1、易错点31 曲线与方程一、单选题1. 已知A(-2,0)，B(2,0)，平面内一动点P满足PA+PB=4，则动点P的轨迹为A. 圆B. 直线C. 椭圆D. 线段已知三棱柱ABC-ABC，AA平面ABC，P是ABC内一点，点E，F在直线BC上运动，若直线PA和AE所成角的最小值与直线PF和平面ABC所成角的最大值相等，则满足条件的点P的轨迹是A. 直线的一部分B. 圆的一部分C. 抛物线的一部分D. 椭圆的一部分2. 如图，已知点P在焦点为F1、F2的椭圆上运动，则与PF1F2的边PF2相切，且与边F1F2，F1P的延长线相切的圆的圆心M一定在A. 一条直线上B. 一个圆上C. 一个椭圆上D.
2、一条抛物线上3. 设直线l与椭圆x216+y28=1相交于A,B两点，与圆(x-1)2+y2=r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是A. (1,6)B. (2,7)C. (2,6)D. (1,7)4. 在直角坐标平面内，已知A(-2,0)，B(2,0)以及动点C是ABC的三个顶点，且sinAsinB-2cosC=0，则动点C的轨迹曲线的离心率是A. 22B. 32C. 2D. 35. 古希腊数学家波罗尼斯(公元前262-190年)的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地他证明过这样一个命题：平
3、面内与两定点距离的比为常数k(k0，且k1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆现有椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足|MA|MB|=2，MAB面积的最大值为8，MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为A. 23B. 33C. 22D. 326. 数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”，数学学习中数和形是两个最主要的研究对象，在一定条件下数和形之间可以相互转化，这样代数问题可以转化为几何问题加以解决如：与(x-a)2+(y-b)2相关的代数问题可以转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间距离的几何问题，由此观点
4、，满足方程x2+4x+y2+4-x2-4x+y2+4=2的点的轨迹为A. x2-y23=1(x1)B. x2-y23=1(x1)C. x24-y23=1(x2)D. x24-y23=1(x-2)7. 过点(0,2)的直线l与圆x2+y2=9相交于A，B两点，不在直线l上的点C满足CA=2CB，当线段AB最小时，则ABC的面积的最大值为A. 12B. 65C. 102D. 4二、填空题8. 已知定点A(-2,0)，B(2,0)，若动点M满足|MA|+|MB|=8，则|MA|的取值范围是_9. 在平面直角坐标系内，到两个定点(-3,0)与(3,0)的距离之和为6的点的轨迹方程是_10. 在平面上给
5、定相异两点A、B，在同一平面上的点P满足|PA|PB|=，当0且1时，P点的轨迹是一个圆这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆现有椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)，A、B为椭圆的长轴端点，C、D为椭圆的短轴端点，动点P满足|PA|PB|=2，PAB的面积的最大值为163，PCD面积的最小值为23，则椭圆的离心率为_11. 已知ABC中，BC=2，AB=2AC，则ABC面积的最大值为_三、解答题12. 已知点C为圆x2+y2=1上一点，CAx轴于点A，CBy轴于点B，点P满足OP=2OA+OB(O为坐标原点)，点P的轨迹为曲线E(1)求E的方程；(2)斜率为3
6、2的直线l交曲线E于不同的两点M、N，是否存在定点T，使得直线TM、TN的斜率之和恒为0.若存在，则求出点T的坐标；若不存在，则请说明理由13. 已知圆C1:x2+y2+4x-32=0，圆C2:x2+y2-4x=0，点A为两圆的公共点，点P(异于点A)在过点A且垂直于x轴的直线l上，直线PM1与圆C1切于点M1(异于点A)，直线PM2与圆C2切于点M2(异于点A)，直线C1M1交直线C2M2与点M(1)交点M的轨迹的方程(2)直线MC1与轨迹的另一个交点N，在x轴上是否存在定点Q，使得MQC1=NQC1?若存在，求出定点的坐标;若不存在，请说明理由14. 在直角坐标系xOy中，点P到两点F10
