1、上海市杨浦区2020届高三数学二模考试试题（含解析）一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.设集合，集合，则_.【答案】.【解析】【分析】根据交集定义计算【详解】由题意故答案为：【点睛】本题考查交集的运算，属于简单题2.行列式_.【答案】10【解析】【分析】根据行列式定义直接计算【详解】故答案为：10【点睛】本题考查三阶行列式的计算，掌握行列式计算公式即可属于基础题3.函数的最小正周期为_.【答案】【解析】【分析】用降幂公式化函数为一次的形式后可计算周期【详解】，故周期.故答案为：【点睛】本题考查三角函数的周期，考查余弦的二倍角公式，属于基础题4.已知复数满
2、足，则_【答案】.【解析】【分析】在等式两边同时除以，再利用复数的除法法则可得出复数.【详解】，故答案为.【点睛】本题考查复数的除法，解题的关键就是从等式中得出的表达式，再结合复数的四则运算律得出结果.5.若是无穷等比数列，首项，则的各项的和_.【答案】.【解析】【分析】直接由无穷递缩等比数列的和的公式计算【详解】故答案为：【点睛】本题考查无穷递缩等比数列的和，掌握无穷递缩等比数列的和的公式是解题关键6.在3名男生、4名女生中随机选出2名学生参加某次活动，则选出的学生恰为一男一女的概率为_.【答案】【解析】【分析】根据组合的知识求出从7人中任取2人的方法数，同时计算出选出的学生恰为一男一女的方
3、法数，然后可计算出概率【详解】由题意.故答案为：【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出所有基本事件个数7.实数满足约束条件，目标函数的最大值为_.【答案】2【解析】【分析】作出可行域，作出目标对应的直线，平移此直线可得最优解【详解】作出可行域，如图四边形内部（含边界），联立，解得，即点，作直线，平移直线，当过点时，直线在轴上的截距最大，此时取得最大值.故答案为：.【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线8.已知曲线的参数方程为，曲线的参数方程为（是参数），则和的两个交点之间的距离为_.【答案】【解析】【分析】把两曲线的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的
4、距离，根据勾股定理计算弦长【详解】消去参数得两曲线的普通方程为：，曲线是圆，圆心为，半径为，圆心到直线距离为，故两交点之间距离为.故答案为：【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查求直线与圆相交弦长，求直线与圆相交弦长问题，一般不是直接求出交点坐标，而是求出圆心到弦所在直线距离，用勾股定理（几何方法）计算弦长9.数列满足对任意恒成立，则_.【答案】3031【解析】【分析】由已知再写出，两式相减可得数列的偶数项成等差数列，求出后，由等差数列的通项公式可得【详解】由，两式相减得.而，.故答案为：3031【点睛】本题考查等差数列的通项公式与等差数列的判断，解题关键是由已知递推式写出相邻式（用代
5、）后两式相减10.设，若的二项展开式中，有理项的系数之和为29525，则_.【答案】10【解析】【分析】根据二项式定理确定的二项展开式中，有理项是奇数项，其系数与展开式中奇数项系数相等，这样可在的展开式中用赋值法求得奇数项系数和【详解】，有理项为奇数项，即，也就是的奇数项，设，并记，则，故答案为：10.【点睛】本题考查二项式定理，考查用赋值法求二项展开式中的系数和，类比成的系数是解题关键11.设是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若，则的值为_.【答案】【解析】【分析】利用可设，设的夹角为，则的夹角为，的夹角为或，利用得，建立方程关系求解即可.【详解】，设，则，是同一平面上的三个两两不同的单
6、位向量，设的夹角为，则的夹角为，的夹角为或，解得，或（舍去）.所以.故答案为：【点睛】本题考查向量数量积以及三角恒等变换求值，考查了转化与化归思想，属于中档题.12.已知抛物线和的焦点均为点，准线方程为和.设两抛物线交于两点，则直线的方程为_.【答案】【解析】【分析】根据抛物线定义写出两抛物线方程（平方），相减后可得两点坐标满足的方程，化简此方程（根据两点在两准线的位置确定正负）可得直线方程【详解】按抛物线定义有，两方程相减即得，而位于的右侧和的上侧，故，即故答案为：【点睛】本题考查抛物线的定义，考查两曲线公共弦所在直线方程本题中掌握抛物线的定义和直线方程的定义是解题关键二、选择题（本大题共4
7、题，每题5分，共20分）13.不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把分式不等式转化为整式不等式求解注意分母不为0【详解】原不等式可化为，解得故选：B【点睛】本题考查解分式不等式，解题方法是转化为整式不等式求解，转化时要注意分式的分母不为014.设是复数，则“是虚数”是“是虚数”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分必要条件的定义及复数的概念进行判断可取特例说明一个命题为假【详解】充分性：取，故是实数，故充分性不成立；必要性：假设实数，则也是实数，与是虚数矛盾，是虚数，故必要性成
8、立故选：B.【点睛】本题考查充分必要条件判断，考查复数的概念，属于基础题15.设是椭圆的两焦点，与是该椭圆的右顶点与上顶点，是该椭圆上的一个动点，是坐标原点，记.在动点在第一象限内从沿椭圆向左上方运动到的过程中，的大小变化情况为（ ）A. 逐渐变大B. 逐渐变小C. 先变大后变小D. 先变小后变大【答案】B【解析】【分析】设，然后由向量数量积的坐标表示求出为的函数后，根据函数性质可得结论【详解】设，由椭圆方程知，随的减小而变小，故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，掌握向量数量积的的坐标表示是解题基础16.设是2020项的实数数列，中的每一项都不为零，中任意连续11项的乘积是定值
