1、22 椭 圆22.1 椭圆的标准方程学习目标1.理解椭圆定义，掌握椭圆的标准方程2会求与椭圆有关的轨迹问题 课堂互动讲练 知能优化训练 22.1课前自主学案 课前自主学案 温故夯基1 若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|_.2若圆心为(a，b)，半径为 r，则圆的标准方程是_.3圆心为 O，半径为 r 的圆上的点 M 满足集合 PM|_，其中 r0.x2x12y2y12(xa)2(yb)2r2|MO|r1椭圆的定义平面内到两个定点F1、F2的距离的和_常数(大于_)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，_的距离叫做椭圆的焦距，如图所示知新益能等于F1F2两焦点间2
2、椭圆的标准方程(1)当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程为_；(2)当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程为_x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)3椭圆标准方程中a，b，c之间的关系为_，其中_最大4判断椭圆的焦点是在x轴上还是在y轴上的方法：在椭圆的标准方程中，看_，_所对应的轴就是焦点所在轴a2b2c2a分母分母大的分子定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在问题探究 课堂互动讲练 考点突破
3、 定义法求椭圆的标准方程 先利用椭圆定义求出a，然后根据定点坐标确定c，再由b2a2c2得b2，最后确定焦点的位置，从而得到方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点 P 到两焦点距离的和等于 10；(2)两个焦点的坐标分别为(0，2)，(0,2)，并且椭圆经过点32，52.例1【思路点拨】已知条件中告诉了椭圆的焦点坐标，因此只需求出a、b即可【解】(1)椭圆的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为x2a2y2b21(ab0)c4,2a10，b2a2c29.所求的椭圆方程为x225y291.(2)椭圆的焦点在 y 轴上，设所求椭圆的标准方程
4、为y2a2x2b21(ab0)由椭圆定义知2a322522 2322522 22 10，即 a 10.又 c2，b2a2c26，所求椭圆的方程为y210 x26 1.【名师点评】求椭圆的标准方程时，应从“定位”与“定量”两个方面去考虑，“定位”是指确定焦点所在的坐标轴，以判断方程的形式；“定量”是指确定方程中a2与b2的具体数值，常常通过待定系数法来求利用椭圆的定义求方程，常常已知椭圆的两焦点及椭圆上一点待定系数法求椭圆的方程，往往预先设出椭圆的标准方程或一般式方程，由题设条件列有关方程，求待定的系数待定系数法求椭圆的标准方程 求焦点在坐标轴上，且经过 A(3，2)和 B(2 3，1)两点的椭
5、圆的标准方程例2【思路点拨】由题设条件不能确定椭圆的焦点在哪一条坐标轴上，因此应对焦点的位置进行讨论在焦点位置不确定的时候，我们还可以借助于椭圆方程的一般式求解【解】法一：(1)当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，依题意有 32a2 22b21，2 32a2 1b21，解得a215，b25.所以所求椭圆的方程为x215y251.(2)当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程 为 y2a2 x2b2 1(ab0)，依 题 意 有22a2 32b2 1，1a22 32b21，解得a25，b215.因为 a0，n0)依题意有3m4n1，12mn1，解得m 115，n1
6、5，所以所求椭圆的方程为x215y251.【名师点评】椭圆标准方程分两种类型，这是在解题中必须要牢记的一个知识点，在无法确定类型时，需分情况讨论或设一般式方程进行求解，避免缺解自我挑战1 求经过点(2，3)且与椭圆9x24y236有共同焦点的椭圆方程解：椭圆 9x24y236 的焦点为(0，5)，则可设所求椭圆的方程为x2 y251(0)把 x2，y3 代入，得4 951，解得 10 或 2(舍去)所求椭圆的方程为x210y2151.椭圆中的焦点三角形问题，常常用椭圆的定义，结合三角形中的正弦定理、余弦定理及比例的性质来解决在此过程中要注意整体代入方法的应用椭圆定义的应用【思路点拨】在F1PF
7、2中，结合椭圆的定义利用余弦定理等解之(本题满分 14 分)已知 P 为椭圆x2254y2751 上一点，F1，F2 是椭圆的焦点，F1PF260，求 F1PF2 的面积例3【规范解答】在PF1F2 中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60，即 25|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|，8 分由椭圆的定义得 10|PF1|PF2|，即 100|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|25，12 分所以 S F1PF212|PF1|PF2|sin 6025 34.14 分【名师点评】由椭圆上一点 P 与两个焦点F1，F2 构成三角形
8、，称作焦点三角形，在焦点三角形中，常将以下三式联系起来SPF1F212|PF1|PF2|sinF1PF2；|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2；|PF1|PF2|2a.既能考查三角形的面积，又能联系点对两焦点的张角，与椭圆定义结合，体现了灵活应用的一面自我挑战 2 已知 P 是椭圆x225y2161 上任意一点，F1，F2 是两个焦点，且F1PF230，求PF1F2 的面积解：由x225y2161 得 a5，b4，c3.|F1F2|2c6，|PF1|PF2|2a10.F1PF230，在F1PF2 中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|P
9、F1|PF2|cos 30，即 62|PF1|2 2|PF1|PF2|PF2|22|PF1|PF2|3|PF1|PF2|，(2 3)|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2361003664，即|PF1|PF2|642 364(2 3)，S F1PF2 12|PF1|PF2|sin 30 1264(2 3)1216(2 3)1椭圆的定义及标准方程(1)a，b，c三个量之间的关系：b2a2c2，即a2b2c2，它们构成了一个直角三角形的三边，其中a为斜边，b，c为直角边(如图所示)，因而有ab0，ac0.方法感悟(2)由x2，y2的分母的大小确定焦点在哪个坐标轴上若x2的分母大，则焦点在x轴上；若y2的分母大，则焦点在y轴上(3)在方程Ax2By2C中，只有A，B，C同号时，才可能表示椭圆的方程(4)当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才是标准形式2待定系数法求椭圆的标准方程用待定系数法求椭圆的标准方程步骤如下：(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能；(2)设方程：依据上述判断设方程为x2a2y2b21 或x2b2y2a21 或x2my2n1(ab0，m，n0)；(3)寻关系：依据已知条件，建立关于 a，b，c 或 m，n 的方程组；(4)得方程：解方程组，代入所设方程即为所求知能优化训练