7、,-3、F20,3的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线y=kx+1与曲线C交于A、B两点(1)求出C的方程；(2)若k=1，求AOB的面积；(3)若OAOB，求实数k的值15. 在平面直角坐标系xOy中，已知A(10,0)，B(52,0)，动点M满足MA=2MB，记M轨迹是C()求C的方程；()过A作C的两条切线，切点分别记为S,T，求直线ST的方程；(III)过A作直线l交C于P,Q两点，交()中直线ST于点R，问是否存在常数t，使得1AP+1AQ=tAR一、单选题 1、已知A(-2,0)，B(2,0)，平面内一动点P满足PA+PB=4，则动点P的轨迹为A. 圆B. 直线C. 椭圆D
8、. 线段【答案】D【解析】略已知三棱柱ABC-ABC，AA平面ABC，P是ABC内一点，点E，F在直线BC上运动，若直线PA和AE所成角的最小值与直线PF和平面ABC所成角的最大值相等，则满足条件的点P的轨迹是A. 直线的一部分B. 圆的一部分C. 抛物线的一部分D. 椭圆的一部分【答案】C【解析】解：过P作PO平面ABC，垂足为O，由最小角定理可知，直线PA和AE所成角的最小值为PA与平面ABC所成角的大小，即PAO的大小，直线PF和平面ABC所成的角为PFO，由tanPFO=OPOF可知，要使PFO最大，需使OF最小，即OFBC又因为tanPAO=POAO，直线PA和AE所成角的最小值与直
9、线PF和平面ABC所成角的最大值相等，所以OA=OFmin，即O点到A点的距离等于到直线BC的距离，所以点P的轨迹是抛物线的一部分故选C2、如图，已知点P在焦点为F1、F2的椭圆上运动，则与PF1F2的边PF2相切，且与边F1F2，F1P的延长线相切的圆的圆心M一定在A. 一条直线上B. 一个圆上C. 一个椭圆上D. 一条抛物线上【答案】A【解析】解：如图，设圆M与F1F2，F1P，PF2分别相切于A，B，C由切线定理得：|PB|=|PC|，|F2A|=|F2C|，|F1B|=|F1A|，因为P在椭圆上，|PF1|+|PF2|=2a|F1B|+|F1A|=|F1P|+|PB|+|F1F2|+|
10、F2A|=|F1P|+|F2P|+|F1F2|=2a+2c为定值|BF1|=|AF1|=a+c切点A(a,0)圆心M在过A垂直于椭圆所在轴的直线上故选A 3、设直线l与椭圆x216+y28=1相交于A,B两点，与圆(x-1)2+y2=r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是A. (1,6)B. (2,7)C. (2,6)D. (1,7)【答案】D【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0)，可得x1216+y128=1，x2216+y228=1，两式相减，整理得-2(y1+y2)(y1-y2)=(x1-x2)(x1+x2)，由
11、x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，当l的斜率存在时，设为k，k=y1-y2x1-x2，可得2ky0=-x0，圆(x-1)2+y2=r2(r0)的圆心为(1,0)，半径为r，因为直线与圆相切，所以y0x0-1=-1k，所以x0=2，即M的轨迹是直线x=2将x=2代入椭圆方程，得y2=6，-6y06，M在圆上，(x0-1)2+y02=r2，r2=y02+17，直线l恰有4条，y00，1r27，故1r7时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，1r0，且k1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆现有椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)，A，B为椭圆的长轴端点，C
12、，D为椭圆的短轴端点，动点M满足|MA|MB|=2，MAB面积的最大值为8，MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为A. 23B. 33C. 22D. 32【答案】D【解析】解：设A(-a,0)，B(a,0)，M(x,y)动点M满足|MA|MB|=2，则(x+a)2+y2=2(x-a)2+y2，化简得(x-5a3)2+y2=16a29MAB面积的最大值为8，MCD面积的最小值为1，122a43a=8，122b13a=1，解得a=6，b=62，椭圆的离心率为1-b2a2=32故选：D 6、数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”，数学学习中数和形是两个最主要的研究对象，在一定条件下数
