1、第12讲二次函数考纲要求命题趋势1理解二次函数的有关概念2会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质3会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题4熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题5会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.二次函数是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查.知识梳理一、二次函数的概念一般地，形如y_(a，
2、b，c是常数，a0)的函数，叫做二次函数二次函数的两种形式：(1)一般形式：_；(2)顶点式：ya(xh)2k(a0)，其中二次函数的顶点坐标是_二、二次函数的图象及性质二次函数yax2bxc(a，b，c为常数，a0)图象(a0)(a0)开口方向开口向上开口向下对称轴直线x直线x顶点坐标增减性当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小最值当x时，y有最_值当x时，y有最_值三、二次函数图象的特征与a，b，c及b24ac的符号之间的关系四、二次函数图象的平移抛物线yax2与ya(xh)2，yax2k，ya(xh)2k中|a|相同，
3、则图象的_和大小都相同，只是位置不同它们之间的平移关系如下：五、二次函数关系式的确定1设一般式：yax2bxc(a0)若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式yax2bxc(a0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值2设交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式3设顶点式：ya(xh)2k(a0)若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：ya(xh)2k(a0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式六、二次函数
4、与一元二次方程的关系1二次函数yax2bxc(a0)，当y0时，就变成了ax2bxc0(a0)2ax2bxc0(a0)的解是抛物线与x轴交点的_3当b24ac0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当b24ac0时，抛物线与x轴有一个交点；当b24ac0时，抛物线与x轴没有交点4设抛物线yax2bxc与x轴两交点坐标分别为A(x1,0)，B(x2,0)，则x1x2_，x1x2_.自主测试1下列二次函数中，图象以直线x2为对称轴，且经过点(0,1)的是()Ay(x2)21 By(x2)21Cy(x2)23 Dy(x2)232如图所示的二次函数yax2bxc的图象中，刘星同学观察得出了下面四个结论：(
5、1)b24ac0；(2)c1；(3)2ab0；(4)abc0.你认为其中错误的有()A2个 B3个C4个 D1个3当m_时，函数y(m3)xm274是二次函数4将抛物线yx2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为_5写出一个开口向下的二次函数的表达式：_.考点一、二次函数的图象及性质【例1】(1)二次函数y3x26x5的图象的顶点坐标是()A(1,8) B(1,8)C(1,2) D(1，4)(2)已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1，且经过点(1，y1)，(2，y2)，试比较y1和y2的大小：y1_y2.(填“”“”或“”)解析：(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标
6、公式或配方法来求1，8，二次函数y3x26x5的图象的顶点坐标是(1,8)故选A.(2)点(1，y1)，(2，y2)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断y1，y2的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可设抛物线经过点(0，y3)，抛物线对称轴为直线x1，点(0，y3)与点(2，y2)关于直线x1对称y3y2.a0，当x1时，y随x的增大而减小y1y3.y1y2.答案：(1)A(2)方法总结 1将抛物线解析式写成ya(xh)2k的形式，则顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线xh，也可应用对称轴公式x，顶点坐标来求对称轴及顶点坐标2比较两个二次函数值大
7、小的方法：(1)直接代入自变量求值法；(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断；(3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断触类旁通1 已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图，则下列结论中正确的是()Aa0B当x1时，y随x的增大而增大Cc0D3是方程ax2bxc0的一个根考点二、利用二次函数图象判断a，b，c的符号【例2】如图，是二次函数yax2bxc(a0)的图象的一部分，给出下列命题：abc0；b2a；ax2bxc0的两根分别为3和1；a2bc0.其中正确的命题是_(只要求填写正确命题的序号)解析：由图象可知过(1,0)，代入得到abc0；根
8、据1，推出b2a；根据图象关于对称轴对称，得出与x轴的交点是(3,0)，(1,0)；由a2bca2bab3b0，根据结论判断即可答案：方法总结 根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性解题时应注意a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴由a，b共同决定，b24ac决定抛物线与x轴的交点情况当x1时，决定abc的符号，当x1时，决定abc的符号在此基础上，还可推出其他代数式的符号运用数形结合的思想更直观、更简捷触类旁通2 小明从如图的二次函数yax2bxc的图象中，观察得出了下面五个结论：c0；abc0；abc0；2a
