1、易错点28 椭圆及其性质一、单选题1. 若椭圆x2m+y2n=1(mn0)和双曲线x2a-y2b=1(ab0)有相同的焦点F1,F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1PF2的值是A. m-aB. 12(m-a)C. m2-a2D. m-a2. 已知M=y|y=x22,N=y|x24+y22=1，则MN=A. -2,1B. 1C. (-2,1),(2,1)D. 0,23. 根据天文物理学和数学原理，月球绕地球运行时的轨道是一个椭圆，地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个，椭圆上的点距离地球所在焦点最短距离约为36万千米，月球轨道上点P与椭圆两焦点F1，F2构成的三角形PF1F2面积约为4803(万千
2、米)2，F1PF2=3，则月球绕地球运行轨道的一个标准方程为A. x2382+y24036=1B. x2362+y2142=1C. x2482+y24836=1D. x2482+y23624=14. 已知mR，命题p：方程x2m-2+y23-m=1表示椭圆，命题q：m2-5m+60，则动点P的轨迹是A. 椭圆B. 线段C. 不存在D. 椭圆或线段或不存在6. 与椭圆x236+y220=1有公共焦点，且过点P(-4,6)的双曲线方程为A. y24-x212=1B. x24-y212=1C. y212-x24=1D. x212-y24=17. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分
3、别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若SABC=3SBCF2，则椭圆的离心率为A. 55B. 33C. 105D. 3310二、填空题8. 设F1,F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为6,4，则PM+PF1的最大值为_9. 已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是_10. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率是22，若以N(0,2)为圆心且与椭圆C有公共点的圆的最大半径为26，
4、此时椭圆C的方程是_11. 已知双曲线M:x2-y23=1的渐近线是边长为1的菱形OABC的边OA，OC所在直线.若椭圆N:x2a2+y2b2=1(ab0)经过A，C两点，且点B是椭圆N的一个焦点，则a=三、解答题12. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32，且经过点(1,32),F1,F2是椭圆的左、右焦点(1)求椭圆C的方程；(2)点P在椭圆上运动，求|PF1|PF2|的最大值13. 已知条件p：“存在xR，3x2+(2a-1)x+30)表示双曲线”(1)若p与q同时成立，求实数a的取值范围；(2)若s是q的充分不必要条件，求实数t的取值范围14. 以F1(-3,0)
5、,F2(3,0)为焦点的椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点(3,12)(1)求椭圆C的方程；(2)过点F1作斜率为1的直线l交椭圆C于A,B两点，求AF2+BF2的值15. 已知动圆M既与圆C1：x2+y2+4x=0外切，又与圆C2：x2+y2-4x-96=0内切。(1)求动圆的圆心M的轨迹C的方程(2)设F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B，求F1AB的内切圆的半径的最大值一、单选题1、若椭圆x2m+y2n=1(mn0)和双曲线x2a-y2b=1(ab0)有相同的焦点F1,F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1PF2的值是A. m-aB.
6、12(m-a)C. m2-a2D. m-a【答案】A【解析】解：椭圆x2m+y2n=1(mn0)和双曲线x2a-y2b=1(a0,b0)有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，|PF1|+|PF2|=2m，|PF1|-|PF2|=2a，|PF1|PF2|=(|PF1|+|PF2|)2-(|PF1|-|PF2|)24=m-a故选A2已知M=y|y=x22,N=y|x24+y22=1，则MN=A. -2,1B. 1C. (-2,1),(2,1)D. 0,2【答案】D【解析】解：M=y|y=x22=yy0,N=y|x24+y22=1=y-2y2，MN=y0y2故选D3根据天文物理学和数学原理，
7、月球绕地球运行时的轨道是一个椭圆，地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个，椭圆上的点距离地球所在焦点最短距离约为36万千米，月球轨道上点P与椭圆两焦点F1，F2构成的三角形PF1F2面积约为4803(万千米)2，F1PF2=3，则月球绕地球运行轨道的一个标准方程为A. x2382+y24036=1B. x2362+y2142=1C. x2482+y24836=1D. x2482+y23624=1【答案】A【解析】解：设PF1=m，PF2=n，由椭圆定义可知：m+n=2a，又椭圆上的点距离地球所在焦点最短距离约为36万千米，则a-c=36，在PF1F2中，由余弦定理得：2c2=m2+n2-2mnco
