1、四川省内江市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题： 1.设集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：，所以，所以，选B.考点：集合的基本运算2.（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式化为特殊锐角，即可求解.【详解】。故选:C.【点睛】本题考查诱导公式求特殊角的三角函数值，属于基础题.3.已知函数，则（ ）A. 82B. C. 4D. 1【答案】C【解析】【分析】从内向外求出函数值，即可求解.【详解】.故选:C.【点睛】本题考查复合函数值，考查分段函数的理解，属于基础题.4.已知扇形的弧长是2，面积是4，则
2、扇形的圆心角的弧度数是（ ）A. B. C. D. 4【答案】A【解析】【分析】扇形的弧长是2，面积是4，求出半径，由弧长公式，即可求解.【详解】设扇形的半径为，圆心角为，依题意，.故选:A.【点睛】本题考查扇形的弧长、面积公式，属于基础题.5.已知函数，则A. 是奇函数，且在R上是增函数B. 是偶函数，且在R上是增函数C. 是奇函数，且在R上是减函数D. 是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】分析：讨论函数的性质，可得答案.详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数，又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数故选A.点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.6.已知是第三象限的角，
3、若，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据是第三象限的角得，利用同角三角函数的基本关系，求得的值.【详解】因为是第三象限的角，所以，因为，所以解得：，故选D.【点睛】本题考查余弦函数在第三象限符号及同角三角函数的基本关系，即已知值，求的值.7.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】三数与比较大小，即可求解.【详解】，.故选:A.【点睛】本题考查应用函数的单调性比数的大小，要注意特殊数的运用，属于基础题.8.若是三角形的一个内角，且，则的值是（ ）A. B. C. 或D. 不存在【答案】B【解析】【分析】由诱导公式化为 ， 平方求出，结合已知进一步判断
4、角范围，判断符号，求出 ，然后开方，进而求出的值，与联立，求出，即可求解.【详解】，平方得，是三角形的一个内角，.故选:B【点睛】本题考查诱导公式化简，考查同角间的三角函数关系求值，要注意，三者关系，知一求三，属于中档题.9.已知且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令代入，求出，再由，即可求出结果.【详解】令，则，.故选:D.【点睛】本题考查由复合函数的解析式求函解析式，常用的方法有：换元法、拼凑法、待定系数法、解方程法，注意解题方法的积累，属于基础题.10.已知函数（且）在上的最大值与最小值之和为，则的值为（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】A【解析】【
5、分析】且）有相同的单调性，（且）在有单调性，最值在区间端点上，可得，解关于的方程，即可得出结论.【详解】有指数函数和对数函数的性质可知，（且）在有单调性，依题意，整理得，解得或（舍去）.故选:A.【点睛】本题考查函数的单调性的应用，考查函数的最值，属于基础题.11.已知函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数的图像关于轴对称，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平移关系得出，由已知为偶函数，可得，求出 ，结合，即可求出结论.【详解】函数的图象向右平移个单位长度后得到函数，的图像关于轴对称，即为偶函数，所以，解得，的最小值为.故选:C.【点睛】本题
6、考查三角函数图像变换关系，并考查变换后函数的性质，应用函数奇偶性求参数范围，属于中档题.12.对于函数，设，若存在，使得，则称互为“零点相邻函数”.若与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知可得在上为增函数，且，从而判断只有唯一零点2，由题意可得在至少有一零点，令，分离参数可得， 令，转化为与在有交点，化简，由一次函数和反比例函数的单调性可知为增函数，所以可得，从而得到的取值范围.【详解】，且在上为增函数，所以只有唯一零点2，是“零点相邻函数”，在至少有一零点，由，所以，设，与在有交点，一次函数和反比例函数的单调性可知为增函数，所
7、以，要使与在有交点，需，即为的取值范围.故选:B.【点睛】本题以新定义为背景，考查函数的零点以及零点存在的范围，解题的关键是分离参数构造新函数，转化为参数与新函数的图像、值域关系，属于较难题.二、填空题13.计算：_.【答案】5【解析】分析】根据对数的运算公式以及分数指数幂的运算法则，即可求解.【详解】.故答案为:5.【点睛】本题考查对数以及分数指数幂的运算，熟记计算公式是解题的关键，属于基础题.14.函数的定义域是_.【答案】【解析】分析：利用对数函数的定义域，指数函数的单调性解不等式组即可的得结果.详解：要使函数有意义，则，故答案为.点睛：求定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，
8、则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.15.已知角的终边经过点，且，则_.【答案】6【解析】【分析】由，解方程，即可得出结论.【详解】，整理得.故答案为:6.【点睛】本题考查三角函数的定义，要注意判断参数的取值范围，属于基础题.16.函数，若方程恰有3个不同的实数解，记为，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】做出函数的图像，根据图像判断出三个零点关系以及范围，将问题转化为以其中一个零点为自变量的函数值，即可求得结论.【详解】做出函数图像如下图所示：恰有3个不同