9、3b0；c4b0，你认为其中正确的结论有()A2个 B3个C4个 D5个考点三、二次函数图象的平移【例3】二次函数y2x24x1的图象怎样平移得到y2x2的图象()A向左平移1个单位，再向上平移3个单位B向右平移1个单位，再向上平移3个单位C向左平移1个单位，再向下平移3个单位D向右平移1个单位，再向下平移3个单位解析：首先将二次函数的解析式配方化为顶点式，然后确定如何平移，即y2x24x12(x1)23，将该函数图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位就得到y2x2的图象答案：C方法总结 二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“
10、左加右减、上加下减”的规律进行操作触类旁通3 将二次函数yx2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是()Ay(x1)22 By(x1)22Cy(x1)22 Dy(x1)22考点四、确定二次函数的解析式【例4】如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，)，以点C为顶点的抛物线yax2bxc恰好经过x轴上A，B两点(1)求A，B，C三点的坐标；(2)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式解：(1)由抛物线的对称性可知AEBE.AODBEC.OAEBEA.设菱形的边长为2m，在RtAOD中，m2()2(2m)2，解得m1.DC2，OA1，OB3.A，B，C三点的坐标分
11、别为(1,0)，(3,0)，(2，)(2)解法一：设抛物线的解析式为ya(x2)2，代入A的坐标(1,0)，得a.抛物线的解析式为y(x2)2.解法二：设这个抛物线的解析式为yax2bxc，由已知抛物线经过A(1,0)，B(3,0)，C(2，)三点，得解这个方程组，得抛物线的解析式为yx24x3.方法总结 用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式触类旁通4 已知抛物线yx2(6)xm3与x轴有A，B两个交点，且A，B两点关于y
12、轴对称(1)求m的值；(2)写出抛物线的关系式及顶点坐标考点五、二次函数的实际应用【例5】我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P(x60)241(万元)当地政府拟在“十二五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q(100x)2(100x)160(万元)(1
13、)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少；(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少；(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？解：(1)当x60时，P最大且为41万元，故五年获利最大值是415205(万元)(2)前两年：0x50，此时因为P随x的增大而增大，所以x50时，P值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40280(万元)后三年：设每年获利为y万元，当地投资额为x万元，则外地投资额为(100x)万元，所以yPQx260x165(x30)21 065，表明x30时，y最大且为1 065，那么三年获利最大为1 06533 195(万元)，故五年获利最大值为
14、803 1955023 175(万元)(3)有极大的实施价值方法总结 运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：1列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围2在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值触类旁通5 一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量
15、增加x倍(本题中0x11)(1)用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为_元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为_元；(2)求今年这种玩具的每件利润y(元)与x之间的函数关系式；(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润(每件玩具的出厂价每件玩具的成本)年销售量1(2012四川乐山)二次函数yax2bx1(a0)的图象的顶点在第一象限，且过点(1,0)设tab1，则t值的变化范围是()A0t1 B0t2C1t2 D1t12(2012山东菏泽)已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，那么一次函数ybxc和反比
16、例函数y在同一平面直角坐标系中的图象大致是()3(2012上海)将抛物线yx2x向下平移2个单位，所得新抛物线的表达式是_4(2012山东枣庄)二次函数yx22x3的图象如图所示当y0时，自变量x的取值范围是_(第4题图)5(2012广东珠海)如图，二次函数y(x2)2m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点已知一次函数ykxb的图象经过该二次函数图象上点A(1,0)及点B.(第5题图)(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足kxb(x2)2m的x的取值范围6(2012湖南益阳)已知：如图，抛物线ya(x1)2c与x轴交于点A(1，0)和点B，将
17、抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P(1,3)处(1)求原抛物线的解析式；(2)学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P作x轴的平行线交抛物线于C，D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比(约等于0.618)请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？(参考数据：2.236，2.449，结果可保留根号)1抛物线yx26x5的顶点坐标为()A(3，4) B(3,4)C(3，4) D(3,4)2由
