1、4 万有引力理论的成就知识体系关键点击2 种计算天体质量及密度的计算2 条解题思路GMmr2mv2r m2r、GMgR2知识点一 计算天体的质量(1)称量地球的质量思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力关系式：mgGMmR2.结果：MgR2G，只要知道 g、R、G 的值，就可计算出地球的质量(2)太阳质量的计算思路：质量为 m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力关系式：GMmr2m42T2 r.结论：M42r3GT2，只要知道行星绕太阳运动的周期 T 和半径 r就可以计算出太阳的质量推广：若已知卫星绕行星运动的周期 T 和卫星与行
2、星之间的距离 r，可计算行星的质量 M.知识点二 发现未知天体(1)海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846 年 9 月 23 日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星海王星(2)其他天体的发现：近 100 年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体1天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的()答案 2海王星的发现确立了万有引力定律的地位()答案 3牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道()答案 4地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力()答案 5
3、若只知道某行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量()答案 6若知道某行星绕太阳做圆周运动的线速度和角速度，则可以求出太阳的质量()答案 1若已知月球绕地球转动的周期 T 和半径 r，由此可以求出地球的质量吗？能否求出月球的质量呢？提示 能求出地球的质量利用 GMmr2 m2T2r 求出的质量 M42r3GT2 为中心天体的质量做圆周运动的月球的质量 m在等式中已消掉，所以根据月球的周期 T、公转半径 r，无法计算月球的质量2如图，行星在围绕太阳做匀速圆周运动(1)行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的？(2)行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速
4、度与自身质量有关吗？提示(1)由 GMmr2 mv2r 得 vGMr，可见行星线速度的大小是由恒星的质量和行星的轨道半径共同决定的(2)无关因为在等式 GMmr2 manmv2r m2rm42T2 r 各项中都含有 m，可以消掉要点一天体质量的计算方法1重力加速度法若已知天体的半径 R 和天体表面的重力加速度 g，忽略天体自转的影响，则物体的重力等于天体对物体的万有引力，得 mgGMmR2，解得天体质量为 MgR2G.2环绕法借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”常见的情况如下：万有引力提供向心力中心天体的质量说明GMmr2 mv2rMrv2Gr 为行
5、星(或卫星)的轨道半径，v、T 为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期GMmr2 mr2Mr32GGMmr2 mr42T2M42r3GT2【典例】(多选)已知引力常量 G 和下列各组数据，能计算出地球质量的是()A地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离B月球绕地球运行的周期和轨道半径C月球绕地球运行的周期及月球的半径D若不考虑地球自转，已知地球的半径及地球表面的重力加速度思路点拨 求地球的质量，方法有二：一是根据地球表面物体的重力等于万有引力，另一种是让地球处于中心天体，分析其绕行卫星的运动情况解析 根据万有引力提供向心力，对地球有 GMmr2 m42T2 r，其中 m 为地球质量，在等式中消
6、去，只能求出太阳的质量 M，也就是说只能求出中心天体的质量，故 A 错误；月球绕地球做匀速圆周运动，它受到的地球的万有引力充当向心力，对月球有 GMmr2 m42T2 r，可得地球的质量 M42r3GT2，其中 r 为地球与月球间的距离，即月球的轨道半径，而不是月球本身的半径，故 B 正确，C 错误；若不考虑地球自转，地球表面物体的重力等于万有引力，即 mgGMmR2，因此，可求出地球的质量 MR2gG，故 D 正确答案 BD解决天体运动问题的关键(1)建立物理模型绕中心天体做匀速圆周运动(2)应用物理规律万有引力定律和圆周运动规律(3)利用黄金公式“gR2”代换“GM”，简化记忆和解题针对训
