2022新教材高中数学 第2章 平面向量及其应用综合检测题 北师大版必修第二册.doc

1、第二章综合检测题考试时间120分钟，满分150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列命题中正确的是(D)AB0C00D解析起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，；，是一对相反向量，它们的和应该为零向量，0；00.2.如右图，ab等于(C)A2e14e2B4e12e2Ce13e2D3e1e2解析abe13e2.3设O，A，M，B为平面上四点，(1)，且(1,2)，则(B)A点M在线段AB上B点B在线段AM上C点A在线段BM上DO，A，B，M四点共线解析，所以()，由(1,2)可知，A，B，M三点共线，且B在线段AM

2、上4已知a、b、c分别是ABC三个内角A、B、C的对边，b，c，B，那么a等于(C)A1B2C4D1或4解析在ABC中，b，c，cos B，由余弦定理有b2a2c22accos B，即7a233a，解得a4或a1(舍去)故a的值为4.5已知向量a(1,2)，b(2,3)，c(4,5)，若(ab)c，则实数(C)ABC2D2解析ab(1,2)(2，3)(12，23)，由(ab)c，可得(12)4(23)50，解得2.6在ABC中，已知sin2Asin2Bsin Asin Bsin2C，且满足ab4，则该三角形的面积为(D)A1B2CD解析由sin2Asin2Bsin Asin Bsin2C，得a

3、2b2abc2，cos C.C(0，180)，C60.sin C，SABCabsin C.7在ABC中，B60，C45，BC8，D为BC上一点，且，则AD的长为(C)A4(1)B4(1)C4(3)D4(3)解析由题意知BAC75，根据正弦定理，得AB8(1)，因为，所以BDBC又BC8，所以BD4(1)在ABD中，AD4(3)故选C8.如图所示，半圆的直径AB4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()的最小值是(D)A2B0C1D2解析由平行四边形法则得2，故()2，又|2|，且，反向，设|t(0t2)，则()22t(2t)2(t22t)2(t1)210t2

4、，当t1时，()取得最小值2，故选D二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)9设向量a，b满足：|a|3，|b|4，ab0，以a，b，ab的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数可以是(ABC)A0或1B2或3C4D6解析由题意可知该三角形为直角三角形，其内切圆半径恰好为1，它与半径为1的圆的公共点个数可能为0个，1个，2个，3个，4个，故选ABC10已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(AB)Am(ab)mambB(mn)amanaC若mamb，则

5、abD若mana，则mn解析对于A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确；对于C，若m0，则不能推出ab，错误；对于D，若a0，则m，n没有关系，错误故选AB11对于ABC，有如下命题，其中正确的有(ACD)A若sin2Asin2B，则ABC为等腰三角形B若sin Acos B，则ABC为直角三角形C若sin2Asin2Bcos2C1，则ABC为钝角三角形D若AB，AC1，B30，则ABC的面积为或 解析对于A，sin2Asin2B，ABABC是等腰三角形；对于B，由sin Acos B，AB或AB.ABC不一定是直角三角形，B错误；对于C，sin2Asin2B1cos2Csin2C，a2b2

6、b，C60或C120，A90或A30，SABCbcsin A或，D正确故选ACD12给出下列四个命题，其中正确的选项有(ABC)A非零向量a，b满足|a|b|ab|，则a与ab的夹角是30B若()()0，则ABC为等腰三角形C若单位向量a，b的夹角为120，则当|2axb|(xR)取最小值时x1D若(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，ABC为锐角，则实数m的取值范围是m解析A中，令a，b.以，为邻边作平行四边形OACB|a|b|ab|，四边形OACB为菱形，AOB60，AOC30，即a与ab的夹角是30，故A正确；B中，()()0，|2|2，故ABC为等腰三角形，故B正确；C中，(2axb

7、)24a24xabx2b244xcos 120x2x22x4(x1)23，故|2axb|取最小值时x1故C正确；D中，(3，4)(6，3)(3，1)，(5m，3m)(6，3)(1m，m)，又ABC为锐角，0，即33mm0，m.又当与同向共线时，m，故当ABC为锐角时，m的取值范围是m且m，故D不正确故选ABC三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知a，b为单位向量，且ab0，若c2ab，则cos a，c .解析由题意，得cos a，c.14设向量a，b，c满足abc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a|2|b|2|c|2的值是 4 .解析由于ab，由此画出以a，b为邻边的