13、和形之间可以相互转化，这样代数问题可以转化为几何问题加以解决如：与(x-a)2+(y-b)2相关的代数问题可以转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间距离的几何问题，由此观点，满足方程x2+4x+y2+4-x2-4x+y2+4=2的点的轨迹为A. x2-y23=1(x1)B. x2-y23=1(x1)C. x24-y23=1(x2)D. x24-y23=1(x-2)【答案】A【解析】解：x2+4x+y2+4-x2-4x+y2+4=2，(x+2)2+y2-(x-2)2+y2=2，方程表示到两点(-2,0)，(2,0)的距离之差为2，两点(-2,0)，(2,0)间的距离为4，满足方程x2+4x+y
14、2+4-x2-4x+y2+4=2的点的轨迹是以(-2,0)，(2,0)为焦点的双曲线的右支，满足方程x2+4x+y2+4-x2-4x+y2+4=2的点的轨迹方程为x2-y23=2(x1)故选：A 7、过点(0,2)的直线l与圆x2+y2=9相交于A，B两点，不在直线l上的点C满足CA=2CB，当线段AB最小时，则ABC的面积的最大值为A. 12B. 65C. 102D. 4【答案】C【解析】解：圆x2+y2=9，直线l与圆相交于A，B两点，设圆心O(0,0)到直线l的距离为d，AB=29-d2，当线段AB最小时，d最大，直线l恒过定点D(0,2)，当ODl即AB/x轴时，线段AB最小此时A-5
15、,2，B5,2，设C(x,y)，CA=2CB，CA2=2CB2，即x+52+y-22=2x-52+y-22，整理得：x2+y2-65x-4y+9=0，即x-352+y-22=40，点C在以M35,2为圆心，210为半径的圆上，设三角形ABC的面积为S，点C到AB的距离即AB边上的高为h，S=12ABh，由AB=25，圆心M在直线AB上，hmax=rM=210，当h=210时，S最大为1225210=102故选C二、填空题 8、已知定点A(-2,0)，B(2,0)，若动点M满足|MA|+|MB|=8，则|MA|的取值范围是_【答案】2,6【解析】解：动点M满足|MA|+|MB|=8|AB|=4，
16、则M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，所以a=4，c=2，又|MA|a-c,a+c，|MA|2,6故答案为2,6 9在平面直角坐标系内，到两个定点(-3,0)与(3,0)的距离之和为6的点的轨迹方程是_【答案】y=0，x-3,3【解析】解：到两个定点(-3,0)与(3,0)的距离之和为6的点的轨迹方程是一条线段，且线段是在x轴上，故可得到两个定点(-3,0)与(3,0)的距离之和为6的点的轨迹方程是y=0，x-3,3，故答案为y=0，x-3,3 10、在平面上给定相异两点A、B，在同一平面上的点P满足|PA|PB|=，当0且1时，P点的轨迹是一个圆这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称
17、这个圆为阿波罗尼斯圆现有椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)，A、B为椭圆的长轴端点，C、D为椭圆的短轴端点，动点P满足|PA|PB|=2，PAB的面积的最大值为163，PCD面积的最小值为23，则椭圆的离心率为_【答案】32【解析】解：由题意可得A(-a,0)，B(a,0)，设P(x,y)，|PA|=2|PB|，所以(x+a)2+y2=2(x-a)2+y2，两边平方可得：(x-53a)2+y2=(43a)2，故为圆心(53a,0)，半径r=43a的圆，所以(SPAB)=122a43a=163，解得a=2，(SPCD)=122b(53a-43a)=ba3=23，所以可得b=1，所以离心率e=1
18、-(ba)2=32故答案为：32 11、已知ABC中，BC=2，AB=2AC，则ABC面积的最大值为_【答案】43【解析】解：设B(-1,0)，C(1,0)，A(x,y)，则由AB=2AC得，(x+1)2+y2=2(x-1)2+y2，化简得x-532+y2=169，所以A点轨迹为以53,0为圆心，以43为半径的圆，所以ABC面积的最大值为12243=43故答案为43三、解答题 12、已知点C为圆x2+y2=1上一点，CAx轴于点A，CBy轴于点B，点P满足OP=2OA+OB(O为坐标原点)，点P的轨迹为曲线E(1)求E的方程；(2)斜率为32的直线l交曲线E于不同的两点M、N，是否存在定点T，
