1、第2课时等比数列的性质思路方法技巧命题方向运用等比数列性质an=amqn-m (m、nN+)解题例1在等比数列an中，若a2=2,a6=162,求a10.分析解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式，求得q,再求a10.解析解法一：设公比为q,由题意得a1q=2 a1= a1=- ，解得 ，或 .a1q5=162 q=3 q=-3a10=a1q9=39=13122或a10=a1q9=-（-3）9=13122.解法二：a6=a2q4,q4=81,a10=a6q4=16281=13122.解法三：在等比数列中，由a26=a2a10得a10=13122.说明比较上述三种解法，可看出解法二、解法三利
2、用等比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的应用.变式应用1已知数列an是各项为正的等比数列，且q1,试比较a1+a8与a4+a5的大小.解析解法一：由已知条件a10,q0，且q1,这时(a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1-q3)（1-q4）=a1(1-q) 2(1+q+q2)(1+q+q2+q3)0,显然，a1+a8a4+a5.解法二：利用等比数列的性质求解.由于(a1+a8)-(a4+a5)=(a1-a4)-(a5-a8)=a1(1-q3)-a5(1-q3)=(1-q3)(a1-a
3、5).当0q1时，此正数等比数列单调递增，1-q3与a1-a5同为负数，(a1+a8)-(a4+a5)恒正.a1+a8a4+a5.命题方向运用等比数列性质aman=apaq(m,n,p,qN+,且m+n=p+q)解题例2在等比数列an中，已知a7a12=5，则a8a9a10a11=（）A.10B.25C.50D.75分析已知等比数列中两项的积的问题，常常离不开等比数列的性质，用等比数列的性质会大大简化运算过程.答案B解析解法一：a7a12=a8a11=a9a10=5，a8a9a10a11=52=25.解法二：由已知得a1q6a1q11=a21q17=5，a8a9a10a11=a1q7a1q8a
4、1q9a1q10=a41q34=(a21q17) 2=25.说明在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，若按照常规解法，往往是建立a1,q的方程组，这样解起来很麻烦，为此我们经常结合等比数列的性质，进行整体变换，会起到化繁为简的效果.变式应用2在等比数列an中，各项均为正数，且a6a10+a3a5=41,a4a8=5,求a4+a8.解析a6a10=a28,a3a5=a24,a28+a24=41.又a4a8=5,an0,a4+a8=.探索延拓创新命题方向等比数列性质的综合应用例3试判断能否构成一个等比数列an，使其满足下列三个条件：a1+a6=11;a3a4=;至少存在一个自然数m,
5、使am-1,am,am+1+依次成等差数列，若能，请写出这个数列的通项公式；若不能，请说明理由.分析由条件确定等比数列an的通项公式，再验证是否符合条件.解析假设能够构造出符合条件的等比数列an,不妨设数列an的公比为q,由条件及a1a6=a3a4,得a1+a6=11 a1= a1=，解得 ，或a1a6= a6= a6=. a1= a1=从而 ，或 .q=2 q=故所求数列的通项为an=2n-1或an=26-n.对于an=2n-1,若存在题设要求的m,则2am=am-1+（am+1+）,得2（2m-1）=2m-2+2m+,得2m+8=0,即2m=-8,故符合条件的m不存在.对于an=26-n,
6、若存在题设要求的m，同理有26-m-8=0,即26-m=8,m=3.综上所述，能够构造出满足条件的等比数列，通项为an=26-n.说明求解数列问题时应注意方程思想在解题中的应用.变式应用3在等差数列an中，公差d0,a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1,a3,ak1,ak2,akn,成等比数列，求数列kn的通项kn.解析由题意得a22=a1a4，即(a1+d) 2=a1(a1+3d)，又d0,a1=d.an=nd.又a1,a3,ak1,ak2,akn,成等比数列，该数列的公比为q=3.akn=a13n+1.又akn=knd,kn=3n+1.所以数列kn的通项为kn=3n+1.名师辨误做答例4四个实数成等比数列，且前三项之积为1，后三项之和为1，求这个等比数列的公比.误解设这四个数为aq-3,aq-1,aq,aq3,由题意得a3q-3=1, aq-1+aq+aq3=1. 由得a=q,把a=q代入并整理，得4q4+4q2-3=0,解得q2=或q2=- (舍去)，故所求的公比为.辨析上述解法中，四个数成等比数列，设其公比为q2,则公比为正数，但题设并无此条件，因此导致结果有误.正解设四个数依次为a,aq,aq2,aq3,由题意得（aq）3=1, aq+aq2+aq3=1.由得a=q-1,把a=q-1代入并整理，得4q2+4q-3=0,解得q=或q=-,故所求公比为或-.