1、第三单元 函数的概念与性质B卷 培优提能过关卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（2021全国高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）ABCD2（2021全国高考真题（理）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，若，则（ ）ABCD3（2021全国高考真题（理）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）ABCD4高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则函数的值域为（ ）ABCD5（2021湖北襄阳市襄阳四中高三其他模拟
2、）设奇函数f(x)在(0，+)上为增函数，且f(1)=0，则不等式的解集为（ ）ABCD6对于函数yf（x），其定义域为D，如果存在区间m，nD，同时满足下列条件：f（x）在m，n上是单调函数；当f（x）的定义域为m，n时，值域也是m，n，则称区间m，n是函数f（x）的“K区间”.若函数f（x）a（a0）存在“K区间”，则a的取值范围为（ ）ABCD（，17已知定义域为R的偶函数yf（x）3x在0，+）单调递增，若f（m）+3f（1m）+6m，则实数m的取值范围是（ ）A（，2B2，+）C，+）D（，8（2021四川宜宾市高三三模（文）已知是定义在上的奇函数，满足，下列说法：的图象关于对称；的
3、图象关于对称；在内至少有5个零点；若在上单调递增，则它在上也是单调递增.其中正确的是（ ）ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9（2021重庆高三其他模拟）定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列关于函数的说法中一定正确的是（ ）A周期为B图象关于点对称C是偶函数D图象关于直线对称10（2021武汉市第一中学高三二模）若函数对定义域D内的每一个，都存在唯一的，使得成立，则称为“自倒函数”则下列结论正确的是（ ）Af(x)sinx+（x，）是“自倒函数”B“自倒函数”可以是奇函数C“自倒函数
4、”的值域可以是RD若都是“自倒函数”且定义域相同，则也是“自倒函数”11（2021重庆南开中学高三模拟）已知函数的图象关于直线对称，且对有.当时，.则下列说法正确的是（ ）A的周期B的最大值为4CD为偶函数12假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者，现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以表示，被捕食者的数量以表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法不正确的是（ ）A若在、时刻满足：，则B如果数量是先上升后下降的，那么的数量一定也是先上升后下降C被
5、捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D被捕食者数与捕食者数总和达到最大值时，捕食者的数量也会达到最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（2021浙江高考真题）已知，函数若，则_.14（2021全国高考真题）已知函数是偶函数，则_.15（2021河南洛阳市高三模拟（理）若存在实常数和，使得和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“分隔直线”.已知函数，若和之间存在“分隔直线”，则的取值范围为_.16（2021青海西宁市高三二模（理）已知函数，若在区间上的最大值是3，则的取值范围是_.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程
6、或演算步骤17（2021四川成都市石室中学高三三模）设函数的最小值（1）求；（2）已知为正实数，且，求证18（2021上海高三模拟）若函数f(x)对任意的xR，均有f(x1)+f(x+1)2f(x)，则称函数f(x)具有性质P.（1）判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由；y=3x；y=x3；（2）若函数g(x)=，试判断g(x)是否具有性质P，并说明理由；（3）若函数f(x)具有性质P，且f(0)=f(n)=0(n2，nN*)求证：对任意1kn1，kN*，均有f(k)0.19（2021上海市建平中学高三三模）上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后
7、，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为.（1）求的解析式；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？20（2021江西九江市九江一中高三其他模拟（理）已知.（1）若时，求的解集；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围21（2021上海高三一模）已知实数是常数，函数.（1）求函数的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，设，记
8、的取值组成的集合为，则函数的值域与函数()的值域相同.试解决下列问题：（i）求集合；（ii）研究函数在定义域上是否具有单调性？若有，请用函数单调性定义加以证明；若没有，请说明理由.并利用你的研究结果进一步求出函数的最小值.22设，其中常数.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若不等式在区间上有解，求实数的取值范围；（3）已知：若对函数定义域内的任意，都有，则函数的图象有对称中心.利用以上结论探究：对于任意的实数，函数是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标(用表示)；若不是，证明你的结论一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（