7、练 若地球绕太阳公转的周期及公转轨道半径分别为 T和 R，月球绕地球公转的周期和公转轨道半径分别为 t 和 r，则太阳质量与地球质量之比为()A.R3t2r3T2BR3T2r3t2C.R3t2r2T3DR3T2r2t3解析 无论地球绕太阳公转，还是月球绕地球公转，都有GMmR20m42T20 R0，即 MR30T20，所以M日M地R3t2r3T2.答案 A易错警示根据轨道半径 r 和运行周期 T，求得 M42r3GT2 是中心天体的质量，而不是行星或卫星的质量.要点二天体密度的计算方法根据密度公式 M43R3，只要求出天体的质量和半径就可以代入此式计算天体的密度1利用天体表面的重力加速度 g
8、和半径 R，求此天体的密度由 mgGMmR2 和 M43R3，可得 3g4GR.2若天体的某个行星(或卫星)的轨道半径为 r，运行周期为 T，中心天体的半径为 R，则由 GMmr2 mr42T2 和 M43R3，可得 3r3GT2R3.【典例】假设在半径为 R 的某天体上发射一颗该天体的卫星，卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为 T1，已知引力常量为 G.(1)则该天体的密度是多少？(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为 h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为 T2，则该天体的密度又是多少？思路点拨 利用环绕法求出中心天体的质量，再除以天体的体积即得天体的密度解析 设卫星的质量为 m，天体的
9、质量为 M.(1)卫星贴近天体表面运动时，有 GMmR2 m42T21 R，解得 M42R3GT21根据数学知识可知天体的体积为 V43R3故该天体的密度为 MV42R3GT2143R3 3GT21.(2)卫星距天体表面的高度为 h 时，有G MmRh2m42T22(Rh)，解得 MV3Rh3GT22R3.答案(1)3GT21(2)3Rh3GT22R31卫星在距天体表面的高度为 h 的轨道上运行时，轨道半径为 Rh，此天体的半径为 R.注意区分卫星轨道半径和中心天体半径，求天体体积时要用天体的半径 R2若行星或卫星在天体表面附近运行，运行周期为 T，则有 Rr，此时中心天体的密度为 3GT21
10、.针对训练“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星如图所示，若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期为 T，已知引力常量为 G，半径为 R 的球体体积公式 V43R3，则可估算月球的()A密度B质量C半径D自转周期解析 由万有引力提供向心力有 GMmr2 m42T2 r，由于在月球表面附近轨道有 rR，由球体体积公式 V43R3，联立解得月球的密度 3GT2，A 正确答案 A易错警示不要混淆或乱用天体半径与轨道半径，比如通常情况下天体半径用 R 表示，轨道半径用 r 表示，这样就可以避免如 3r3GT2R3误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地
11、卫星，轨道半径 r 才可以认为等于天体半径 R.要点三天体运动的分析与计算1应用万有引力定律解题的两条思路(1)万有引力提供天体运动的向心力GMmr2 mv2r m42T2 rm2r.(2)黄金代换在天体表面上，天体对物体的万有引力近似等于物体的重力，即GMmR2 mg，从而得出 GMR2g.2几个常用公式(1)由 GMmr2 mv2r 可得 vGMr，r 越大，v 越小(2)由 GMmr2 m2r 可得 GMr3，r 越大，越小(3)由 GMmr2 m2T2r 可得 T2r3GM，r 越大，T 越大(4)由 GMmr2 ma 可得 aGMr2，r 越大，a 越小【典例】如下图所示，在火星与木
12、星轨道之间有一小行星带假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动下列说法正确的是()A太阳对各小行星的引力相同B各小行星绕太阳运动的周期均小于一年C小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值D小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值思路点拨 解答本题的关键是能够根据太阳对行星的万有引力提供行星运动的向心力，列出相关动力学方程解析 由于各小行星的质量和轨道半径不同，根据万有引力定律可知太阳对各小行星的引力不同，选项 A 错误；太阳对小行星的万有引力提供小行星做圆周运动的向心力，由 GMmr2 m2T2r 可得 T42r3GM，又小行星的轨道半径