18、二次函数y2(x3)21，可知()A其图象的开口向下B其图象的对称轴为直线x3C其最小值为1D当x3时，y随x的增大而增大3已知函数y(k3)x22x1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是()Ak4 Bk4Ck4且k3 Dk4且k34如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是()(第4题图)Amn，kh Bmn，khCmn，kh Dmn，kh5如图，已知二次函数yx2bxc的图象经过点A(1,0)，B(1，2)，该图象与x轴的另一交点为C，则AC长为_(第5题图)6抛物线yax2bxc上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x21012y04664从上表可知，下列
19、说法中正确的是_(填写序号)抛物线与x轴的一个交点为(3,0)；函数yax2bxc的最大值为6；抛物线的对称轴是直线x；在对称轴左侧，y随x增大而增大7抛物线yx2bxc的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为_82011年长江中下游地区发出了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买型、型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.(1)分别求y1和y2的函数解析式；(2)有一农户同时对型、型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额9如图，
20、已知二次函数L1：yx24x3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)研究二次函数L2：ykx24kx3k(k0)写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；若直线y8k与抛物线L2交于E，F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由参考答案导学必备知识自主测试1C2D抛物线与x轴有两个交点，b24ac0；与y轴交点在(0,0)与(0,1)之间，0c1，(2)错；1，1，a0，2ab，2ab0；当x1时，yabc0，故选D.33由题意，得m272且m30，解得m3.4
21、yx215yx22x1(答案不唯一)探究考点方法触类旁通1D触类旁通2C抛物线开口向上，a0；抛物线与y轴交于负半轴，c0；对称轴在y轴右侧，a，b异号，故b0，abc0.由题图知当x1时，y0，即abc0.对称轴是直线x，即2a3b0；由得cb0.又b0，c4b0.正确的结论有4个触类旁通3A因为将二次函数yx2向右平移1个单位，得y(x1)2，再向上平移2个单位后，得y(x1)22，故选A.触类旁通4解：(1)抛物线与x轴的两个交点关于y轴对称，抛物线的对称轴即为y轴0.m6.又抛物线开口向下，m30，即m3.m6.(2)m6，抛物线的关系式为yx23，顶点坐标为(0,3)触类旁通5解：(
22、1)(107x)(126x)(2)y(126x)(107x)2x.(3)w2(1x)(2x)2x22x4，w2(x0.5)24.5.20,0x11，当x0.5时，w最大4.5(万元)答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元品鉴经典考题1B二次函数yax2bx1的顶点在第一象限，且经过点(1,0)，ab10，a0，b0.由ab10得到b1，结合上面b0，0b1；由ba10得到a1，结合上面a0，1a0.由得1ab1，且c1，得到0ab12，0t2.2C二次函数图象开口向下，a0.对称轴x0，b0.二次函数图象经过坐标原点，c0.一次函数ybxc过第二、四象限且经过原点
23、，反比例函数y位于第二、四象限，故选C.3yx2x2因为抛物线向下平移2个单位，则y值在原来的基础上减2，所以新抛物线的表达式是yx2x2.41x3因为二次函数的图象与x轴两个交点的坐标分别是(1,0)，(3,0)，由图象可知，当y0时，自变量x的取值范围是1x3.5解：(1)由题意，得(12)2m0，解得m1，y(x2)21.当x0时，y(02)213，C(0,3)点B与C关于直线x2对称，B(4,3)于是有解得yx1.(2)x的取值范围是1x4.6解：(1)P与P(1,3)关于x轴对称，P点坐标为(1，3)抛物线ya(x1)2c过点A(1，0)，顶点是P(1，3)，解得则抛物线的解析式为y
24、(x1)23，即yx22x2.(2)CD平行于x轴，P(1,3)在CD上，C，D两点纵坐标为3，由(x1)233，得x11，x21，C，D两点的坐标分别为(1，3)，(1，3)，CD2，“W”图案的高与宽(CD)的比(或约等于0.612 4)研习预测试题1A2C3D由题意，得224(k3)0，且k30，解得k4且k3，故选D.4A53把A(1,0)，B(1，2)代入yx2bxc得解得yx2x2，解x2x20得x11，x22，C点坐标为(2,0)，AC3.6由图表可知当x0时，y6；当x1时，y6，抛物线的对称轴是直线x，正确；抛物线与x轴的一个交点为(2,0)，对称轴是直线x，抛物线与x轴的另
25、一个交点为(3,0)，正确；由图表可知，在对称轴左侧，y随x增大而增大，正确；当x时，y取得最大值，错误7yx22x由题中图象可知，对称轴为直线x1，所以1，即b2.把点(3,0)代入yx22xc，得c3.故原图象的解析式为yx22x3，即y(x1)24，然后向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得y(x12)243，即yx22x.8解：(1)由题意，得5k2，k，y1x；y2x2x.(2)设该农户投资t万元购型设备，投资(10t)万元购型设备，共获补贴Q万元y1(10t)4t，y2t2t.Qy1y24tt2tt2t4(t3)2.当t3时，Q最大.10t7.即投资7万元购型设备，投资3万元购型设备，能获得最大补贴金额，最大补贴金额为5.8万元9解：(1)二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x2，顶点坐标(2，1)(2)二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：对称轴为直线x2或顶点的横坐标为2；都经过A(1,0)，B(3,0)两点线段EF的长度不会发生变化直线y8k与抛物线L2交于E，F两点，kx24kx3k8k，k0，x24x38，解得x11，x25.EFx2x16，线段EF的长度不会发生变化13