1、上海市杨浦区2021届高三数学上学期期中（0.5模）试题（含解析）一、填空题。1、 函数的定义域为_； 2、 已知集合,且非空，则实数的取值范围_；3、 若函数为奇函数，则最小的正数_；4、 已知长方体的长、宽、高分别为3、4、12，则长方体的一条对角线长为_；5、 幂函数的图像过点，其反函数为，则=_；6、 的二项展开式中，若第9项与第13项系数相等，则第20项为_；7、 若是定义在上的奇函数，当时，则=_；8、 用这五个数可以组成_个没有重复数字的四位奇数。（用数字作答）9、 若，则_；10、 是直角三角形所在平面外一点，已知三角形的边长，则直线与平面所成角的余弦值为_；11、 函数的定义
2、域和值域都是集合的非空真子集，如果对于内任意的，总有的值是奇数，则满足条件的函数的个数是_；12、 若分段函数，将函数，的最大值记作，那么当时，的取值范围是_;二、 选择题。13、 设直线与平面所成的角相等，则直线的位置关系为( )A、 平行 B、平行或异面 C、平行或相交 D平行、相交或异面14、 已知,则是“”的（ ）A、 充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、非充分非必要条件15、 申辉中学从4名有数学特长的同学A、B、C、D中挑1人去参加中学生数学联赛，4名同学各自对结果的估计如下,A：“参赛的是A”；B：“参赛的是B”;C：“参赛的是A或B”；D：“参赛的既不是A也不
3、是C”；已知期中有且只有2人的估计是正确的，则取得参加联赛的是（）A、 A同学 B、B同学 C、C同学 D、D同学16、设函数满足，的零点为，则下列选项中一定错误的是（）A、 B、 C、 D、三、解答题17. 已知圆锥的体积为，底面半径与互相垂直，且；是母线的中点。（1） 求圆锥的表面积（2） 求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示） 18.已知在中，三边分别对应三个内角；且（1）求角的大小；（2）当在外接圆半径时，求面积的最大值，并判断此时的形状。19.某地区去年的水价为4.2元/立方米，年用水量为立方米，今年计划将水价降到2.8元/立方米至4元/立方米之间，而用户期望水价为2.5元
4、/立方米，经测算，下调水价后新增的用水量与实际水价和用户期望水价的差成反比（比例系数为0.5），该地区的成本为2元/立方米.（1） 今年水价下调后，为保证供水部门的收益不得低于去年的收益，则实际水价最低价格为多少？（保留2位小数）（2） 试问调价后，今年供水部门收益的最小值为多少？20. 设函数的定义域为，且同时满足以下两个条件：存在实数，使得；当，时，有恒成立.（1） 函数是否满足上述的两个条件，并说明理由；（2）求证：当时，；（3）若当时，求实数的取值范围.21. 函数，其中是定义在上的周期函数，为常数（1） ，讨论的奇偶性，并说明理由；（2） 求证:”为奇函数“的一个必要非充分条件是“的
5、图像有异于原点的对称中心”（3） ，在上的最大值为，求的最小值。杨浦区2020学年度第一学期高三期中质量调研数学学科试卷一、填空题。16、 函数的定义域为_； 【答案】 【解析】，定义域为；17、 已知集合,且非空，则实数的取值范围_；【答案】 【解析】由数轴可知；18、 若函数为奇函数，则最小的正数_；【答案】 【解析】由图可知，移动，变为即满足题意；19、 已知长方体的长、宽、高分别为3、4、12，则长方体的一条对角线长为_；【答案】 13【解析】体对角线公式：；20、 幂函数的图像过点，其反函数为，则=_；【答案】 9【解析】幂函数过，反函数，21、 的二项展开式中，若第9项与第13项系
6、数相等，则第20项为_；【答案】【解析】，22、 若是定义在上的奇函数，当时，则=_；【答案】 【解析】 上奇函数,23、 用这五个数可以组成_个没有重复数字的四位奇数。（用数字作答）【答案】【解析】分类讨论：不含，;含，两奇两偶，；三偶一奇，；共有种；24、 若，则_；【答案】【解析】25、 是直角三角形所在平面外一点，已知三角形的边长，则直线与平面所成角的余弦值为_；【答案】【解析】由题意得，在底面的投影为的外心，即三条中垂线的交点，。26、 函数的定义域和值域都是集合的非空真子集，如果对于内任意的，总有的值是奇数，则满足条件的函数的个数是_；【答案】 【解析】【法一】因为所以中至少一个为
