1、本章优化总结 专题探究精讲 章末综合检测 本章优化总结 知识体系网络 知识体系网络专题探究精讲圆锥曲线的定义(1)椭圆的定义中，平面内动点与两焦点F1、F2 的 距 离 之 和 大 于 F1F2 这 一 条 件 不 可 忽视若这个距离之和小于F1F2，则这个动点轨迹不存在；若距离之和等于F1F2，则动点轨迹是线段F1F2.(2)双曲线的定义中，要注意条件2aF1F2，则无轨迹双曲线定义中，M是双曲线上一点，若MF1MF2，则动点M的轨迹又为另一支，而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”(3)抛物线定义中，条件“点F不在直线l上”不能忽视，否则轨迹是过F且与直线l垂直的直线，而
2、不是抛物线已知A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求椭圆的另一个焦点F的轨迹方程【思路点拨】依据椭圆的定义，列出关系式，再将其坐标化即可例1【解】|AC|13，|BC|15，|AB|14.又|AF|AC|BF|BC|，|AF|BF|BC|AC|2，故 F 点的轨迹是以 A，B 为焦点，实轴长为 2 的双曲线，又 c7，a1，b248，F 点的轨迹方程是 y2x2481(y1)【名师点评】题目中的条件通过变形转化，结合圆锥曲线的定义等判断曲线类型，再求其轨迹方程求圆锥曲线的标准方程通常有下列两种方法：(1)定义法，(2)待定系数法求圆锥曲线的标准方程 椭圆
3、中的四个主要元素 a，b，c，e 中有 a2b2c2，eca两个关系，因此确定椭圆标准方程只需两个独立条件双曲线的四个主要元素 a，b，c，e 中有c2a2b2，eca两个关系，因此确定双曲线标准方程也只需两个独立条件需要注意的是：无论哪种方法，都要分清楚焦点在 x 轴上还是 y 轴上，还是都有可能已知圆C：(x1)2y225及点A(1,0)，Q为圆上任一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程【思路点拨】由点M在线段AQ的垂直平分线上知MQMA，又QCQMMC，由此可转化为MCMAR(定值)，结合椭圆定义求解例2【解】如图所示，M 是 AQ 的垂直平分线与 CQ 的交点，连结 MA，
4、MQMA.MCMAMCQMQC5，又 AC2，点 M 的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆，且2a5,2c2.a52，c 1.b2a2c2254 1214.【名师点评】求解本题主要利用了线段垂直平分线的性质将问题转化为动点M到两定点距离之和为常数，从而利用椭圆定义求出a，b点 M 的轨迹方程为x2254y22141.与圆锥曲线有关的最值问题的求解策略与方法(1)平面几何法涉及到最值问题的几何意义主要有三个：两点间的任意折线段长之和，以两点间直线段长为最短|ABAC|BC，当且仅当A、B、C三点共线，且A在B、C外侧时取“”圆锥曲线中的最值问题(2)目标函数法建立目标函数与圆锥曲线有关的最值问题，是
5、常规方法，关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值(3)判别式法主要是由条件得到一个相关的一元二次方程，该方程有解必须满足0，从而得到某个不等式已知点A(4，2)，F为抛物线y28x的焦点，点M在抛物线上移动，当|MA|MF|取最小值时，点M的坐标为_例3【解析】如图，过点 M 作准线 l 的垂线，垂足为 E，由抛物线定义知|MF|ME|，当点 M 在抛物线上移动时，|ME|MA|的值在变化，显然当 M 移到 M时，A、M、E 共线，|ME|MA|最小，此时 AMOx，把 y2 代入y28x，得 x12，所以 M12，2.【名师点评】本题求最值是利用抛物线的定义进行转
6、化，结合平面知识求最值【答案】12，2判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线l的方程代入曲线C的方程，消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2bxc0.当a0时，若0，则直线l与曲线C相交；若0，则直线l与曲线C相切；若0，符合题意【名师点评】“点差法”使用的前提是以该点为中点的弦是存在的，因此利用此法求出的直线方程必须验证与曲线是否相交，即验证判别式的符号2焦点弦问题设 F 为抛物线 y24x 的焦点，A、B、C 为该抛物线上三点若FAFB FC 0，则|FA|FB|FC|_.例5【答案】6【解析】设点 A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，由题意知