9、2021全国高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）ABCD【答案】B【解析】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，所以，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.2（2021全国高考真题（理）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，若，则（ ）ABCD【答案】D【解析】因为是奇函数，所以；因为是偶函数，所以令，由得：，由得：，因为，所以，令，由得：，所以思路一：从定义入手所以思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期所以故选：D3（2021全国高考真题（理）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）ABC
10、D【答案】B【解析】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B4高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则函数的值域为（ ）ABCD【答案】B【解析】因为，所以是上的奇函数.当时，所以当时，从而的值域为.故选：B5（2021湖北襄阳市襄阳四中高三其他模拟）设奇函数f(x)在(0，+)上为增函数，且f(1)=0，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】D【解析】解：因为为奇函数，则，所以，等价于，即与异号，即
11、或，又在上单调递增，且，所以在上单调递增，且若，则或若，则或若，所以或，解得；若，所以或，解得；综上原不等式的解集为故选：D6对于函数yf（x），其定义域为D，如果存在区间m，nD，同时满足下列条件：f（x）在m，n上是单调函数；当f（x）的定义域为m，n时，值域也是m，n，则称区间m，n是函数f（x）的“K区间”.若函数f（x）a（a0）存在“K区间”，则a的取值范围为（ ）ABCD（，1【答案】C【解析】为减函数，所以两式相减化简得 代人 ,得 问题转化为函数与函数有两个交点结合图像可知故选：C7已知定义域为R的偶函数yf（x）3x在0，+）单调递增，若f（m）+3f（1m）+6m，则实数
12、m的取值范围是（ ）A（，2B2，+）C，+）D（，【答案】D【解析】解：设，由题意可知函数为偶函数，并且在0，+）单调递增，由，得，即，所以，因为在0，+）单调递增，所以，两边平方得，解得，所以实数m的取值范围是（，故选：D8（2021四川宜宾市高三三模（文）已知是定义在上的奇函数，满足，下列说法：的图象关于对称；的图象关于对称；在内至少有5个零点；若在上单调递增，则它在上也是单调递增.其中正确的是（ ）ABCD【答案】D【解析】解：由于是定义在上的奇函数，满足，所以，整理得，所以：故对于，函数的图象关于对称，故正确，错误.对于，函数，由于，令，所以，整理得，故正确；对于，所以函数在上单调递
13、增，则它在上单调递增，故正确；故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9（2021重庆高三其他模拟）定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列关于函数的说法中一定正确的是（ ）A周期为B图象关于点对称C是偶函数D图象关于直线对称【答案】BC【解析】由题知，若的周期为，则，即，显然不一定；由为奇函数知的图象关于原点对称，故的图象关于对称，从而，又，所以为偶函数；又由知，所以的图象关于点对称.10（2021武汉市第一中学高三二模）若函数对定义域D内的每一个，都存在唯一的，使得成立，则称为“自倒函数
14、”则下列结论正确的是（ ）Af(x)sinx+（x，）是“自倒函数”B“自倒函数”可以是奇函数C“自倒函数”的值域可以是RD若都是“自倒函数”且定义域相同，则也是“自倒函数”【答案】AB【解析】对于A，任取，有，且；由，得，即，且，即，显然存在唯一的满足题意.是上的自倒函数，所以A正确；对于B，当是奇函数时，不妨设，其中，则任取，有，由得，其中，是定义域上的自倒函数，所以B正确；对于C，若自倒函数的值域是R，则当时，不存在，使得成立，所以自倒函数的值域不可以是R，命题不成立，所以C错误；对于D，当，都是自倒函数，且定义域相同时，函数不一定是自倒函数，例如，其中，则不是自倒函数，因为由，得，不唯
15、一，故命题不成立，所以D错误故选：AB11（2021重庆南开中学高三模拟）已知函数的图象关于直线对称，且对有.当时，.则下列说法正确的是（ ）A的周期B的最大值为4CD为偶函数【答案】ABD【解析】解：函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称，对有，函数的图象关于中心对称，即，又，即，即，的周期，选项A正确；为偶函数，选项D正确；当时，当时，即，当时，又函数的图象关于直线对称，在一个周期上，在上的最大值为4，选项B正确；，选项C错误.故选：ABD.12假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者，现在我们来研究捕食者与被捕食者之
16、间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以表示，被捕食者的数量以表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法不正确的是（ ）A若在、时刻满足：，则B如果数量是先上升后下降的，那么的数量一定也是先上升后下降C被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D被捕食者数与捕食者数总和达到最大值时，捕食者的数量也会达到最大值【答案】ABD【解析】由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确；在曲线上半段中观察到是先上升后下降，而是不断变小的，故B不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样