8、矩形ABCD，如图所示，其中，a，b，abc0，c，ab.(ab)c，矩形的两条对角线互相垂直，则四边形ABCD为正方形|a|b|1，|c|，|a|2|b|2|c|24.15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，A60，则sin B ，c 3 .解析由正弦定理，得，得sin B，由余弦定理，得cos A，解得c3.16在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(abc)(abc)3ab，且c4，则ABC面积的最大值为 4 .解析(abc)(abc)(ab)2c2a22abb2c23ab，a2b2c2ab.又a2b2c22abcos C，2abcos Cab

9、，cos C，C(0，)，C.由余弦定理，得c2a2b22abcos C，16a2b22abcosa2b2ab2ababab，ab16.ABC面积的最大值Sabsin C16sin4.四、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知向量a，b满足b(1，)，ab4，(a2b)a.(1)求向量a与b的夹角；(2)求|2ab|的值；(3)若向量c3a4b，dmab，cd，求m的值解析(1)因为(a2b)a，所以(a2b)a0，|a|28，即|a|2.设向量a与b的夹角为，则cos ，又0，所以.(2)由向量模的计算公式|a|，得|2ab|2.

10、(3)因为cd，所以cd，设3a4b(mab)，则解得m.18(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值解析(1)(3,5)，(1,1)，求两条对角线的长即求|与|的大小由(2,6)，得|2，由(4,4)，得|4.以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别为2和4.(2)(2，1)，(t)t2，易求11，25，由(t)0得t.19(本小题满分12分)(2021新高考全国卷)记ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2ac，点D在

11、边AC上，BDsinABCasin C(1)证明：BDb；(2)若AD2DC，求cosABC解析(1)由BDsinABCasinC得，BD，在ABC中由正弦定理知：，即，BD，又b2ac，BDb.(2)由题意知：BDb，AD，DC，cosADB，同理cosBDC，ADBCDB，cosADBcosBDC，即，整理得2a2c2，又b2ac，2a2，整理得6a411a2b23b40，解得或，在由余弦定理知：cosABC，当时，cosABC1不合题意；当时，cosABC；综上，cosABC.20(本小题满分12分)ABC是等腰直角三角形，B90，D是边BC的中点，BEAD，垂足为E，延长BE交AC于F

12、，连接DF，求证：ADBFDC解析如图，以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设A(0,2)，C(2,0)，则D(1,0)，(2，2)设，则(0,2)(2，2)(2，22)又(1,2)，0，22(22)0，.，.又(1,0)，cos ADB，cos FDC，又ADB，FDC(0，)，ADBFDC21(本小题满分12分)如图所示，甲船以每小时30 n mile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距

13、10 n mile，问乙船每小时航行多少n mile?解析如图，连接A1B2，由题意知A2B210 n mile，A1A23010 n mile.所以A1A2A2B2.又A1A2B218012060，所以A1A2B2是等边三角形所以A1B2A1A210 n mile.由题意知，A1B120 n mile，B1A1B21056045，在A1B2B1中，由余弦定理，得B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos 45202(10)222010200.所以B1B210 n mile.因此，乙船速度的大小为6030(n mile/h)答：乙船每小时航行30 n mile.22(本小题满分12分)已知向量

14、a(2sin x,1)，b(2，2)，c(sin x3,1)，d(1，k)，(xR，kR)(1)若x，且a(bc)，求x的值；(2)若函数f(x)ab，求f(x)的最小值；(3)是否存在实数k，使得(ad)(bc)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由解析(1)bc(sin x1，1)，又a(bc)，(2sin x)sin x1，即sin x.又x，x.(2)a(2sin x,1)，b(2，2)，f(x)ab2(2sin x)22sin x2.又xR，当sin x1时，f(x)有最小值，且最小值为0.(3)ad(3sin x,1k)，bc(sin x1，1)，若(ad)(bc)，则(ad)(bc)0，即(3sin x)(sin x1)(1k)0，ksin2x2sin x4(sin x1)25.由sin x1,1，5(sin x1)251，得k5，1存在k5，1，使得(ad)(bc)