1、2015-2016学年上期高二第二次精英对抗赛（理科）数学试题试卷总分：150分 时间：120分钟第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每題给出的四个选中，只有一项是符合题目要求）1命题甲：x2或y3；命题乙：x+y5，则甲是乙的（ ）A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件2若“0x1是“（xa）x（a+2）0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）A 1，0B（1，0）C（，01，+）D（，10，+）3运行如右图所示的程序框图若输入x=4，则输出y的值为（ ）A 49B 25C 13D 74下列说法正确的是（ ）
2、A x3是x5的充分而不必要条件B 若pq，则p是q的充分条件C x1是|x|1的充要条件D 一个四边形是矩形的充分条件是：它是平行四边形5.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( )A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关6在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，CA=CB=CC1=1，则直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值为（ ）A B C D （第6题） （第7题）7.
3、如图：在平行六面体中，为与的交点。若，则下列向量中与相等的向量是（ ）（A） （B）（C） （D）8、直线与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，且，则（ ） 9、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. B. C. D. 10已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其交于两点， 中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ）A. B. C. D. 11如图，已知二面角l为60，点A，ACl，C为垂足，点B，BDl，D为垂足，且AC=2，CD=3，DB=1，则AB的长度为（ ）A 4B 2C 3D 12、若不论
4、为何值，直线与曲线总有公共点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上）13.椭圆的焦点为F1、F2，过点F1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段MN长为，的周长为20，则椭圆的离心率为 _14设p：|2x+1|m（m0），若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为15为了“城市品位、方便出行、促进发展”，南昌市拟修建穿江隧道，市某部门问卷调查了n个市民，其中赞成修建穿江隧道的市民占80%，在赞成修建穿江隧道的市民中又按年龄分组，得样本频率分布直方图如图，其中年龄在20，30）岁的有400人，40，50）
5、岁的有m人，则n=，m=16.如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且则三棱锥体积的最大值为三、解答题（本大题共6题，共70分，解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，q：实数x满足（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围18. （本小题满分12分）已知椭圆（ab0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为（1）求椭圆的方程（2）已知定点E（-1，0），若直线ykx2（k0）与椭圆交于C、D两点问：是否存在k的值，使以CD
6、为直径的圆过E点?请说明理由19（本小题满分12分）已知关于x的一元二次方程x22（a2）xb2+16=0（1）若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率（2）若a2，6，b0，4，求方程没有实根的概率20.（本小题满分12分）某种产品广告的支出x与销售收入y（单位：万元）之间有下列所示的对应数据. 广告支出x/万元1234销售收入y/万元12284256（1）画出表中数据的散点图；（2）求出y与x的回归直线方程；（3）若广告费为9万元，则销售收入约为多少？ ， .21（本小题满分12分）如图，ABC中，O是BC的中点，AB=AC，AO=2OC=2将BAO沿AO折起，使B点与图
7、中B点重合（）求证：AO平面BOC；（）当三棱锥BAOC的体积取最大时，求二面角ABCO的余弦值；（）在（）的条件下，试问在线段BA上是否存在一点P，使CP与平面BOA所成的角的正弦值为？证明你的结论22（本小题满分12分）已知椭圆C：，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A， B，线段AB的中点为M。（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。第二次精英对抗赛理科数学试题答案BABCD CAADB BD 13. 14.（0，2 15.4000，1120 16.
8、 ；17分析：（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且pq为真，求实数x的取值范围；（2）利用p是q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围解答：解：（1）由x24ax+3a20，得（x3a）（xa）0又a0，所以ax3a当a=1时，1x3，即p为真时实数x的取值范围是1x3由得得2x3，即q为真时实数x的取值范围是2x3若pq为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2x3（2）p是q的充分不必要条件，即pq，且q推不出p即q是p的充分不必要条件，则，解得1a2，所以实数a的取值范围是1a218.解析：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab0依题意解得椭圆方
9、程为（2）假若存在这样的k值，由得设，、，则而要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CEDE时，则，即将式代入整理解得经验证，使成立综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E18解答：解：（1）由题意知本题是一个古典概型用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件依题意知，基本事件（a，b）的总数有36个二次方程x22（a2）xb2+16=0有两正根，等价于，即“方程有两个正根”的事件为A，则事件A包含的基本事件为（6，1）、（6，2）、（6，3）、（5，3）共4个 所求的概率为（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域=（a，b）|2a6， 0b4，其面积为S（
10、）=16满足条件的事件为：B=（a，b）|2a6，0b4，（a2）2+b216其面积为 所求的概率P（B）=19.解答：（1）散点图略. （2）由散点图可知y与x之间具有线性相关关系. 由题意知， 回归直线方程为 （3）将x=9代入，得，故投入9万元广告费，销售收入约为129.4万元.20解答：解：（）AB=AC且O是BC中点，AOBC即AOOB，AOOC，又OBOC=O，AO平面BOC（）在平面BOC内，作BDOC于点D，则由（）可知BDOA又OCOA=O，BD平面OAC，即BD是三棱锥BAOC的高，又BDBO，所以当D与O重合时，三棱锥BAOC的体积最大，解法一：过O点作OHBC于点H，连
11、AH，由（）知AO平面BOC，又BC平面BOC，BCAOAOOH=O，BC平面AOH，BCAH，AHO即为二面角ABCO的平面角 ，故二面角AB1CO的余弦值为解法二：依题意得OA、OC、OB两两垂直，分别以射线OA、OC、OB为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz，设平面BOC的法向量为，可得设平面ABC的法向量为，由（7分），故二面角ABCO的余弦值为：（）解法一：存在，且为线段AB的中点证明如下：设又平面BOA的法向量，依题意得解得舍去）解法二：连接OP，因为CO平面BOA，所以OPC为CP与面BOA所成的角，故，又直角OBA中，OA=2，OB=1，即P为AB的中点21解答：解
12、：（1）证明：EA平面ABC，BM平面ABC，EABM又BMAC，EAAC=A，BM平面ACFE，而EM平面ACFE，BMEMAC是圆O的直径，ABC=90又BAC=30，AC=4，AM=3，CM=1EA平面ABC，FCEA，FC平面ABCEAM与FCM都是等腰直角三角形EMA=FMC=45EMF=90，即EMMF（也可由勾股定理证得）MFBM=M，EM平面MBF而BF平面MBF，EMBF（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CHBG，连接FH由（1）知FC平面ABC，BG平面ABC，FCBG而FCCH=C，BG平面FCHFH平面FCH，FHBG，FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角在RtABC中，BAC=30，AC=4，由，得GC=2，又GCHGBM，则FCH是等腰直角三角形，FHC=45，平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为22
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