1、课时活页作业（四十九）基础训练组1已知抛物线 y22x，过点(1,2)作直线 l，使 l 与抛物线有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线 l 共有()A0 条 B1 条 C2 条 D3 条解析 因为点(1,2)在抛物线 y22x 的左侧，所以该抛物线一定有两条过点(1,2)的切线，过点(1,2)与 x 轴平行的直线也与抛物线只有一个交点，所以过点(1,2)有 3 条直线与抛物线有且只有一个交点，故选 D.答案 D2已知椭圆 C 的方程为x216y2m21(m0)，如果直线 y 22 x 与椭圆的一个交点 M 在 x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F，则 m 的值为()A2 B2 2C8 D2
2、3解析 根据已知条件得 c 16m2，则点16m2，2216m2 在椭圆x216y2m21(m0)上，16m21616m22m2 1，可得 m2 2.答案 B3(2016嘉定模拟)过点 P(1,1)作直线与双曲线 x2y221 交于 A，B 两点，使点 P 为 AB中点，则这样的直线()A存在一条，且方程为 2xy10B存在无数条C存在两条，方程为 2x(y1)0D不存在解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22，y1y22，则 x21 12y211，x22 12y221，两式相减得(x1x2)(x1x2)12(y1y2)(y1y2)0，所以 x1x2 12(y1y2)，即
3、kAB2，故所求直线方程为 y12(x1)，即 2xy10.联立y2x1，x212y21可得 2x24x30，但此方程没有实数解，故这样的直线不存在故选 D.答案 D4经过椭圆x22y21 的一个焦点作倾斜角为 45的直线 l，交椭圆于 A，B 两点设 O 为坐标原点，则OA OB 等于()A3 B13C13或3 D13解析 依题意，当直线 l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为 y0tan 45(x1)，即yx1，代入椭圆方程x22y21 并整理得 3x24x0，解得 x0 或 x43，所以两个交点坐标分别为(0，1)，43，13，OA OB 13，同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也
4、可得OA OB13.答案 B5(2015高考新课标卷)已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线 C：y28x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|()A3 B6 C9 D12解析 抛物线 y28x 的焦点 F(2,0)，故 c2，又离心率 eca12，所以 a4.椭圆 E 的标准方程为x216y2121.将抛物线的准线 x2，代入得|y|3，所以|AB|6，故选 B.答案 B6已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)，F(2，0)为其右焦点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 2.则椭圆 C 的方程为_解析 由题意得c
5、2，b2a 1，a2b2c2，解得a2，b 2，椭圆 C 的方程为x24y221.答案 x24y2217设双曲线x29y2161 的右顶点为 A，右焦点为 F.过点 F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B，则ABF 的面积为_解析 c5，设过点 F 平行于一条渐近线的直线方程为 y43(x5)，即 4x3y200，联立直线与双曲线方程，求得 yB3215，则 S12(53)32153215.答案 32158过点 M(2，2p)作抛物线 x22py(p0)的两条切线，切点分别为 A，B，若线段 AB的中点的纵坐标为 6，则 p 的值是_解析 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)
6、，依题意得，yxp，切线 MA 的方程是 yy1x1p(xx1)，即 yx1pxx212p.又点 M(2，2p)位于直线 MA 上，于是有2px1p2x212p，即 x214x14p20；同理有 x224x24p20，因此 x1，x2 是方程 x24x4p20 的两根，则 x1x24，x1x24p2.由线段 AB 的中点的纵坐标是 6 得，y1y212，即x21x222p x1x222x1x22p12，168p22p12，解得 p1 或 p2.答案 1 或 29(2016衡水模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab1)的离心率e 32，且椭圆 C 上一点 N
7、到点 Q(0,3)的距离最大值为 4，过点 M(3,0)的直线交椭圆 C 于点 A，B.(1)求椭圆 C 的方程(2)设 P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP(O 为坐标原点)，当|AB|3时，求实数 t的取值范围解(1)因为 e2c2a2a2b2a234，所以 a24b2，则椭圆方程为 x24b2y2b21，即 x24y24b2.设 N(x，y)，则|NQ|x02y32 4b24y2y32 3y26y4b29 3y124b212.当 y1 时，|NQ|有最大值为 4b2124，解得 b21，所以 a24，椭圆方程是x24y21.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y
8、0)，AB 方程为 yk(x3)，由ykx3，x24y21，整理得(14k2)x224k2x36k240.由(24k2)216(9k21)(14k2)0，得 k215.x1x2 24k214k2，x1x236k2414k2.所以OA OB(x1x2，y1y2)t(x0，y0)，则 x01t(x1x2)24k2t14k2，y01t(y1y2)1tk(x1x2)6k6kt14k2.由点 P 在椭圆上，得 24k22t214k22144k2t214k224，化简得 36k2t2(14k2)又由|AB|1k2|x1x2|3，即(1k2)(x1x2)24x1x23，将 x1x2，x1x2 代入得(1k2
