1、2020-2021学年上海市杨浦高级中学高二（下）期末数学试卷一、填空题1函数f（x）lg（13x）的定义域为 2函数的值域是 3若函数f（x）loga（x+b）的图象过点（1，2），则（x）1的图象经过点 4圆锥底面半径为1cm，母线长为2cm，则其侧面展开图扇形的圆心角 5若“x2”是“xa”的充分非必要条件，则实数a的取值范围是 6某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为 7方程的解为x 8不等式的解集为 9设f（x）是定义在（0，+）上的增函数，且f（2）1，对于任意正数x、y满足等式f（xy）f（x）+f（y），不等式f（x）+f（x3）2的解集为 10已知函数f（x）lg（+
2、ax）的定义域为R，则实数a的取值范围是 11已知ab0，那么当代数式取最小值时，点P（a，b）的坐标为 12关于函数，给出以下四个命题：当x0时，yf（x）单调递减且没有最值：方程f（x）kx+b（k0）一定有实数解：如果方程f（x）m（m为常数）有解，则解的个数一定是偶数；yf（x）是偶函数且有最小值其中假命题的序号是 二.选择题13已知直线a、b是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A若a，a，则B若a，b，则abC若ab，b，a，则D若，a与所成角和b与所成角相等，则ab14设x表示不超过x的最大整数，如4.14，则不等式x25x+60的解集是（）A2，3B2
3、，4C2，4）D3，4）15设集合P1x|x2+ax+10，P2x|x2+ax+20，Q1x|x2+x+b0，Q2x|x2+2x+b0，其中a，bR，下列说法正确的是（）A对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集16已知正方体ABCDA1B1C1D1，点P是棱CC1的中点，设直线AB为a，直线A1D1为b，对于下列两个命题：过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；过点P有且只有一条直线l与a、b都成45角，
4、以下判断正确的是（）A为真命题，为真命题B为真命题，为假命题C为假命题，为真命题D为假命题，为假命题三.解答题17已知全集UR，Am|关于x的方程有正负相异的实数根x22x+4|m1|0，非空集合Bx|（x2a）（x1）0（1）求集合B；（2）求集合UA；（3）若xUA是xB的必要非充分条件，求实数a的取值范围；18某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）19如图所示，在三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC2，ACBC，D、E分别
5、为线段AB、BC上的点，且，CE2EB2（1）证明：DE平面PCD；（2）已知，求锐二面角APDC的余弦值20近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）（x0，k为常数）记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和（1）试解释
6、C（0）的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？21已知（1）s0，t0，st，比较f2（s）+f2（t）+1与f（s）+f（t）+f（s）f（t）的大小；（2）设k和m均为实数，满足以下两个条件：当x（，m时，f（x）的最大值为1，此时m的取值集合记为A；对任意mA且x（，m，不等式f（x）m2（k2）m+3k10恒成立；求k的取值范围：（3）设t为实数，若关于x的方程ff（x）log2（tx）0恰有两个不相等的实数根x1、x2且x1x2，试将表示为关于t的函数，并写出此函数的定义域参考答案一.填空题1函数f（x）lg（13x）的定义
7、域为 （，0）解：由题意得：13x0，解得：x0，故函数f（x）的定义域是（，0），故答案为：（，0）2函数的值域是（0，解：由 ，得 ，xR，解之得0y；故答案为：（0，3若函数f（x）loga（x+b）的图象过点（1，2），则（x）1的图象经过点 （2，0）解：因为函数f（x）的图象过点（1，2），所以f（1）2，所以（2）1，所以（2）10，即函数（x）1经过点（2，0）故答案为：（2，0）4圆锥底面半径为1cm，母线长为2cm，则其侧面展开图扇形的圆心角解：圆锥底面半径为1cm，母线长为2cm，则它的侧面展开图扇形的圆心角所对的弧长为212（cm）；所以扇形的圆心角为故答案为：5若“x
8、2”是“xa”的充分非必要条件，则实数a的取值范围是（2，+）解：“x2”是“xa”的充分非必要条件，x|x2x|xaa2；故实数a的取值范围是（2，+）故答案为：（2，+）6某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，长方体的棱长为：2，1，2，四棱锥的体积为：122故答案为：7方程的解为x2解：，解得x2故答案为：28不等式的解集为 （4，+）解：幂函数y在（，+）上单调递增，a31+2a，a4，不等式的解集为 （4，+）故答案为：（4，+）9设f（x）是定义在（0，+）上的增函数，且f（2）1，对于任意正数x、y满足等式f（xy）f（x）+f（