9、的实数解，不妨设，关于直线对称，.故答案为:.【点睛】本题考查函数零点和的取值范围，考查函数的图像以及函数的性质，解题的关键要利用函数的对称性求出部分零点和，属于中档题.三、解答题17.已知全集，集合，.（1）当时，求与；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）,或；（2）.【解析】【分析】（1）化简集合，当时，求出集合，求出，即可求出结论；（2）得出，可得集合端点范围，求解关于的不等式，即可得到的取值范围.【详解】（1）解：由已知，得， 当时，故. 或，或. （2），解得实数的取值范围为【点睛】本题考查集合间的运算，考查集合的关系求参数，属于基础题.18.已知函数，且.（1）求的值；（2）
10、求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用诱导公式化简函数可得，由已知得，分子分母同除以，化为，即可求解；（2）将所求的式子除以，构造关于齐二次分式，分子分母同除以，化为，即可求解；【详解】（1） ， （2）【点睛】本题考查诱导公式化简函数，考查关于齐次分式的求值，化弦为切是关键，属于基础题.19.已知函数.（1）利用函数单调性的定义证明：对任意实数，函数是其定义域上的增函数；（2）试确定实数的值，使为奇函数，并用函数奇偶性的定义加以证明.【答案】（1）证明见解析（2），证明见解析【解析】【分析】（1）任取，设，将做差，通分，因式分解，判断各因式的符号，即可得证；（2）函数的定义域为
11、，利用奇函数的必要条件，求出，求出整理化简，即可证明结论.【详解】（1）由已知，函数的定义域为，任取，设，则 ，又，.在其定义域上增函数. （2）要使是定义域为的奇函数.则，得，此时 下面用定义证明为奇函数 为奇函数.【点睛】本题考查函数的单调性的证明，考查利用函数的奇偶性求参数，并用奇偶性定义证明，属于基础题.20.资中血橙，是四川省内江市资中县特产，中国国家地理标志产品.资中血橙果实于次年1月成熟，果形整齐端庄，色泽鲜丽，果大皮薄，肉质脆嫩化渣，汁多味浓，紫红色，有玫瑰香味，无核，品质极优，其维生素C是其他橙类的两倍.某水果批发商每箱进价为40元，假设每箱售价不低于50元且不高于55元.市
12、场调査发现，每箱血橙的销售价格与日均销售量之间的关系如下表所示：销售价格（元/每箱）505152535455日均销售量（箱）908784817875（1）求平均每天的销售量（箱）与销售单价（元/箱）之间的函数解析式；（2）求平均每天的销售利润（元）与销售单价（元/箱）之间的函数解析式；（3）当每箱血橙的售价为多少元时，该水果批发商可以获得最大利润？最大利润是多少？【答案】（1）（2）（3）当每箱血橙售价为55元时，该水果批发商可以获得最大利润，最大利润是1125元.【解析】【分析】（1）由图表得出售价与销售量的关系，即每箱销售价格提高1元，则日均销售量减少3箱，从而求出函数解析式；（2）每箱的
13、利润乘以（1）中的销售量，即可求出利润函数解析式；（3）将（2）中的利润函数配方，结合自变量的范围，利用函数的单调性，即可求解.【详解】（1）由表可知，每箱销售价格提高1元，则日均销售量减少3箱， 所以，即 （2）由题意，知（3）当时，为增函数当时，取最大值，且最大值1125答：当每箱血橙售价为55元时，该水果批发商可以获得最大利润，最大利润是1125元.【点睛】本题考查函数应用问题，认真审题，将实际问题转化为数学模型，考查二次函数的最值，属于中档题.21.设函数（为常数，且）的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式和单调减区间；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）， （
14、2）【解析】【分析】（1）有最高点的纵坐标得，根据由五点作图法知，由第二点、第五点横坐标，得出关于的关系式，求解，即可求出解析式，用整体替换正弦函数的单调减区间，即可求出单调递减区间；（2）在上恒成立，转化为在上恒成立，只需，利用整体思想结合正弦函数的值域，即可求解.【详解】（1）根据图象得， 由五点作图法知，解得 所以函数的解析式. 由，得故函数的单调减区间为 （2）由题意在上恒成立所以当时， 由，得 当，即时，取得最大值 ，故的取值范围是【点睛】本题考查由图像求解析式，利用特殊点坐标与五点画法中点的关系求参数，考查函数的性质，考查恒成立问题，等价转化为求函数的最值，属于中档题.22.已知函
15、数图象经过点，函数.（1）求函数的解析式；（2）是否存在实数，使得在上的最小值为3？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下若存在实数，使得不等式在时能成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）存在，且（3）【解析】【分析】（1）将代入，求出；（2）由已知得，假设存在符合条件的实数，令，得出，根据对称轴与区间的关系，分类讨论求出的最小值且等于3，求解关于的方程，即可求出结论；（3）在时能成立，转化为对能成立，令，则，令.，用函数的单调性定义可证在上为减函数，在上为增函数，在的最大值为求出，即可得出结论.【详解】（1）函数图象经过点， 函数的解析式. （2）由（1）知，假设存在符合条件的实数.令.，. 当，即时，在上增函数，当时，有最小值，即，符合条件. 当即时，在上为减函数，在上为增函数当时，有最小值.，即（舍）. 当，即时，在上为减函数时，有最小值，（舍）. 综上所述，存在实数使得的最小值为3，且. （3）时，原问题转化为对能成立令，则 由（2）知，令.，则,设，在上为减函数，同理在上为增函数在的最大值为，在上的最大值为3即在上的最大值为3 ，即的取值范围是.【点睛】本题考查二次函数的最值，考查分类讨论思想，解题的关键是对的范围正确分段，考查不等式能成立问题，分离参数，等价转化为参数与函数的最值关系，属于较难题.