9、)242k414k22436k2414k23，化简，得(8k21)(16k213)0，则 8k210，k218，所以18k215由，得 t2 36k214k29914k2，联立，解得 3t24，所以2t 3或 3t2.10(2016石家庄模拟)椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1(1,0)、F2(1,0)，过 F1 作与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆于 A、B 两点(1)若ABF2 为正三角形，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的离心率满足 0e 512，O 为坐标原点，求证：|OA|2|OB|2|AB|2.解(1)由椭圆的定义知|AF1|AF2|BF1|BF2|，|AF2|B
10、F2|，|AF1|BF1|，即F1F2 为边 AB 上的中线，F1F2AB.在 RtAF1F2 中，cos 302c4a3，则ca 33，椭圆的离心率为 33.(2)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，0e 512，c1，a1 52.当直线 AB 与 x 轴垂直时，1a2y2b21，y2b4a2，OA OB x1x2y1y21b4a2a43a21a2a232254a2，a23 52，OA OB 0，AOB 恒为钝角，|OA|2|OB|2|AB|2.当直线 AB 不与 x 轴垂直时，设直线 AB 的方程为：yk(x1)，代入x2a2y2b21，整理得，(b2a2k2)x22k2a2xa
11、2k2a2b20，x1x22a2k2b2a2k2，x1x2a2k2a2b2b2a2k2，OA OB x1x2y1y2x1x2k2(x11)(x21)x1x2(1k2)k2(x1x2)k2a2k2a2b21k22a2k4k2b2a2k2b2a2k2k2a2b2a2b2a2b2b2a2k2k2a43a21a2b2b2a2k2令 m(a)a43a21，由可知 m(a)0，AOB 恒为钝角，恒有|OA|2|OB|2|AB|2.能力提升组11某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为()A.2B.12C.22D.24解析 设组合体中圆锥的底面
12、半径为 r，由组合体的直观图和俯视图可知，俯视图上椭圆的长轴 2a2r，即 ar，由正视图和俯视图可知，俯视图中椭圆的短轴 2b 22 2r 2r，即 b 22 r，所以 e2c2a21b2a2122 r 2r212，即 e 22.答案 C12(2016丽水一模)斜率为 1 的直线 l 与椭圆x24y21 相交于 A，B 两点，则|AB|的最大值为()A2 B.4 55C.4 105D.8 105解析 设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线 l 的方程为 yxt，由x24y24，yxt消去 y，得 5x28tx4(t21)0.则 x1x285t，x1x24t215.|
13、AB|1k2|x1x2|1k2x1x224x1x2 285t 244t2154 25 5t2，当 t0 时，|AB|max4 105.13(2016沈阳模拟)已知点 A(2，0)，点 B(2，0)，且动点 P 满足|PA|PB|2，则动点 P 的轨迹与直线 yk(x2)有两个交点的充要条件为 k_.解析 由已知得动点 P 的轨迹为一双曲线的右支且 2a2，c 2，则 b c2a21，P 点的轨迹方程为 x2y21(x0)，其一条渐近线方程为 yx.若 P 点的轨迹与直线 yk(x2)有两个交点，则需 k(，1)(1，)答案(，1)(1，)14(2016鞍山一模)设 A，B 分别为椭圆x2a2y
14、2b21(ab0)和双曲线x2a2y2b21 的公共顶点，P，M 分别为双曲线和椭圆上异于 A，B 的两动点，且满足APBP(AM BM)，其中 R，|1，设直线 AP，BP，AM，BM 的斜率分别为 k1，k2，k3，k4 且 k1k25，则 k3k4_.解析 如图所示，满足APBP(AM BM)，其中 R，|1，2PO(2MO)，O，M，P 三点共线设 P(x1，y1)，M(x2，y2)，y1x1y2x2k0.则x21a2y21b21，x22a2y22b21，x21a2a2y21b2，x22a2a2y22b2，k1k25，5 y1x1a y1x1a 2x1y1x21a22x1y1a2y21
15、b22b2a2 1k.k3k4 y2x2a y2x2a 2x2y2x22a22b2a2 1k5.答案 515(2015高考浙江卷)如图，已知抛物线 C1：y14x2，圆 C2：x2(y1)21，过点 P(t,0)(t0)作不过原点 O 的直线 PA，PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2 相切，A，B 为切点()求点 A，B 的坐标；()求PAB 的面积注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点解()由题意可知直线 PA 的斜率存在，故可设直线 PA 的方程为 yk(xt)，由ykxt，y14x2消去 y，整理得：x24kx4kt0.由于直线 PA 与抛物线相切，所以 16k216kt0 解得 rt，所以点 A 的坐标为(2t，t2)设圆 C2 的圆心为 D(0,1)，点 B 的坐标为(x0，y0)，由题意知：点 B，O 关于直线 PD 对称，故y02x02t1，x0ty00，解得x0 2t1t2，y0 2t21t2即，点 B2t1t2，2t21t2.()由()知|AP|t1t2.直线PA的方程txyt20.点B到直线PA的距离是dt21t2.设PAB 的面积为 S(t)，所以 S(t)12|AP|dt2.