1、课时作业13 基本不等式的应用课前自主学习 课堂合作研究 随堂基础巩固 课后课时精练 知识对点练 知识对点练 课时综合练 知识点一用基本不等式求最值1.若点(a，b)在直线 x2y3 上移动，则 2a4b 的最小值是()A8 B6 C4 2 D3 2解析 点(a，b)在直线 x2y3 上，则 a2b3，所以 2a4b2a22b2 2a2b2 234 2，当且仅当 a2b32时等号成立故选 C.解析 答案 C答案 知识对点练 课时综合练 2已知 0 x1，则 x(33x)取得最大值时 x 的值为()A.13 B.12 C.34 D.23解析 由 x(33x)133x(33x)133x33x221
2、39434，当且仅当 3x33x，即 x12时等号成立解析 答案 B答案 知识对点练 课时综合练 3已知 x，y 均为正实数，且满足x3y41，则 xy 的最大值为_答案 3答案 知识对点练 课时综合练 解析 xy12x3y4 12(x3y42)2121223，当且仅当x3y412，即 x32，y2 时，等号成立，所以 xy 的最大值为 3.解析 知识对点练 课时综合练 知识点二基本不等式的实际应用4.某商场的某种商品的年进货量为 1 万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费 100 元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件 2 元，为使一年的运费
3、和租金最省，每次进货量应为()A200 件 B5000 件 C2500 件 D1000 件答案 D答案 知识对点练 课时综合练 解析 设进货 n 次，则每次的进货量为10000n，一年的运费和租金为 y 元根据题意得 y100n10000n2000，当且仅当 n10 时取等号，此时每次进货量应为 1000 件故选 D.解析 知识对点练 课时综合练 5如图，公园想建一块面积为 144 平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有 44 米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x 米墙(1)求 x 的取值范围；(2)求最少需要多少米铁丝网(精确到 1 米)知识对点练 课时综合练 解(1
4、)由于矩形草地的面积是 144 平方米，一边长是 x 米，则另一边长为144x 米，则矩形草地所需铁丝网长度为 yx2144x.令 yx2144x 44(x0)，解得 8x36.则 x 的取值范围是 0 x36.答案 知识对点练 课时综合练(2)由基本不等式，得 yx288x 24 2.当且仅当 x288x，即 x12 2时，等号成立，则 y 最小值24 234.即最少需要约 34 米铁丝网答案 知识对点练 课时综合练 易错点忽略等号成立的一致性6.已知 x0，y0，且 x2y1，求1x1y的最小值易错分析 易错解为1x1y(x2y)1x1y 2 2xy21xy4 2.在求解过程中使用了两次基
5、本不等式：x2y2 2xy，1x1y21xy，但这两次取“”分别需满足 x2y 与 xy，自相矛盾，所以“”取不到知识对点练 课时综合练 正解 x2y1，x0，y0，1x 1y (x 2y)1x1y 3 xy 2yx3 22，当且仅当xy2yx，即x 2y时，取“”.由x2y1，x 2y，解得x 21，y1 22.当且仅当 x 21，y1 22 时，1x1y有最小值，为 32 2.答案 课前自主学习 课堂合作研究 随堂基础巩固 课后课时精练 课时综合练 知识对点练 课时综合练 一、选择题1已知正数 x，y 满足8x1y1，则 x2y 的最小值是()A18 B16 C8 D10解析 x2y(x2
6、y)8x1y 1016yx xy102 1618，当且仅当16yxxy，即 x4y 时，等号成立解析 答案 A答案 知识对点练 课时综合练 2已知 x0，y0，且 xy8，则(1x)(1y)的最大值为()A16 B25 C9 D36解析(1x)(1y)1x1y222xy22282225，当且仅当 1x1y 即 xy4 时，(1x)(1y)取最大值 25.故选 B.解析 答案 B答案 知识对点练 课时综合练 3函数 yxx1的最大值为()A.25 B.12 C.22 D1答案 B答案 知识对点练 课时综合练 解析 令 t x(t0)，则 xt2，yxx1tt21.当 t0 时，y0；当 t0 时
7、，y1t21t 1t1t.t1t2，0 1t1t12，当且仅当 t1 时，等号成立y 的最大值为12.解析 知识对点练 课时综合练 4已知 a，b，c 都是正数，且 a2bc1，则1a1b1c的最小值是()A32 2B32 2C64 2D64 2答案 D答案 知识对点练 课时综合练 解析 1a1b1c1a1b1c(a2bc)42ba caabcbac2bc 422ba ab2caac2cb2bc 64 2，当且仅当2ba ab，caac，cb2bc 时，等号成立，即 a2c22b2时，等号成立解析 知识对点练 课时综合练 5设 ab0，则 a2 1ab1aab的最小值是()A1 B2 C3 D
8、4答案 D答案 知识对点练 课时综合练 解析 a2 1ab1aaba2abab 1ab1aaba(ab)ab 1ab1aab2aab1aab2ab 1ab4，当且仅当 a(ab)1aab且 ab 1ab即 a2b 2时，等号成立故选 D.解析 知识对点练 课时综合练 二、填空题6当 x54时，函数 y4x214x5的最大值为_答案 1答案 知识对点练 课时综合练 解析 x54，4x50，y4x514x5354x154x 3254x154x31，当且仅当 54x154x，即 x1 时，等号成立解析 知识对点练 课时综合练 7已知 m0，n0，则当 81m2n27298mn取得最小值时，mn 的值
9、为_答案 4答案 知识对点练 课时综合练 解 析 依 题 意，81m2 n2 7298mn 18mn 7298mn 81，当 且 仅 当9mn，18mn7298mn9mn，mn94m12，n92时等号成立，此时 mn4.解析 知识对点练 课时综合练 8建造一个容积为 8 m3，深为 2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米 120 元和 80 元，那么水池的最低总造价为_元答案 1760答案 知识对点练 课时综合练 解析 设水池池底的一边长为 x m，则其邻边长为4x m，则总造价为：y1204802x24x 2480320 x4x 4803202x4x1760.当且仅当
10、x4x即 x2 时，y 取最小值 1760.所以水池的最低总造价为 1760 元解析 知识对点练 课时综合练 三、解答题9若对任意 x0，xx23x1a 恒成立，求 a 的取值范围解 设 yxx23x11x1x3，x0，x1x2，当且仅当 x1 时，等号成立y15，即 ymax15.a15.答案 知识对点练 课时综合练 10某厂家拟在 2019 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(也是该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m0)万元满足 x3km1(k为常数)如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是 1 万件预计 2019 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需
11、要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)(1)设 2019 年该产品的利润为 y 万元，将 y 表示为 m 的函数；(2)该厂家 2019 年的促销费用投入多少万元时获得的利润最大？知识对点练 课时综合练 解(1)由题意，知当 m0 时，x1，13k，即 k2.x32m1.又每件产品的销售价格为 1.5816xx元，yx1.5816xx(816xm)48xm4832m1 m28 16m1m(m0)答案 知识对点练 课时综合练(2)y28 16m1m29m1 16m1，m0，(m1)16m12 168，当且仅当 16m1m1，即 m3 时等号成立，y29821，即当 m3 时，ymax21.该厂家 2019 年的促销费用投入为 3 万元时获得的利润最大，最大利润为 21 万元答案