9、y），不等式f（x）+f（x3）2的解集为 x|3x4解：由于f（2）1，对于一切x，yR+，都有f（xy）f（x）+f（y），令xy2，则f（4）2f（2）2，不等式f（x）+f（x3）2，f（x）+f（x3）f（4），fx（x3）f（4），函数f（x）是定义在（0，+）上的增函数，3x4，不等式的解集为x|3x4故答案为：x|3x410已知函数f（x）lg（+ax）的定义域为R，则实数a的取值范围是1，1解：函数f（x）lg（+ax）的定义域为R，+ax0恒成立，ax恒成立，设y，xR，y2x21，y1；它表示焦点在y轴上的双曲线的一只，且渐近线方程为yx；令yax，xR；它表示过原点的直
10、线；由题意知，直线yax的图象应在y的下方，画出图形如图所示；0a1或1a0，解得1a1；实数a的取值范围是1，1故答案为：1，111已知ab0，那么当代数式取最小值时，点P（a，b）的坐标为 （2，1）解：由ab0，得ab0，所以b（ab）（）2，当且仅当bab，即a2b时等号成立所以a2+a2+16，其中第一个不等式的等号当且仅当a2b时成立，第二个不等式的等号当且仅当a2时成立所以当a2+取最小值时，有，即所以点P（a，b）的坐标为（2，1）故答案为：（2，1）12关于函数，给出以下四个命题：当x0时，yf（x）单调递减且没有最值：方程f（x）kx+b（k0）一定有实数解：如果方程f（x
11、）m（m为常数）有解，则解的个数一定是偶数；yf（x）是偶函数且有最小值其中假命题的序号是 解：当x1时，yf（x）1+在区间（1，+）上是单调递减的函数，0x1时，yf（x）1在区间（0，1）上是单调递增的函数且无最值；命题错误；函数f（x），是偶函数，当x0时，yf（x）在区间（0，1）上是单调递增的函数，（1，+）上是单调递减的函数；当k0时，函数yf（x）与ykx在第一象限内一定有交点；由对称性知，当x0且k0时，函数yf（x）与ykx在第二象限内一定有交点；方程f（x）kx+b（k0）一定有解；命题正确；函数，是偶函数，且f（x）0，当k0时，函数yf（x）与yk的图象只有一个交点，
12、方程f（x）k的解的个数是奇数；命题错误；函数，是偶函数，x1，当x0时，yf（x）在区间（0，1）上是单调递增的函数，（1，+）上是单调递减的函数；由对称性知，函数f（x）无最小值，命题错误故答案为：二.选择题13已知直线a、b是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A若a，a，则B若a，b，则abC若ab，b，a，则D若，a与所成角和b与所成角相等，则ab解：若a，a，由直线与平面垂直的性质可得，故A正确；若a，b，则ab或a与b相交或a与b异面，故B错误；若ab，b，则a或a，又a，则或与相交，故C错误；若，a与所成的角和b与所成的角相等，可得a与所成的角和b与所
13、成的角相等，则a与b的位置关系可能平行、可能相交、也可能异面，故D错误故选：A14设x表示不超过x的最大整数，如4.14，则不等式x25x+60的解集是（）A2，3B2，4C2，4）D3，4）解：由x25x+60，得（x2）（x3）0解得2x3因为x表示不超过x的最大整数，所以2x4所以原不等式的解集为2，4）故选：C15设集合P1x|x2+ax+10，P2x|x2+ax+20，Q1x|x2+x+b0，Q2x|x2+2x+b0，其中a，bR，下列说法正确的是（）A对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C存在a，P1不是
14、P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集解：对于集合P1x|x2+ax+10，P2x|x2+ax+20，可得当mP1，即m2+am+10，可得m2+am+20，即有mP2，可得对任意a，P1是P2的子集；当b5时，Q1x|x2+x+50R，Q2x|x2+2x+50R，可得Q1是Q2的子集；当b1时，Q1x|x2+x+10R，Q2x|x2+2x+10x|x1且xR，可得Q1不是Q2的子集综上可得，对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集故选：B16已知正方体ABCDA1B1C1D1，点P是棱CC1的中点，设直线AB为a，直