7、奇数，定义域为的都可以，有种；定义域为的函数，所以有种；共种。【法二】，则，且，有种，则有种；或，若中不含，则有种，有中，共有种；若中含有，则有两种取法，共有种。于是共有种。一共有种。27、 若分段函数，将函数，的最大值记作，那么当时，的取值范围是_;【答案】【解析】数形结合，当，当，故范围三、 选择题。28、 设直线与平面所成的角相等，则直线的位置关系为( )B、 平行 B、平行或异面 C、平行或相交 D平行、相交或异面【答案】 D【解析】线面角相同，两直线可以相交、平行、异面。29、 已知,则是“”的（ ）B、 充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、非充分非必要条件【答案】
8、 B【解析】若不成立，故必要不充分条件。30、 申辉中学从4名有数学特长的同学A、B、C、D中挑1人去参加中学生数学联赛，4名同学各自对结果的估计如下,A：“参赛的是A”；B：“参赛的是B”;C：“参赛的是A或B”；D：“参赛的既不是A也不是C”；已知期中有且只有2人的估计是正确的，则取得参加联赛的是（）B、 A同学 B、B同学 C、C同学 D、D同学【答案】 A【解析】若A参赛，则A、C估计正确，B、D估计不正确，选A。16、设函数满足，的零点为，则下列选项中一定错误的是（）A、 B、 C、 D、【答案】 C【解析】两种情况：；。且可知，从而，选C。三、解答题18. 已知圆锥的体积为，底面半
9、径与互相垂直，且；是母线的中点。（3） 求圆锥的表面积（4） 求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）E 【答案】（1） （2）【解析】（1）,(2) 取中点，连接与所成角为(或其补角)，所以异面直线与所成角的大小为。18.已知在中，三边分别对应三个内角；且（1）求角的大小；（2）当在外接圆半径时，求面积的最大值，并判断此时的形状。【答案】（1）（2）是等边三角形，面积最大值为【解析】（1），即，即(2)外接圆半径， ，,，当且仅当时等号成立，的面积。的面积的最大值是，当且仅当时等号成立，即此时是等边三角形。19.某地区去年的水价为4.2元/立方米，年用水量为立方米，今年计划将水价降到
10、2.8元/立方米至4元/立方米之间，而用户期望水价为2.5元/立方米，经测算，下调水价后新增的用水量与实际水价和用户期望水价的差成反比（比例系数为0.5），该地区的成本为2元/立方米.（3） 今年水价下调后，为保证供水部门的收益不得低于去年的收益，则实际水价最低价格为多少？（保留2位小数）（4） 试问调价后，今年供水部门收益的最小值为多少？【答案】（1）3.43元/立方米（2）2 【解析】（1）收益：；，又，所以最小值为3.43.为保证收益不低于去年的收益，则实际水价的最低价格为3.43元/立方米。（2）,当且仅当，即 时，等号成立，所以今年供水部门收益的最小值为2元。22. 设函数的定义域为
11、，且同时满足以下两个条件：存在实数，使得；当，时，有恒成立.（2） 函数是否满足上述的两个条件，并说明理由；（2）求证：当时，；（3）若当时，求实数的取值范围.【答案】（1）符合，见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）满足，存在,使得满足条件，又，对于恒成立，满足条件（3） 因为可令,由，所以当时，。（4） 对任意的,设，由第(2)问得，所以是增函数。恒成立，则的最小值，则23. 函数，其中是定义在上的周期函数，为常数（4） ，讨论的奇偶性，并说明理由；（5） 求证:”为奇函数“的一个必要非充分条件是“的图像有异于原点的对称中心”（6） ，在上的最大值为，求的最小值。【答案】（1），奇函数；，非奇非偶函数；（2）证明略（3）【解析】（1）,时，为奇函数，时，不是奇函数，.，无解，不是偶函数，是非奇非偶函数。（2）非充分性:举反例，有异于远点的对称中心，但不是奇函数；必要性：设奇函数，且，令 ,，令，则的图像关于对称。（3），取,则，；下证的最小值为，反证法：假设,，；同理，；，；-得，-得，矛盾，所以假设不成立，得证。【法二】 当时，