9、.存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1；不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1.命题的真假情况为（ ）A. 和都是真命题B. 是真命题，是假命题C. 是真命题，是假命题D. 和都是假命题【答案】D【解析】【分析】先确定数列是周期数列，然后根据一个周期中出现的1的个数，判断数列中可能出现的1的个数（与365,550接近的可能个数），得出结论【详解】设；则，也就是，即是以11为周期的数列.而.若一个周期内有1个1，则1的个数有183或184个.若一个周期内有2个1，则1的个数有366或367或368个.若一个周期内有3个1，则1的个数有549或550或551或552个.故选：D【点睛】
10、本题考查数列的周期性，解题方法是确定出数列的周期，然后分类讨论1出现的次数的可能（与365,550接近的可能个数）三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，线段和是以为顶点的圆锥的底面的两条互相垂直的半径，点是母线的中点，已知.（1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圆锥性质知，然后计算出高后可得体积；（2）以为轴正半轴，为轴正半轴，为轴正半轴.建立空间直角坐标系，用空间向量法示得异面直线所成的角【详解】（1）由题可得，故体积.（2）以为轴正半轴，为轴正半轴，为轴正半轴建立空间直角坐标系，则，所以，设异
11、面直线与所成角为，则，故所成角为.【点睛】本题考查求圆锥的体积，考查用空间向量法求异面直线所成的角掌握圆锥的性质是解题关键18.已知三角形中，三个内角的对应边分别为，且.（1）若，求；（2）设点是边的中点，若，求三角形的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用余弦定理后解方程可求得；（2）由余弦定理求得中线与边长的关系，从而求得三角形的第三边长，再由余弦定理求出一个角的余弦，转化为正弦后可得三角形面积【详解】（1）由余弦定理可得.（2）由题意可得，又，即，由，.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查三角形面积，本题中涉及三角形路线问题，根据余弦定理有结论成立（其中是中点）19.某地出
12、现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列，表示第周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：策略：环境整治，“虫害指数”数列满足；策略：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足；当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除.（1）设第一周的虫害指数，用哪一个策略将使第二周的虫害严重程度更小？（2）设第一周的虫害指数，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）虫害最快在第9周解除【解析】【分析】（1）根据两种策略，分别计算第二周虫害指数，比较它们的大小可得结
13、论；（2）由（1）可知，最优策略为策略，得，凑配出数列是等比数列，求得通项，由可解得的最小值【详解】（1）由题意可知，使用策略时，；使用策略时，令，即当时，使用策略第二周严重程度更小；当时，使用两种策哈第二周严重程度一样；当时，使用策略第二周严重程度更小.（2）由（1）可知，最优策略为策略，即，所以数列是以为首项，1.08为公比的等比数列，所以，即，令，可得，所以虫害最快在第9周解除.【点睛】本题考查数列的应用，考查由递推公式求数列的通项公式掌握由递推公式求通项公式的方法是解题基础20.已知双曲线，经过点的直线与该双曲线交于两点.（1）若与轴垂直，且，求的值；（2）若，且的横坐标之和为，证明：
14、.（3）设直线与轴交于点，求证：为定值.【答案】（1）（2）证明见解析；（3）证明见解析；【解析】【分析】（1）把代入双曲线方程求得坐标，由可求得；（2）设，设直线方程为，代入双曲线方程应用韦达定理得，由可求得，再由数量积的坐标运算计算出可得结论；（3）设方程为，且，由可用表示出，代入双曲线方程得，同理.故是方程的两根.由韦达定理可得结论【详解】（1），.（2），设，显然直线斜率存在，设方程为，并与联立得，由得，此时.（3）有题意可知直线斜率必存在，设方程为，且.由得，所以，又由于点在双曲线上，故化简得，同理.故是方程的两根.则为定值.【点睛】本题考查直线与双曲线相交问题，考查韦达定理的应用在
15、直线与双曲线相交时常常设交点坐标为，由直线方程与双曲线方程联立方程组消元后应用韦达定理得出，然后代入其他条件求解21.已知，其中是实常数.（1）若，求的取值范围；（2）若，求证：函数的零点有且仅有一个；（3）若，设函数的反函数为，若是公差的等差数列且均在函数的值域中，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析；（3）证明见解析；【解析】【分析】（1）直接解不等式即可；（2）说明函数是增函数，然后由，可得结论；（3）首先不等式变形：，即，而，问题转化为证明是关于的减函数，即设，证明，利用反函数定义，设，由单调递增可得之间的大小关系，得.作两个差，并相减得，若，此式中分析左右两边出现矛盾，从而只能有，证得结论【详解】（1），所以，易知，所以，所以.（2）函数为增函数，且，由于.故在上必存在，使.又为增函数，所以函数的零点有且仅有一个.（3）即证：.，而，所以只需证是关于的减函数.设，即证大于0设，由单调递增可得.而，两式相减得，同理，-得：.若，则上式左侧，右侧矛盾，故.证毕.【点睛】本题考查函数的零点，反函数的概念，考查函数的单调性，主要考查转化与化归思想，利用反函数定义把反函数问题转化为原函数的问题求解对学生分析问题解决问题的能力要求较高，属于难题