15、线A1D1为b，对于下列两个命题：过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；过点P有且只有一条直线l与a、b都成45角，以下判断正确的是（）A为真命题，为真命题B为真命题，为假命题C为假命题，为真命题D为假命题，为假命题解：直线AB与A1D1 是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取BB1的中点Q，则PQA1D1，且 PQA1D1，设A1Q与AB交于E，则点A1、D1、Q、E、P共面，直线EP必与A1D1 相交于某点F，则过P点有且只有一条直线EF与a、b都相交，故为真命题；分别平移a，b，使a与b均经过P，则有两条互相垂直的直线与a，b都成45角，故为假命题为
16、真命题，为假命题故选：B三.解答题17已知全集UR，Am|关于x的方程有正负相异的实数根x22x+4|m1|0，非空集合Bx|（x2a）（x1）0（1）求集合B；（2）求集合UA；（3）若xUA是xB的必要非充分条件，求实数a的取值范围；解：（1）由B，可得a，分a和a两种情况，当a，即2a1时，集合Bx|2ax1当a，即2a1时，集合Bx|1x2a综上，当a时，集合Bx|2ax1当a时，集合Bx|1x2a（2）因关于x的方程有正负相异的实数根x22x+4|m1|0，x1x24|m1|0，且44（4|m1|）0，|m1|4，m3或m5，Am|m3或m5；故集合UAm|3m5（3）若xUA是xB
17、的必要非充分条件，则BUA，由（1）、（2）可得：当a时，集合Bx|2ax1，则2a3，a；当a时，集合Bx|1x2a，则2a5，a综上，实数a的取值范围为，）（，18某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）解：设圆锥的底面半径为r，高为h因为，所以r2则则圆锥的表面积S体积V故该蛋筒冰淇淋的表面积约为87.96cm2，体积约为57.80cm319如图所示，在三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC2，ACBC，D、E分别为线段AB、
18、BC上的点，且，CE2EB2（1）证明：DE平面PCD；（2）已知，求锐二面角APDC的余弦值【解答】（1）证明：因为PC平面ABC，DE平面ABC，所以PCDE，因为，CE2，所以DE2+CD2CE2，所以DECD，又因为PCCDC，所以DE平面PCD，（2）解：因为PC平面ABC，所以PCCA、PCAB，又因为，所以CA、CB、CP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，由己知得，B（0，3，0），P（0，0，2），D（1，1，0），E（0，2，0），设平面PDA的法向量为，令x4，平面PCD的一个法向量为，所以锐二面角APDC的余弦值为20近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减
19、排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）（x0，k为常数）记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和（1）试解释C（0）的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？解：（1）C（0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的
20、面积为0时的用电费用，即未安装太阳能供电设备时全村每年消耗的电费由C（0）24，得k2400 所以F15+0.5x+0.5x，x0（2）因为+0.5（x+5）2.522.557.5，当且仅当0.5（x+5），即x55时取等号 所以当x为55平方米时，F取得最小值为57.5万元21已知（1）s0，t0，st，比较f2（s）+f2（t）+1与f（s）+f（t）+f（s）f（t）的大小；（2）设k和m均为实数，满足以下两个条件：当x（，m时，f（x）的最大值为1，此时m的取值集合记为A；对任意mA且x（，m，不等式f（x）m2（k2）m+3k10恒成立；求k的取值范围：（3）设t为实数，若关于x的方
21、程ff（x）log2（tx）0恰有两个不相等的实数根x1、x2且x1x2，试将表示为关于t的函数，并写出此函数的定义域解：（1）设f（s）x，f（t）y，xy，由题意可得，x2+y2+1（x+y+xy）+，f2（s）+f2（t）+1f（s）+f（t）+f（s）f（t）（2）令log2x1，得x2，令2x1 得x1，0m2，即mm|0m2不等式f（x）m2（k2）m+3k10恒成立，m2（k2）m+3k10f（x）max1，m2（k2）m+3k110对任意m0，2都成立，13m3，当且仅当m3，即m1时等号成立，k4，k得取值范围为4，+）（3），当x1时，方程ff（x）log2（tx）0 变为xlog2（tx），即2xtx，1t3，当x1时，方程ff（x）log2（tx）0 变为log2（log2x）log2（tx），即log2xtx，t1，x1，x2 分别是方程2xtx，log2xtx 的两个根且x11x2t，得，将其代入t，可得x1+x2t，2|x11|+|x21|（tx1）+（tx2）+2（1x1）+（x21）2t，函数得定义域为（1，3