2023届高考数学二轮复习 微专题10 几何图形中的数量积问题学案.docx

1、微专题10几何图形中的数量积问题平面向量数量积是江苏省高考数学中的C级知识点，每年均以不同形式来考查，尤其以图形中的数量积运算为重点试题以中高档题为主，解决问题的方法灵活多变，如运用数量积定义，运用坐标计算等为此，要充分利用图形特征，灵活上用合理的方法解决，形成完整的解题体系.例题：已知O是ABC的外心，AB2a，AC，BAC120，若xy，则xy的最小值是_变式1已知ABC内接于圆O中，M是BC的中点，AC3.若4，则AB_变式2已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a，b是互相垂直的单位向量，且(ac)(bc)1，则|c|的最大值是_串讲1如图，在ABC中，已知AB4，AC6，BAC6

2、0，点D，E分别在边AB，AC上，且2，3，F为DE的中点，则的值为_串讲2如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3，点B，C分别在直线m，n上，|5，求的最大值(2018南通三模)如图，已知AC2，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC的同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点(不含端点A，B，C)，且BMBN，则的最大值为_已知向量a，b，c满足|a|b|2，|c|1，(ac)(bc)0，求|ab|的取值范围答案：1，1解法1如图，设c(1，0)，设A，B是以O为圆心，2为半径的圆上两点，且ACBC，则|ab|AB2MC.4分MO2MA2OA2

3、，而MAMC，MO2MC24.6分设M(x，y)，则x2y2(x1)2y24，即x2y2x.(*)，8分|ab|AB2MC222.10分由(*)知，x，12分即11.|ab|1.即|ab|的取值范围为1，1.14分解法2设c(1，0)，a(2cos，2sin)，b(2cos，2sin)，则由(ac)(bc)0得，(2cos1)(2cos1)4sinsin0，2分即4cos()2(coscos)10，4分所以8cos24coscos30，6分由|cos|1，解得，8分所以|ab|41，10分|ab|1，12分即1|ab|1.所以|ab|的取值范围为1，114分微专题10例题答案：2.解法1以A为

4、坐标原点，AC为x轴，建立直角坐标系，则C，B，用几何方法，可得O.由xy，得(ax，ax)，x，ya2，则xy2.当a1时，xy取得最小值为2.解法2因为|cos1202a2，设AB的中点为D，则ODAB，又()22a2，同理，2.即解得所以，xy2.当且仅当a1时，上式等号成立，此时ABC是等腰三角形变式联想变式1答案：.解法1因为O是三角形外心，M是BC边的中点.2224，所以27.即AB.解法2延长AO交圆O于D，连接BD，DC，则BDAB，CDAC.()()()()2224，27.即AB.解法3建系：以BC为x轴，OM为y轴，建立平面直角坐标系，设B(a，0)，C(a，0)，O(0，

5、b)，A(c，d)由题意得AB2(ac)2d2a22acc2d27，AB.变式2答案：1.解法1不妨设a(1，0)，b(0，1)，c(x，y)，则ac(1x，y)，bc(x，y)，由题意得x(1x)y(y)1，整理得x2y2xy10，即2，它表示以为圆心，以为半径的圆，则|c|表示该圆上的点到原点(0，0)的距离，从而|c|max1.解法2由解法1得2，令(为参数)则|c|23cossin32cos()(其中tan)，所以|c|max232，于是|c|max1.串讲激活串讲1答案：4.解法1记，方向上的单位向量分别为a，b，则a2b21，ab，4a，6b.从而2a，2b，()ab，b3a，2b

6、2a.所以(b3a)(2b2a)2b26a28ab2644.解法2取CE的中点G，连接BG，设BG的中点为M，连接FM，则，且FMBM，所以2BM2DE2224.解法3若对坐标法情有独钟，也可以以A为原点，方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，C(3，3)，从而D(2，0)，E(1，)，F，所以，(1，)，所以4.串讲2答案：.解法1()2()24(252)(2522).解法2如图所示，建立直角坐标系，则A(0，3)，设B(x1，2)，C(x2，0)，则(x1，1)，(x2，3)，因为|5，所以(x1x2)2(4)225，即(x1x2)29，而x1x2333(当且

7、仅当x1x2时取等号)新题在线答案：.解法1由题意可知，BMBN，AMB90，所以AMBN，因为AC2，B为AC的中点，所以BNBCBA1，设NBCMAB，()|cos|cos|2，令|t，0t1，tt2，所以的最大值为.解法2()()cos1|sincos1|2|1|2|，以下同解法1.解法3以点B为坐标原点，线段AC所在的直线为x轴，线段AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系设NBCMAB，则M(sin2，sincos)，N(cos，sin)，A(1，0)，C(1，0)，(1sin2，sincos)(cos1，sin)(1sin2)(cos1)sin2coscos1sin2cos2cos，令cost，0t1，以下同解法1.解法4同解法3建系，设直线BN的斜率为k(k0)，则直线BM的斜率为，则直线BN的方程为ykx，直线BM的方程为yx，联立解得N，联立解得M，因为A(1，0)，C(1，0)，所以，令t，则0t1，以下同解法1.