7、F(1,0)，则有xA1xB1xC10，即 xAxBxC3.所以|FA|FB|FC|(xAxBxC)3p2336.【名师点评】本题主要考查抛物线的定义、方程和平面向量知识，圆锥曲线与平面向量知识结合，使得运算量大大地降低解决此类题目通常有两种思路：(1)从特殊入手，求含变量的定点(定值)，再证明这个点(值)与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算的过程中消去变量，从而得到定点(定值)定点、定值问题 例6如图所示，椭圆C：x2a2y2b21(ab0)，A1，A2 为椭圆 C 的左、右顶点(1)设F1为椭圆C的左焦点，证明：当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时，|PF1|取得最小值与最大值
8、；(2)若椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆C的标准方程；(3)若直线l：ykxm与(2)中所述椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左、右顶点)，且满足AA2BA2，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标【思路点拨】(1)构造函数求最值；(2)求直线l的方程，由直线系方程确定定点【解】(1)证明：设点 P 的坐标为(x，y)，令 f(x)|PF1|2(xc)2y2.又点 P 在椭圆 C 上，故满足x2a2y2b21，则 y2b2b2a2x2.代入 f(x)得，f(x)(xc)2b2b2a2x2c2a2x22cxa2，则其对称轴方程为 xa2c，由题意，知a2c 0，即34k2
9、m20，x1x2 8mk34k2，x1x24m2334k2.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m23m24k234k2.椭圆的右顶点为A2(2,0)，AA2BA2，(x12)(x22)y1y20.y1y2x1x22(x1x2)40.3m24k234k24m2334k2 16mk34k240.7m216km4k20，解得 m12k，m22k7，且均满足 34k2m20.当m12k时，l的方程为yk(x2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾当 m22k7 时，l 的方程为 yk(x27)，直线过定点(27，0)，直线 l 过定点，定点坐标为(27，0)【名师点评】圆锥曲线
10、中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、定值化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量向量与解析几何有着密切的联系，常用向量关系表示曲线的几何性质，用向量的坐标运算求解，向量与解析几何的联系已成为近几年高考的热点向量与圆锥曲线 在直角坐标系
11、 xOy 中，椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2.点 F2 也是抛物线 C2：y24x 的焦点，点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点，且|MF2|53.(1)求椭圆 C1 的方程；(2)平面上的点 N 满足MN MF1 MF2，直线 lMN，且与 C1 交于 A，B 两点，若OA OB 0，求直线 l 的方程例7【思路点拨】本题主要考查圆锥曲线的基本性质、平面向量以及平面向量在解析几何中的应用等【解】(1)由抛物线 C2：y24x 知 F2(1,0)设 M(x0，y0)，由题意知 x00，y00.因为|MF2|53，所以 x0153，即 x023.因
12、为点 M 在抛物线 C2 上，所以 y02 63.故点 M23，2 63.又因为点 M23，2 63在椭圆 C1 上，且椭圆 C1 的半焦距 c1，所以 49a2 83b21，b2a21，消去 b2 并整理得9a437a240，解得 a24 或 a219，即 a2 或 a13(不符合题意，舍去)所以 a24，b23.故椭圆 C1 的方程为x24 y23 1.(2)由MF1 MF2 MN 知四边形 MF1NF2是平行四边形，它的中心为坐标原点 O.因为直线 lMN，所以 l 与 OM 的斜率相同，所以 l 的斜率 k2 6323 6.设直线 l 的方程为 y 6(xm)由3x24y212，y 6xm，消 去 y 得 9x2 16mx8m240.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x216m9，x1x28m249.因为OA OB 0，所以 x1x2y1y20，即 x1x2y1y2x1x26(x1m)(x2m)7x1x26m(x1x2)6m278m2496m16m9 6m219(14m228)0，解得 m 2.【名师点评】向量在圆锥曲线中出现时，主要是利用其坐标运算，实现点与点坐标间的联系此时(16m)249(8m24)32m2144800，符合题意故所求直线 l 的方程为 y 6x2 3，或 y 6x2 3.章末综合检测