13、大于地球的轨道半径，可知各小行星绕太阳运动的周期均大于一年，选项 B 错误；由 GMmr2 ma 可得aGMr2，可知小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值，选项 C 正确；由 GMmr2 mv2r 可得 vGMr，可知小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值小于地球公转的线速度值，选项 D 错误答案 C解决该类问题要紧扣两个关键：一是紧扣一个物理模型，就是将天体或卫星的运动看成是匀速圆周运动；二是紧扣一个物体做圆周运动的动力学特征，即天体或卫星的向心力由万有引力提供.针对训练 在距地面不同高度的太空有许多飞行器其中“天舟一号”距地面高度约为 393 km，哈勃望远镜距地面
14、高度约为612 km，“张衡一号”距地面高度约为 500 km.若它们均可视为绕地球做圆周运动，则()A“天舟一号”的加速度大于“张衡一号”的加速度B哈勃望远镜的线速度大于“张衡一号”的线速度C“天舟一号”的周期大于哈勃望远镜的周期D哈勃望远镜的角速度大于“张衡一号”的角速度解析“天舟一号”与“张衡一号”做圆周运动时均由万有引力提供向心力，由 GMmr2 ma 可得 aGMr2，“天舟一号”轨道半径小，故加速度大，A 正确；哈勃望远镜和“张衡一号”做圆周运动时均是由万有引力提供向心力，由 GMmr2 mv2r 可得 vGMr，哈勃望远镜轨道半径大，故线速度小，由GMmr2mr2可得 GMr3，
15、哈勃望远镜轨道半径大，故角速度小，B、D 错误；“天舟一号”与哈勃望远镜做圆周运动时均是由万有引力提供向心力，由 GMmr2 m42T2 r 可得 T2 r3GM，哈勃望远镜轨道半径大，故周期大，C错误答案 A易错警示在向心加速度、线速度、角速度和周期四个物理量中，只有周期的值随着轨道半径的变大而增大，其余的三个都随轨道半径的变大而减小.1(天体质量的计算)已知引力常量 G6.671011 Nm2/kg2，重力加速度 g 取 9.8 m/s2，地球半径 R6.4106 m，则可知地球质量的数量级是()A1018 kg B1020 kgC1022 kg D1024 kg解析 依据万有引力定律有：
16、FGmMR2 而在地球表面，物体所受的重力约等于地球对物体的吸引力：Fmg联立解得：gGMR2解得：MgR2G 9.86.410626.671011kg61024 kg.答案 D2(天体密度的计算)地球表面的平均重力加速度为 g，地球半径为 R，万有引力常量为 G，用上述物理量估算出来的地球平均密度是()A.3g4RGB3g4R2GC.gRGD gRG2解析 地球表面有 GMmR2 mg，得 MgR2G ，又由 MV3M4R3，由得出 3g4RG.答案 A3(天体运动的 v 与 r 的关联)如图所示，若两颗人造卫星 a 和 b均绕地球做匀速圆周运动，a、b 到地心 O 的距离分别为 r1、r2
17、，线速度大小分别为 v1、v2，则()A.v1v2r2r1B.v1v2r1r2C.v1v2r2r12D.v1v2r1r22解析 对人造卫星，根据万有引力提供向心力GMmr2mv2r，可得 vGMr.所以对于 a、b 两颗人造卫星有v1v2r2r1，故选项 A正确答案 A4(天体运动的 T 与 r 的关联)人造卫星绕地球运动只受地球的引力，做匀速圆周运动，其轨道半径为 r，线速度为 v，周期为 T.为使其周期变为 8T，可采用的方法有()A保持轨道半径不变，使线速度减小为v8B逐渐减小卫星质量，使轨道半径逐渐增大为 4rC逐渐增大卫星质量，使轨道半径逐渐增大为 8rD保持线速度不变，将轨道半径增
18、加到 8r解析 利用万有引力提供卫星的向心力可以得到 vGMr，T2 r3GM，从中可以看出：线速度、周期与半径具有一一对应关系，与卫星的质量无关，使轨道半径逐渐增大为 4r，能使其周期变为 8T，速率同时减小为v2，B 正确，A、C、D 错误答案 B知识拓展之宇宙双星问题 如图所示宇宙中两个靠得比较近的天体称为双星，它们绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动双星具有以下特点：1由于双星和该固定点总保持三点共线，所以双星做匀速圆周运动的角速度和周期分别相同2由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等由 Fmr2 和 Lr1r2，可得 r1m2m1m2L，r2m1m1m
