1、第七单元 复数一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（2021浙江高考真题）已知，(i为虚数单位)，则（ ）AB1CD32（2021北京高考真题）在复平面内，复数满足，则（ ）ABCD3（2021全国高考真题（理）设，则（ ）ABCD4复数z满足，则的最大值为（ ）A1BC3D5欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，则的最小值等于（ ）A0B1C2D36设是复数，则下列命题中正确的是（ ）A若是纯虚数，则B若的实部为，则为纯虚数C若，则是实
2、数D若，则是纯虚数7（2021重庆高三三模）若复数满足，其中i为虚数单位，则对应的点(x，y)满足方程（ ）ABCD8（2021黑龙江高三模拟（理）已知i是虚数单位，若复数，其中，则等于（）A1B5CD13二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9（2021湖北襄阳市襄阳四中高三模拟）一个复数集X称为某种运算的“和谐集”是指X满足性质:XC；a，bX对某种规定的运算ab，都有abX.则下列数集X是相应运算的“和谐集”的是（ ）A，其中i是虚数单位，规定运算:ab=ab，(a，bX)B，规定运算:C，
3、规定运算:ab=ab，(a，bX)D，规定运算:ab=a+b，(a，bX)10（2021江苏泰州市高三模拟）设为复数，在复平面内、对应的点分别为、，坐标原点为，则下列命题中正确的有（ ）A当为纯虚数时，三点共线B当时，为等腰直角三角形C对任意复数，D当为实数时，11（2021湖南长沙市雅礼中学高三二模）设是复数，则下列命题中的真命题是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则12（2021聊城市山东聊城一中高三模拟）1487年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则（ ）ABCD
4、三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（2021首都师范大学附属中学高三模拟）复数（为虚数单位），则的虚部是_.14（2021河南南阳市高二模拟（理）已知为纯虚数，若在复平面内对应的点在直线上，则_15（2021安徽师范大学附属中学高三模拟（理）若复数在复平面内所对应的点的坐标为，则_16（2021重庆一中高三模拟）在复平面内，设点AP所对应的复数分别为icos(2t)+isin(2t)(i为虚数单位)，则当t由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是_.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（2021上海复旦附中高三模拟）已知关于的方程的虚数
5、根为、.（1）求的取值范围；（2）若，求实数的值.18在复平面内复数、所对应的点为、，为坐标原点，是虚数单位.（1），计算与；（2）设，（），求证：，并指出向量、满足什么条件时该不等式取等号.19已知复数满足，的虚部为2.（1）求复数；（2）设复数、在复平面上对应点分别为、，求的值.20已知复数满足，的虚部为2，（1）求复数；（2）设在复平面上对应点分别为，求的面积.21.已知复数，且，其中i为虚数单位，求的值.22（2021湖南株洲市高三二模）已知复数，满足，其中i为虚数单位，表示的共轭复数.（1）求的值；（2）求.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有
6、一项是符合题目要求的1（2021浙江高考真题）已知，(i为虚数单位)，则（ ）AB1CD3【答案】C【解析】，利用复数相等的充分必要条件可得：.故选：C.2（2021北京高考真题）在复平面内，复数满足，则（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意可得：.故选：D.3（2021全国高考真题（理）设，则（ ）ABCD【答案】C【解析】设，则，则，所以，解得，因此，.故选：C.4复数z满足，则的最大值为（ ）A1BC3D【答案】C【解析】设， ，复数对应点在以为圆心，1为半径的圆上运动.由图可知当点位于点处时，点到原点的距离最大，最大值为3.故选：C.5欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著
7、名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，则的最小值等于（ ）A0B1C2D3【答案】B【解析】由题意知，所以当时，取得最小值1故选：B.6设是复数，则下列命题中正确的是（ ）A若是纯虚数，则B若的实部为，则为纯虚数C若，则是实数D若，则是纯虚数【答案】C【解析】对于A选项，若为纯虚数，可设，则，A选项错误；对于B选项，取，则为实数，B选项错误；对于C选项，设，则，则，C选项正确；对于D选项，取，则，但，D选项错误.故选：C.7（2021重庆高三三模）若复数满足，其中i为虚数单位，则对应的点(x，y)满足方程（ ）ABCD【答案】B【解析】设，代入得：