17、当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C正确；当捕食者数量最大时在图象最右端，此时二者总和，由图象可知存在点，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故D错误，故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（2021浙江高考真题）已知，函数若，则_.【答案】2【解析】，故，故答案为：2.14（2021全国高考真题）已知函数是偶函数，则_.【答案】1【解析】因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，故答案为：115（2021河南洛阳市
18、高三模拟（理）若存在实常数和，使得和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“分隔直线”.已知函数，若和之间存在“分隔直线”，则的取值范围为_.【答案】【解析】如下图所示：由图可知，可得对任意的恒成立，则，即，不等式对任意的恒成立，若，当时，不合乎题意；若，则对任意的恒成立，则，可得，又对任意的恒成立，则，；若，则，所以，即，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.16（2021青海西宁市高三二模（理）已知函数，若在区间上的最大值是3，则的取值范围是_.【答案】【解析】由题易知，即，所以，又，所以.下证时，在上最大值为3.当时，;当，若，即，则，满足;若，即，此时，而
19、，满足;因此，符合题意.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（2021四川成都市石室中学高三三模）设函数的最小值（1）求；（2）已知为正实数，且，求证【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由题可得，时，时，时，于是有，所以；（2）由（1）知，可得，同理得，由基本不等式可得当且仅当时取“=”，所以18（2021上海高三模拟）若函数f(x)对任意的xR，均有f(x1)+f(x+1)2f(x)，则称函数f(x)具有性质P.（1）判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由；y=3x；y=x3；（2）若函数g(x)=，试判断g(x)是否具有性质P，并说明
20、理由；（3）若函数f(x)具有性质P，且f(0)=f(n)=0(n2，nN*)求证：对任意1kn1，kN*，均有f(k)0.【答案】（1）具有性质P，不具有性质P，理由见解析；（2）g(x)具有性质P，理由见解析；（3）证明见解析.【解析】解：（1）f(x1)+f(x+1)2f(x)=3x1+3x+123x=3x()0，故具有性质P；不具有性质P，如x=1时，f(x1)+f(x+1)=f(2)+f(0)=8，而2f(1)=2，不满足不等式，（2）1当x为有理数时，具有性质P，理由如下：f(x1)+f(x+1)2f(x)=(x1)2+(x+1)22x2n(x1+x+12x)=20，2当x为无理数
21、时，具有性质P，理由如下：f(x1)+f(x+1)2f(x)=(x1)2+(x+1)22x2=20，综上可知g(x)具有性质P.（3）证明：假设f(x)为f（1），f（2），f(n1)中第一个大于0的值，则f(k)f(k1)0，因为函数f(x)具有性质P，所以f(n+1)f(n)f(n)f(n1)，所以f(n+1)f(n)f(n)f(n1)f(k)f(k1)0，所以f(n)=f(n)f(n1)+f(n1)f(n2)+f（1）0，与f(n)=0矛盾，所以假设错误，原命题正确，即对于任意的1kn1，kN*，均有f(k)0.19（2021上海市建平中学高三三模）上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后
22、将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为.（1）求的解析式；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？【答案】（1）；（2）分钟.【解析】（1）由题意知，（k为常数），因，则，所以；（2）由得，即，当时，当且仅当等号成立；当时，在10，20上递减，当时Q取最大值24，由可知，当发车时间间隔为分
23、钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元.20（2021江西九江市九江一中高三其他模拟（理）已知.（1）若时，求的解集；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，则即，解得，故当时，的解集为.（2）当时，不等式恒成立，即恒成立，即，因为，所以，解得，的取值范围为.21（2021上海高三一模）已知实数是常数，函数.（1）求函数的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，设，记的取值组成的集合为，则函数的值域与函数()的值域相同.试解决下列问题：（i）求集合；（ii）研究函数在定义域上是否具有单调性？若有，请用函数单调性定义加以证明；若没有
24、，请说明理由.并利用你的研究结果进一步求出函数的最小值.【答案】（1）定义域为，为偶函数，理由见解析；（2）（i）；（ii）在上是减函数，证明见解析，最小值为.【解析】（1）实数是常数，函数，由，解得.函数的定义域是.对于任意，有,，即对都成立(又不恒为零)，函数是偶函数.（2）由，有.（i）()，则.，即.（ii）由（i）知：的定义域为.对于任意的且，有.又且(这里二者的等号不能同时成立)，即.函数在上是减函数.又函数的值域与函数的值域相同，函数的最小值为.22设，其中常数.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若不等式在区间上有解，求实数的取值范围；（3）已知：若对函数定义域内的任意，都有，则函数的图象有对称中心.利用以上结论探究：对于任意的实数，函数是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标(用表示)；若不是，证明你的结论.【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）有对称中心，对称中心为.【解析】（1）当时，所以，为奇函数.当时，因为，所以既不是奇函数也不是偶函数.（2）原问题可化为在区间有解，则，因为函数在区间单调递减，所以，所以，所以a的取值范围是.（3）假设存在对称中心，则恒成立，得恒成立所以，得，所以函数有对称中心
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