8、s3，由三角形PF1F2面积约为4803(万千米2)，F1PF2=3，得：12mnsin3=4803，联立上述方程得：m+n=2aa-c=3612mnsin3=4803a2=b2+c22c2=m2+n2-2mncos3，解得：b2=1440a2=382故选A4、已知mR，命题p：方程x2m-2+y23-m=1表示椭圆，命题q：m2-5m+603-m0m-23-m，解得2m52或52m3，命题q：m2-5m+60，即(m-3)(m-2)0，解得：2m0，则动点P的轨迹是A. 椭圆B. 线段C. 不存在D. 椭圆或线段或不存在【答案】D【解析】解：由题中坐标得到F1F2=6，又由于PF1+PF2=
9、a，当a=6时，点P的轨迹为线段；当a6时，点P的轨迹为椭圆；当0ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若SABC=3SBCF2，则椭圆的离心率为A. 55B. 33C. 105D. 3310【答案】A【解析】解：如图：椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)焦点在x轴上，设椭圆的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，由x=-c，代入椭圆方程可得y=b2a，可设A(-c,b2a)，C(x,y)，由SABC=3SBCF2，可得AF2=2F2C，即有，即2c=2x-2c，-b2a=2y，可得：x=2c，代入椭圆方
10、程可得：4c2a2+b24a2=1，由b2=a2-c2，根据离心率公式可知：e=ca，整理得：16e2+1-e2=4，解得e=55，由0eb0)的离心率是22，若以N(0,2)为圆心且与椭圆C有公共点的圆的最大半径为26，此时椭圆C的方程是_【答案】x218+y29=1【解析】解：椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率是22，ca=22，即a2-b2a2=12，解得a2=2b2，椭圆C：x22b2+y2b2=1，即x2+2y2=2b2，以N(0,2)为圆心，半径为R的圆方程为x2+(y-2)2=R2，代入消去x化简得，R2=8+2b2-(y+2)28+2b2，以N(0,2)为圆心且与
11、椭圆C有公共点的圆的最大半径为26，26=8+2b2，解得b2=9，a2=2b2=18，故此时椭圆C的方程是x218+y29=1故答案为x218+y29=110已知双曲线M:x2-y23=1的渐近线是边长为1的菱形OABC的边OA，OC所在直线.若椭圆N:x2a2+y2b2=1(ab0)经过A，C两点，且点B是椭圆N的一个焦点，则a=【答案】3+12【解析】解：根据题意，可作出如下所示的图形，设点D为椭圆的另一个焦点，连接AD，双曲线M:x2-y23=1的渐近线方程为y=3x，AOB=60，菱形OABC的边长为1，OA=OB=OD，则ADAB点A的坐标为(12,32)，B(1,0)，D(-1,
12、0)，|AD|=(12+1)2+(32)2=3，而|AB|=1，由椭圆的定义可知，|AB|+|AD|=2a，a=3+12故答案为：3+12三、解答题11已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32，且经过点(1,32),F1,F2是椭圆的左、右焦点(1)求椭圆C的方程；(2)点P在椭圆上运动，求|PF1|PF2|的最大值【答案】解：(1)由题意，得ca=321a2+34b2=1a2=b2+c2，解得a=2b=1c=3椭圆C的方程是x24+y2=1；(2)P在椭圆上运动，|PF1|+|PF2|=2a=4，|PF1|PF2|(|PF1|+|PF2|2)2=(42)2=4，当且仅当|P
13、F1|=|PF2|时等号成立，|PF1|PF2|的最大值为412已知条件p：“存在xR，3x2+(2a-1)x+30)表示双曲线”(1)若p与q同时成立，求实数a的取值范围；(2)若s是q的充分不必要条件，求实数t的取值范围【答案】解：(1)若p成立，则=2a-12-4330，解得a72若q成立，则a22a+82a+80,得-4a4若p和q同时成立，则a72-4a4， 解得-4a4.a的取值范围是a|-4a4(2)解：若s成立，则a-3ta-4t0，即3ta4t由s是q的充分不必要条件，a|3ta4ta|-4a4.，t0，3t4， 解得t43，t的取值范围是t|t43.13以F1(-3,0),
14、F2(3,0)为焦点的椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点(3,12)(1)求椭圆C的方程；(2)过点F1作斜率为1的直线l交椭圆C于A,B两点，求AF2+BF2的值【答案】解：(1)根据题意可知，c=3，联立方程a2-b2=33a2+14b2=1得a2=4b2=1,故椭圆C方程为x24+y2=1;(2)由题可知直线l为y=x+3，设Ax1,y1,Bx2,y2联立x24+y2=1y=x+3,消元得5x2+83x+8=0，所以x1+x2=-835,x1x2=85，由弦长公式得AB=1+1(x1+x2)2-4x1x2=85，由椭圆定义得：AF1+AF2+BF1+BF2=AB+AF2+BF2
15、=4a=8，故AF2+BF2=8-85=32514已知动圆M既与圆C1：x2+y2+4x=0外切，又与圆C2：x2+y2-4x-96=0内切。(1)求动圆的圆心M的轨迹C的方程(2)设F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B，求F1AB的内切圆的半径的最大值【答案】解：(1)C1：x+22+y2=4，C2：x-22+y2=100，设动圆圆心Mx,y，半径为r，则MC1=r+2MC2=10-rMC1+MC2=12C1C2=4,M是以C1、C2为焦点，长轴长为12的椭圆，2a=12a2=36，b2=a2-c2=32，所求轨迹方程为x236+y232=1(2)由题意可分析，即由y1-y2的最大值可求得r的最大值，因为|F1F2|=2c=4，CF1AB=4a=24，计算得直线l为x=2时r的最大值为169
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