8、. 故选：B8（2021黑龙江高三模拟（理）已知i是虚数单位，若复数，其中，则等于（）A1B5CD13【答案】B【解析】因为复数，所以即，根据复数相等得到，解得，所以，故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9（2021湖北襄阳市襄阳四中高三模拟）一个复数集X称为某种运算的“和谐集”是指X满足性质:XC；a，bX对某种规定的运算ab，都有abX.则下列数集X是相应运算的“和谐集”的是（ ）A，其中i是虚数单位，规定运算:ab=ab，(a，bX)B，规定运算:C，规定运算:ab=ab，(a，
9、bX)D，规定运算:ab=a+b，(a，bX)【答案】ABCD【解析】对于A,设则ab=ab=,所以,即a,故A正确；对于B,则故即,即ab,故B正确；对于C,则|a|1,|b|1,|ab|=|a|b|1，即ab,即ab,故C正确；对于D,由于在复数范围内，所以由，有复数的模的不等式得到存在实数，使得，又，于是存在实数，使得，,所以ab=a+b,因为，所以即ab,故D正确；故选：ABCD.10（2021江苏泰州市高三模拟）设为复数，在复平面内、对应的点分别为、，坐标原点为，则下列命题中正确的有（ ）A当为纯虚数时，三点共线B当时，为等腰直角三角形C对任意复数，D当为实数时，【答案】ABD【解析
10、】设，则，对A：当为纯虚数时，对应的点分别为、，均在轴上，所以三点共线，故A正确；对B: 当时，所以，所以，而，所以，所以为等腰直角三角形，故B正确；对C：,当时，故C错误；对D：当为实数时，此时，故D正确.故选：ABD11（2021湖南长沙市雅礼中学高三二模）设是复数，则下列命题中的真命题是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】ABC【解析】对于，若，则，所以为真；对于，若，则和互为共轭复数，所以为真；对于，设，若，则，即，所以，所以为真；对于，若，则，而，所以为假.故选：12（2021聊城市山东聊城一中高三模拟）1487年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式
11、，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则（ ）ABCD【答案】ABD【解析】因为所以，故A正确，故B正确，故C错误，故D正确故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（2021首都师范大学附属中学高三模拟）复数（为虚数单位），则的虚部是_.【答案】【解析】，因此，复数的虚部为.故答案为：.14（2021河南南阳市高二模拟（理）已知为纯虚数，若在复平面内对应的点在直线上，则_【答案】【解析】设，则因为对应的点为，所以，解得，故故答案为：.15（2021安徽师范大学附属中学高三模拟（理）若复数在复平面内所对应的点的坐标
12、为，则_【答案】【解析】由已知可得，所以，所以，.故答案为：.16（2021重庆一中高三模拟）在复平面内，设点AP所对应的复数分别为icos(2t)+isin(2t)(i为虚数单位)，则当t由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是_.【答案】【解析】由题意可得，点P在单位圆上，点A的坐标为(0，)，如图：当时，点P的坐标为，当时，点P的坐标为，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和.由于，关于实轴对称，所以的面积等于的面积(因为这两个三角形同底且等高)，故向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积.因为=2=，所以扇形的面积为等于.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应
13、写出文字说明、证明过程或演算步骤17（2021上海复旦附中高三模拟）已知关于的方程的虚数根为、.（1）求的取值范围；（2）若，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】由题意知，则，（1），因为，所以，故的取值范围是.（2）因为，所以，所以.18在复平面内复数、所对应的点为、，为坐标原点，是虚数单位.（1），计算与；（2）设，（），求证：，并指出向量、满足什么条件时该不等式取等号.【答案】（1），；（2）证明详见解析，当时.【解析】解：（1），所以证明（2），所以，当且仅当时取“”，此时.19已知复数满足，的虚部为2.（1）求复数；（2）设复数、在复平面上对应点分别为、，求的值.【答案】（1
14、）或；（2）【解析】（1）设,由题,可得,的虚部为2则或故或（2）由（1）可知,即为,当时,即为,此时,即为,当时,即为,此时,即为,综上, 20已知复数满足，的虚部为2，（1）求复数；（2）设在复平面上对应点分别为，求的面积.【答案】（1）或；（2）1【解析】解：（1）设za+bi（a，bR），由已知可得：，即，解得或z1+i或z1i；（2）当z1+i时，z22i，zz21i，A（1，1），B（0，2），C（1，1），故ABC的面积S211；当z1i时，z22i，zz213i，A（1，1），B（0，2），C（1，3），故ABC的面积S211ABC的面积为121.已知复数，且，其中i为虚数单位，求的值.【答案】【解析】因为复数，所以，所以，即，所以.22（2021湖南株洲市高三二模）已知复数，满足，其中i为虚数单位，表示的共轭复数.（1）求的值；（2）求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意知，； （2）；，又，则是以为首项，为公差的等差数列，故
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