19、使得直线TM、TN的斜率之和恒为0.若存在，则求出点T的坐标；若不存在，则请说明理由【答案】解：()设P(x,y)，C(x,y)，则A(x,0)，B(0,y)，因为OP=2OA+OB，所以(x,y)=2(x,0)+(0,y)=(2x,y)，即有x=x2，y=y，因为点C在圆上，故有(x2)2+y2=1，整理得x24+y2=1，故E的方程为：x24+y2=1；()设直线l方程为y=32x+b，代入曲线E的方程可得x2+3bx+b2-1=0设M(x1,y1)，N(x2,y2)，=3b2-4(b2-1)0即b24=C1C2根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆(不含x轴的交点)，且2
20、a=8,2c=4所以a=4,c=2，所以b2=12故点M的轨迹的方程为x216+y212=1(y0)(2)当直线MC1的斜率不存在时，易知M,N两点关于x轴对称，所以当点Q为x轴上的任意点时，均为MQC1=NQC1当直线MC1的斜率存在时，由(1)知，直线MC1的斜率不为零设直线MC1的方程为x=ty-2(t0)，代入轨迹的方程，得(3t2+4)y2-12ty-36=0设M(x1,y1),N(x2,y2)，则y1+y2=12t3t2+4,y1y2=-363t2+4设Q(m,0)，若MQC1=NQC1，则kMQ+kNQ=0，即y1x1-m+y2x2-m=0，即y1(x2-m)+y2(x1-m)=
21、0，即y1(ty2-2-m)+y2(ty1-2-m)=0，即2ty1y2-(2+m)(y1+y2)=0即-72t3t2+4-(2+m)12t3t2+4=0，得m=-8，综上可得，在x轴上存在定点Q(-8,0)，使得MQC1=NQC1 14、在直角坐标系xOy中，点P到两点F10,-3、F20,3的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线y=kx+1与曲线C交于A、B两点(1)求出C的方程；(2)若k=1，求AOB的面积；(3)若OAOB，求实数k的值【答案】解：(1)设P(x,y)，由题意可知，点P的轨迹是以F1(0,-3)，F2(0,3)为焦点的椭圆由c=3，2a=4即a=2由a2-b2=
22、c2可得，b=1椭圆的方程为x2+y24=1；(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，当k=1时，直线方程为y=x+1，联立y=x+1x2+y24=1可得5x2+2x-3=0，解方程可得，x=-1或x=35，从而可得A(-1,0)，B(35,85)，点O到直线L：y=x+1的距离d=22，AB=(-1-35)2+(0-85)2=825，SAOB=12ABd=1282522=45，(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)联立方程y=kx+1x2+y24=1可得，(4+k2)x2+2kx-3=0，则x1+x2=-2k4+k2，x1x2=-34+k2，OAOBOAOB=x1x2+y1y2=0，
23、A，B在直线y=kx+1上y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=-3k24+k2-2k24+k2+1=4-4k24+k2，-34+k2+4-4k24+k2=04k2-1=0k=12 15、在平面直角坐标系xOy中，已知A(10,0)，B(52,0)，动点M满足MA=2MB，记M轨迹是C()求C的方程；()过A作C的两条切线，切点分别记为S,T，求直线ST的方程；(III)过A作直线l交C于P,Q两点，交()中直线ST于点R，问是否存在常数t，使得1AP+1AQ=tAR【答案】解：()由题意，设M(x,y)，A(10,0)，B(52,0)，动点M 满足|MA
24、|=2|MB|，(x-10)2+y2=2(x-52)2+y2，化简得x2+y2=25，C的方程为x2+y2=25；()过A 作C 的两条切线，切点分别记为S,T，则切点S,T是圆x2+y2=25与以OA为直径的圆(x-5)2+y2=25的交点，两圆的方程联立x2+y2=25(x-5)2+y2=25，可得直线ST 的方程为x=52；()存在t=2，使得1|AP|+1|AQ|=t|AR|设直线l 的方程y=k(x-10)与圆x2+y2=25联立y=k(x-10)x2+y2=25消去y得，(1+k2)x2-20k2x+100k2-25=0，设P,Q两点坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，R点坐标为(52,-152k)，则x1+x2=20k21+k2，x1x2=100k2-251+k2，1|AP|+1|AQ|=AP+AQAPAQ=AP+AQAS2=1+k220-(x1+x2)75=1+k2(20-20k21+k2)75=4151+k2，AR=(10-52)2+(-152k)2=1521+k2，1AR=2151+K2，当t=2时，有1|AP|+1|AQ|=t|AR|成立
