1、第3讲函数的奇偶性及周期性最新考纲考向预测1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性命题趋势以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性与对称性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.核心素养数学抽象、逻辑推理1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，
2、那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期常用结论1函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2函数周期性的常用结论对f(x
3、)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)(2)若f(xa)，则T2a(a0)(3)若f(xa)，则T2a(a0)常见误区1判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件2函数f(x)是奇函数，必须满足对定义域内的每一个x，都有f(x)f(x)，而不能说存在x0，使f(x0)f(x0)同样偶函数也是如此3不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)5.1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)f(x)0.()(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)如
4、果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件()(5)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2下列函数中为偶函数的是()Ayx2sin xByx2cos xCy|ln x|Dy2x解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(x)f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数故选B.3(易错题)已知函数f(x)ax2bx3是定义在a3，2a上的偶函数，则ab的值
5、是()A1B1C3D0解析：选B.因为函数f(x)ax2bx3是定义在a3，2a上的偶函数，所以a32a0，解得a1.由f(x)f(x)得b0，所以ab1.故选B.4已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，则f(1)_解析：f(1)122，又f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)2.答案：25设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1，1)时，f(x)则f_解析：fff421.答案：1函数的奇偶性角度一判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x3x，x1，4；(2)f(x)ln ；(3)f(x)；(4)f(x)【解】(1)因为f(x)x3x，x1，4
6、的定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)f(x)的定义域为(2，2)，f(x)ln ln f(x)，所以函数f(x)为奇函数(3)f(x)的定义域为1，1，关于原点对称又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数(4)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(0)0，也满足f(x)f(x)故该函数为奇函数函数具有奇偶性包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域(2)判断f(x)与f
7、(x)的关系在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立常见特殊结构的奇偶函数：f(x)loga(x)(a0且a1)为奇函数，f(x)axax(a0且a1)为偶函数 角度二函数奇偶性的应用 (1)(2019高考全国卷)设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x0时，f(x)()Aex1Bex1Cex1Dex1(2)(2021徐州模拟)已知函数f(x)cos 1，若f(a)，则f(a)()ABCD【解析】(1)通解：依题意得，当x0时，f(x)f(x)(ex1)ex1，选D.优解：依题意得，f(1)f(1)(e11
8、)1e，结合选项知，选D.(2)设g(x)f(x)1sin 2x，易知g(x)是奇函数，则g(a)f(a)11，所以g(a)g(a)，即f(a)1，所以f(a).故选D.【答案】(1)D(2)D已知函数奇偶性可以解决的3个问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值1函数f(x)为奇函数，则实数a()A1B1CD解析：选C.由题知f(x)为奇函数，则f(0)0，
9、即02a30，所以a，此时f(x)为奇函数2如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是()Ayxf(x)Byxf(x)Cyx2f(x)Dyx2f(x)解析：选B.因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)对于A，g(x)xf(x)xf(x)g(x)，所以yxf(x)是奇函数对于B，g(x)xf(x)xf(x)g(x)，所以yxf(x)是偶函数对于C，g(x)(x)2f(x)x2f(x)，所以yx2f(x)为非奇非偶函数对于D，g(x)(x)2f(x)x2f(x)g(x)，所以yx2f(x)是奇函数3(多选)若函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足
10、f(x)2g(x)ex，则()Af(x)Bg(x)Cf(2)g(1)Dg(1)f(3)解析：选AD.因为函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)2g(x)ex，所以f(x)2g(x)ex，即f(x)2g(x)ex.联立解得所以f(2)，f(3)，g(1)0，所以g(1)f(2)，g(1)0时，f(x)x2x，则当x0时，函数f(x)的最大值为_解析：方法一：当x0，所以f(x)x2x.又因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)x2x，所以当x0时，f(x)x2x，最小值为，因为函数f(x)为奇函数，所以当x0时，函数f(x)的最大值为.答案：函数的周期性 (
11、1)(2020广东六校第一次联考)在R上函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且f(x)其中aR，若f(5)f(4.5)，则a()A0.5B1.5C2.5D3.5(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0，4上与x轴的交点的个数为()A2B3C4D5【解析】(1)由f(x1)f(x1)，得f(x)是周期为2的函数，又f(5)f(4.5)，所以f(1)f(0.5)，即1a1.5，所以a2.5.故选C.(2)当0x2时，令f(x)x3xx(x21)0，所以yf(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x10，x21.当2x4时，0x22
12、，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x2)f(x)，所以f(x)(x2)(x1)(x3)，所以当2x4时，yf(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x32，x43.又f(4)f(2)f(0)0，综上可知，共有5个交点【答案】(1)C(2)D函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期性只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期1已知定义在R上的函数满足f(x2)，当x(0，2时，f(x)2x1.则f(17)_解析： 因为f(x2)，所以f(x4)f(x)，所以函数yf(x)的周期T4.f(17)f(441)f(1)1.答案：12已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3，0时，f(x)6x，则f(2 023)_解析：因为f(x4)f(x2)，所以f(x6)f(x)，则T6是f(x)的周期所以f(2 023)f(33761)f(1)又f(x)在R上是偶函数，所以f(1)f(1)6(1)6，即f(2 023)6.答案：6
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