 fx 的奇偶性；（2）若 46f xx恒成立，求 a 的取值范围；（3）设bR，若关于 x 的方程 8f xb有实数解，求22ab的最小值2019.1 浙江学考第 22 题的多解探究整理人:于楠;日期 2019.1.192019 年 1 月份浙江学考第 22 题,题目简洁明了.在解答过程中,QQ 群里的各位老师集思广益分别使用了分离变量、必要性探路、求导、放缩、换元、变更主元等数
7、学思想与方法,现记录于此,供大家学习.已知函数 f(x)=x2+x a2x 1 a2,当 x 1,+)时,f(x)0 恒成立,则实数 a 的取值范围是.解法 1(分离变量法)当 x 1,+)时,f(x)0 恒成立等价于 x 1,+),a2+2x 1a x2 x 0 恒成立,解此不等式得2x 1+4x2+6x 12 a 2x 1+4x2+6x 12,函数 u(x)=2x 1+4x2+6x 12在 1,+)上单调递减,因此 a umax=u(1)=2.当 x 1,+)时,函数 v(x)=4x2+6x 1 2x 12 x+2 2x 12 1,且知 v(1)=1.因此a vmin=1.综上,a 的取值
8、范围是 2,1.必要性探路法.必要性:f(1)0,解得 2 a 1.以下 4 种解法均只证明充分性:解法 2(直接研究 f(x)的单调性)当 2 a 0 时,f(x)在 1,+)上单调递增,故 f(x)f(1)0.当 0 0,即f(x)0,x 1,+).当 a 2,1 时,f(x)在 1,+)上单调递增,因此 f(x)f(1)0.以下两种方法换元后研究新函数性质:解法 4(换元后变更主元)令 t=2x 1,则 x=t2+12(t 1).f(x)0 恒成立等价于(t2+12)2+t2+12 at a2 0 在 t 1,+)上恒成立,整理得t4+4t2+3 4at 4a2 0.令 g(a)=t4+4t2+3 4at 4a2,这是开口向下抛物线,且有g(1)=t4+4t2 4t 1=(t 1)(t3+t2+5t+1)0,g(2)=t4+4t2+8t 13=(t 1)(t3+t2+5t+13)0.因此,t 1,+),a 2,1,有 h(a)0.1解法 5(换元后求导)令 h(t)=t4+4t2+3 4at 4a2,则 h(t)=4t3+8t 4a,t 1,+),a 2,1,h(t)12 4a 0.因此 h(t)在 1,+)上单调递增,故 h(t)h(1)0.2