1、数学参考答案及评分参考第 1 页（共 8 页）顺义区 2020 届高三第二次统练数学参考答案及评分参考一、选择题（共 10 题，每题 4 分，共 40 分）（1）C（2）B（3）A（4）C（5）D（6）B（7）D（8）B（9）A（10）D二、填空题（共 5 题，每题 5 分，共 25 分）（11）2（12）1,Nnann（13）sin(2)3yx（14）1a （15）注：第 14 题全部答对得 5 分，只写一个答案得 3 分,有错误答案得 0 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分。三、解答题（共 6 题，共 85 分）（16）（共 14 分）解：选：在AB
2、C中，1cos3C,根据余弦定理2222coscababC-2 分且5ab，3c，得到292523abab-6 分所以6ab-8 分所以56abab，解得23ab 或32ab-10 分1cos3C 数学参考答案及评分参考第 2 页（共 8 页）2 2sin3C-12 分所以三角形ABC 的面积是1sin2 22ABCSabC-14 分选：在ABC中，1cos3C ,当1cos3C 时，根据余弦定理2222coscababC.-2 分又5ab，3c，得到12ab-8 分此时方程组512abab无解.-12 分所以这样的三角形不存在.-14 分选：在ABC中，因为2 2sin,3C 所以1cos3
3、C .-2 分当1cos3C 时，根据余弦定理2222coscababC-4 分且5ab，3c，得到292523abab-6 分所以6ab-8 分所以56abab，解得23ab 或32ab-10 分所以三角形ABC 的面积是1sin2 22ABCSabC-12 分当1cos3C 时，根据余弦定理2222coscababC,数学参考答案及评分参考第 3 页（共 8 页）又5ab，3c，得到12ab,此时方程组512abab无解.所以这样的三角形不存在.-14 分法二：在 ABC中，因为2222()2522ababc,根据余弦定理222cos2abcCab,得到cos0C-2 分因为2 2sin,
4、3C 所以1cos3C-4 分根据余弦定理2222coscababC-6 分和5ab，3c，得到6ab-10 分所以56abab，解得23ab 或32ab-12 分所以三角形ABC 的面积是1sin2 22ABCSabC-14 分17.（共 14 分）解：（I）取 BD 中点O，联结 AO,1C O BDAO，1BDC O.-2 分又 AO,1C O1AC O 平面1BDAC O 平面.-4 分又11ACAC O 平面1BDAC-5 分数学参考答案及评分参考第 4 页（共 8 页）（II）二面角1ABDC是直二面角190C OA1C OAO1,OA OB OC两两垂直-6 分以O为原点，如图建
5、系：(0,0,0)O，(1,0,0)A，(0,1,0)B，(0,1,0)D，1(0,0,1)C又,E F 为中点1 1(0,)2 2E，11(,0,)22F11(,1,)22DF，3 1(0,)2 2DE-8 分设(,)nx y z是平面 DEF 的一个法向量1102231022DF nxyzDE nyz 令1y 得3,1zx(1,1,3)n-11 分又1OCABD 平面平面 ABD 的一个法向量1(0,0,1)OC-13 分111cos,n OCn OCnOC =3 1111平面 DEF 与平面 ABD 所成的锐二面角余弦值为 3 1111-14 分18.（本题 15 分）解：（I）根据甲班
6、的统计数据可知：甲班每天学习时间在 5 小时以上的学生频率为 0.50.250.050.8-2 分所以，估计高三年级每天学习时间达到 5 小时以上的学生人数数学参考答案及评分参考第 5 页（共 8 页）为 6000.8480人-4 分（II）甲班级自主学习时长不足 4 小时的人数为：40 0.052人乙班级自主学习时长不足 4 小时的人数为：40 0.14人-6 分X 的可能值为：0,1,234361(0)5CP xC,1224363(1)5C CP xC,2124361(2)5C CP xC-9 分的分布列为：X012P153515 X 的数学期望为131()0121555E x -12 分
7、(III)DD甲乙-15 分19.（本题 14 分）（I）1a 时，2()xf xex()2xfxex（或在这里求的()2xfxeax也可以）-2 分0(0)01fe，0(0)01kfe-4 分所求切线方程为1yx-5 分（II）方法一：()2xfxeax.若2()xf xex在(0,)上单调递增，则对任意(0,)x，都有()0fx-6 分即2xeax恒成立，等价于min()2xeax-7 分设()2xeg xx，则2(1)()2xexg xx，-8 分令()0g x得1x 数学参考答案及评分参考第 6 页（共 8 页）当(0,1)x时，()0g x，()g x 在(0,1)上单调递减；当(1
8、,)x 时，()0g x，()g x 在(1,)上单调递增，所以函数()g x 的最小值为e(1)2g-11 分所以,2ea-12 分方法二：()2xfxeax若2()xf xex在(0,)上单调递增，则对任意(0,)x，都有()0fx-6 分等价于min()0fx设()2xh xeax，()2xh xea当(0,)x 时，1xe-7 分分类讨论：当 21a ，即12a 时，()0h x恒成立，所以()2xh xeax在(0,)x 上单调递增，那么()(0)1h xh，所以12a 时，满足()0fx-8 分当 21a ，即12a 时，令()20 xh xea，得ln 2xa当(0,ln 2)x
9、a时，()0h x，()h x 在(0,ln 2)xa上单调递减；当(ln 2,)xa 时，()0h x，()h x 在(ln 2,)xa 上单调递增；所以函数()h x 的最小值为(ln 2)2(1ln 2)haaa-10 分由 2(1ln 2)0aa解得2ea，所以 122ea-11 分综上：,2ea-12 分（III）2 个-14 分数学参考答案及评分参考第 7 页（共 8 页）20.（本题 14 分）（I）由题意得222222caabc解得2,3,1abc-3 分故椭圆C 的方程为22143xy-5 分（II）(1,0)F，(2,0)A，直线l 的方程为(1)yk x-6 分由22(1
10、)3412yk xxy得2222(34)84120kxk xk.直线l 过椭圆C 的焦点，显然直线l 椭圆C 相交.设11(,)P x y，22(,)Q xy，则2122834kxxk,212241234kxxk-8 分直线 AP 的方程为11(2)2yyxx，令4x，得1162Myyx；即116(4,)2yMx 同理：226(4,)2yNx-10 分116(3,)2yFMx，226(3,)2yFNx又1212369(2)(2)y yFM FNxx-11 分=121236(1)(1)9(2)(2)k xk xxx=21212121236()192()4kx xxxx xxx=222222222
11、412836(1)343494121643434kkkkkkkkk=22229363493634kkkk=990以 MN 为直径的圆恒过点 F.-14 分数学参考答案及评分参考第 8 页（共 8 页）21.（本题 14 分）解：（I）14d，25d，32d-3 分（II）因为10a，公比 01q，所以12,naaa是递减数列因此，对1,2,1in，1,iiiiAaBa-5 分于是对1,2,1in，1iiiiidBAaa11(1)ia qq-7 分因此0id 且1iidqd（1,2,2in），即121,nddd 是等比数列-9 分(III)设 d 为121,nd dd 的公差，则0d 对12in ，因为1iiBB，所以1111iiiiiiiiiiABdBdBddBdA，即1iiAA-11 分又因为11min,iiiAA a，所以11iiiiaAAa从而121,na aa 是递减数列因此iiAa（1,2,1in）-12 分又因为111111+BAdada，所以1121nBaaa 因此1naB所以121nnBBBaiiiiniaABdad因此对1,2,2in都有1+1iiiiaaddd ，即121,na aa 是等差数列-14 分