19、2L，则r1r2m2m1.【典例】(多选)2017 年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约 400 km，绕二者连线上的某点每秒转动 12 圈将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()A质量之积B质量之和C速率之和D各自的自转角速度解析 由题意可知两中子星的距离 L 和周期 T，根据万有引力提供向心力可得Gm1m2L2m142T2 r1，Gm1m2L2m242T2 r2，其中 r1r2L，联立解得Gm1m2L242LT2，可以求出它们的质量之
20、和 m1m242L3GT2，故 B 正确；由 v12r1T，v22r2T，可得它们的速率之和 v1v22LT，故 C 正确；由于 m1m2164L4r1r2G2T4且 r1、r2 的具体值未知，故无法求出它们的质量之积，故 A 错误；题中条件与中子星自转无关，无法求出它们各自的自转角速度，故 D 错误答案 BC双星模型的特点针对训练 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起设二者的质量分别为 m1 和 m2，二者相距为 L，求：(1)双星的轨道半径之比；(2)双星的线速度之比解析 这两颗天体必须各以一定速率绕某一中心
21、转动才不至于因万有引力作用而吸引到一起，所以两天体间距离 L 应保持不变，二者做圆周运动的角速度 必须相同如图所示，设二者轨迹圆的圆心为 O，圆半径分别为 R1 和 R2.由万有引力提供向心力有Gm1m2L2 m12R1Gm1m2L2 m22R2(1)两式相除，得R1R2m2m1(2)因为 vR，所以v1v2R1R2m2m1答案(1)m2m1(2)m2m1课后作业(十)基础巩固1(多选)下面说法中正确的是()A海王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的B天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的C天王星的运动轨道偏离是根据万有引力定律计算出来的，其原因是由于天王星受到轨道外面其他行星的
22、引力作用D冥王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的解析 人们通过望远镜发现了天王星，经过仔细的观测发现，天王星的运行轨道与根据万有引力定律计算出来的轨道总有一些偏差，于是认为天王星轨道外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的吸引使其轨道产生了偏差英国的亚当斯和法国的勒维耶根据天王星的观测资料，独立地利用万有引力定律计算出这颗新行星的轨道，后来用类似的方法发现了冥王星故 A、C、D 正确，B 错误答案 ACD2过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为 4 天，轨道半径
23、约为地球绕太阳运动半径的 120.该中心恒星与太阳的质量比约为()A.110B1 C5 D10解析 行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得 GMmr2 m42T2 r，则M1M2r1r23T2T121203365421，选项 B 正确答案 B3有两个行星 A、B，在这两个行星表面附近各有一颗卫星，如果这两颗卫星运行的周期相等，则行星 A、B 的密度之比()A11 B21C12 D无法计算解析 万有引力提供向心力 GMmR2 m42T2 R，解得 M42R3GT2，行星的密度为 MV，V43R3，由式解得 3GT2，所以行星 A、B 的密度之比 AB11，A 正确答案
24、 A4两个行星的质量分别为 m1 和 m2，绕太阳运行的轨道半径分别为 r1 和 r2，若它们只受太阳万有引力的作用，那么这两个行星的向心加速度的比值a1a2为()A1 Bm2r1m1r2C.m1r2m2r1Dr22r21解析 行星绕太阳做匀速圆周运动，设 M 为太阳质量，m 为行星质量，r 为轨道半径，则 GMmr2 ma 向，则 a 向1r2，所以a1a2r22r21，故 D 正确答案 D5(多选)设地球的半径为 R，质量为 m 的卫星在距地面高为 2R处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为 g，则()A卫星的线速度为gR3B卫星的角速度为g8RC卫星做圆周运动所需的向心力为19mgD卫星的
25、周期为 2 3Rg解析 由 GMmR2 mg 和 G Mm3R2mv23Rm23Rm42T2 3R 可求得卫星的线速度为 vgR3，角速度 13g3R，周期 T63Rg，卫星做圆周运动所需的向心力等于万有引力，即 FG Mm3R219mg，故选项 A、C 正确答案 AC6已知引力常量 G，那么在下列给出的各种情境中，能根据测量的数据求出火星平均密度的是()A在火星表面使一个小球做自由落体运动，测出下落的高度 H和时间 tB发射一颗贴近火星表面绕火星做圆周运动的卫星，测出卫星的周期 TC观察火星绕太阳的圆周运动，测出火星的直径 D 和火星绕太阳运行的周期 TD发射一颗绕火星做圆周运动的卫星，测出
26、卫星离火星表面的高度 H 和卫星的周期 T解析 估算天体密度的一般思路是给定围绕天体并在天体表面运行的卫星的周期 T，根据 GMmR2 m42RT2，天体密度 M43R3 3GT2，即已知引力常量 G 和在天体表面运行的卫星的周期 T，可求出天体的平均密度，B 正确；由 A、C、D 选项数据均不能求出火星密度，A、C、D 错误答案 B拓展提升7(多选)有一宇宙飞船到了某行星上(该行星没有自转运动)，以速度 v 接近行星赤道表面匀速飞行，测出运动的周期为 T，已知引力常量为 G，则可得()A该行星的半径为vTB该行星的平均密度为 3GT2C该行星的质量为v3TGD该行星表面的重力加速度为2vT解
27、析 由 T2Rv 可得 RvT2，选项 A 错误；由 GMmR2 mv2R可得 Mv3T2G，选项 C 错误；由 M43R3，得 3GT2，选项 B 正确；由 GMmR2 mg，得 g2vT，选项 D 正确答案 BD8我国于 2008 年 9 月 25 日实施了“神舟七号”载人航天飞行任务，实现航天员首次空间出舱活动设宇航员测出自己绕地球球心做匀速圆周运动的周期为 T，离地面的高度为 H，地球半径为 R.则根据 T、H、R 和引力常量，不能计算出的量是()A地球的质量B地球的平均密度C飞船所需的向心力D飞船线速度的大小解析 设地球质量为 M，由万有引力提供向心力得 GMmHR2m(HR)2m4
28、2T2(HR)，由此式可求出地球的质量 M，再由 MV，可求出地球的平均密度由 v2RHT，可求出飞船的线速度大小因“神舟七号”质量没有给出，无法求出向心力，故本题选 C.答案 C9为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量 M.已知地球半径 R6.4106 m，地球质量 m6.01024 kg，日地中心距离 r1.51011 m，地球表面处的重力加速度 g10 m/s2,1 年约为 3.2107 s，但引力常量 G 未知试估算目前太阳的质量 M.(结果保留 2 位有效数字)解析 设 T 为地球绕太阳运动的周期，则由太阳对地球的引力提供地球围绕太阳做圆周运动的向心力得GMmr2 mr42T2
29、设在地球表面附近有质量为 m物体，得GmmR2 mg联 立 解 得M m 2T2 r3R2g 6.0102423.143.210721.5101136.4106210 kg1.91030 kg.答案 1.91030 kg10.太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统它们运行的原理可以理解为：质量为 M 的恒星和质量为 m 的行星(Mm)，在它们之间的万有引力作用下都有规则地运动着如图所示，我们可认为行星在以某一定点 C 为中心、半径为 a 的圆周上做匀速圆周运动(图中没有表示出恒星)设引力常量为 G，恒星和行星的大小可忽略不计(1)求恒星与点 C 间的距离(2)试在图中粗略画出恒星运动的轨
30、道和位置(3)计算恒星的运行速率 v.解析(1)恒星和行星做圆周运动的角速度、向心力的大小相同，则 m2aM2RM，可得 RMmMa.(2)恒星运动的轨道和位置大致如图(3)对恒星 M 有GMmaRM2M v2RM解得 vmMmGMa.答案(1)mMa(2)见解析(3)mMmGMa强力纠错112018 年 2 月，我国 500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J03180253”，其自转周期 T5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为 6.671011 Nm2/kg2.以周期 T 稳定自转的星体的密度最小值约为()A5109 kg/m3B51012 kg/m3C5
31、1015 kg/m3D51018 kg/m3解析 脉冲星自转，边缘物体 m 恰对星体无压力时万有引力提供向心力，则有 GMmR2 mr42T2，又知 M43R3整理得密度 3GT233.146.6710115.191032 kg/m3 5.21015 kg/m3.答案 C12为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量已知地球半径为 R，地球的质量为 m，太阳与地球中心间距为 r，地球表面的重力加速度为 g，地球绕太阳公转的周期为 T.则太阳的质量为()A.42r3T2R2gB T2R2g42mr3C.42mgr2r3T2D42mr3T2R2g解析 由GmmR2mg 可得 GmgR2，假设地球绕太阳做匀速圆周运动，则由万有引力和向心力公式可得 GMmr2 m2T2r，则M42r3GT2 4m2r3gR2T2，选项 A、B、C 错误，D 正确答案 D