1、课时规范练32数列的应用数学归纳法基础巩固组1.用数学归纳法证明2n2n+1,n的第一个取值应是()A.1B.2C.3D.42.用数学归纳法证明:首项是a1,公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn=na1+n(n-1)2d时,假设当n=k时,公式成立,则Sk=()A.a1+(k-1)dB.k(a1+ak)2C.ka1+k(k-1)2dD.(k+1)a1+k(k+1)2d3.某小镇在今年年底统计有人口20万,预计人口年平均增长率为1%,那么五年后这个小镇的人口数为()A.20(1.01)5万B.20(1.01)4万C.201.015-11.01-1万D.201.014-11.01-1万4.对于不
2、等式n2+nn+1(nN+),某同学用数学归纳法证明的过程如下:(1)当n=1时,12+11+1,不等式成立.(2)假设当n=k(kN+)时,不等式成立,即k2+kk+1,则当n=k+1时,(k+1)2+(k+1)=k2+3k+24时,f(n)=(用n表示).10.某大学毕业生为自主创业于2019年8月初向银行贷款240 000元,与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款,从2019年9月初开始,每个月月初还一次款,贷款月利率为0.5%,现因经营状况良好准备向银行申请提前还款计划于2024年8月初将剩余贷款全部一次还清,则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少()(注
3、:“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还,每一期所还款金额由两部分组成,一部分为每期本金,即贷款本金除以还款期数,另一部分是利息,即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率;1年按12个月计算)A.18 000元B.18 300元C.28 300元D.36 300元11.用数学归纳法证明:1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n.12.一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用,从孩子一周岁生日开始,每年到银行储蓄a元一年定期,若年利率为r保持不变,且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期,当孩子18岁生日时不再存入,将所有存款(含利息)全部取回,
4、则取回的钱的总数为多少.13.已知nN*,Sn=(n+1)(n+2)(n+n),Tn=2n13(2n-1).(1)求S1,S2,S3,T1,T2,T3;(2)猜想Sn与Tn的关系,并用数学归纳法证明.14.已知某中学食堂每天供应3 000名学生用餐,为了改善学生伙食,学校每星期一有A,B两种菜可供大家免费选择(每人都会选而且只能选一种菜).调查资料表明,凡是在这星期一选A种菜的,下星期一会有20%改选B种菜;而选B种菜的,下星期一会有40%改选A种菜.用an,bn分别表示在第n个星期一选A种菜的人数和选B种菜的人数,如果a1=2 000.(1)请用an,bn表示an+1与bn+1;(2)证明:
5、数列an-2 000是常数列.创新应用组15.设数列an的前n项和为Sn,且(Sn-1)2=anSn(nN*),设bn=(-1)n+1(n+1)2anan+1(nN*),数列bn的前n项和为Tn.(1)求S1、S2、S3的值;(2)利用“归纳猜想证明”求出Sn的通项公式;(3)求数列Tn的通项公式.16.某学校实验室有浓度为2 g/mL和0.2 g/mL的两种K溶液.在使用之前需要重新配制溶液,具体操作方法为取浓度为2 g/mL和0.2 g/mL的两种K溶液各300 mL分别装入两个容积都为500 mL的锥形瓶A,B中,先从瓶A中取出100 mL溶液放入B瓶中,充分混合后,再从B瓶中取出100
6、 mL溶液放入A瓶中,再充分混合.以上两次混合过程完成后算完成一次操作.设在完成第n次操作后,A瓶中溶液浓度为an g/mL,B瓶中溶液浓度为bn g/mL.(参考数据:lg 20.301,lg 30.477)(1)请计算a1,b1,并判定数列an-bn是否为等比数列?若是,求出其通项公式;若不是,请说明理由;(2)若要使得A,B两个瓶中的溶液浓度之差小于0.01 g/mL,则至少要经过几次?参考答案课时规范练32数列的应用数学归纳法1.Cn=1时,21=1,21+1=3,2n2n+1不成立;n=2时,22=4,22+1=5,2n2n+1不成立;n=3时,23=8,23+1=7,2n2n+1成
7、立.n的第一个取值应是3.2.C假设当n=k时,公式成立,只需把公式中的n换成k即可,即Sk=ka1+k(k-1)2d.3.A某小镇在今年年底统计有人口20万,预计人口年平均增长率为1%,那么1年后这个小镇的人口数为20(1+1%),2年后这个小镇的人口数为20(1+1%)2,3年后这个小镇的人口数为20(1+1%)3,4年后这个小镇的人口数为20(1+1%)4,5年后这个小镇的人口数为20(1+1%)5=20(1.01)5.4.D在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,不是数学归纳法.5.4 039设每个30分钟进去的人数构成数列an,则a1=2=2-0,a2=4-1,a3=8-2,a4=1
8、6-3,a5=32-4,an=2n-(n-1).设数列an的前n项和为Sn,依题意,只需求S11=(2-0)+(22-1)+(23-2)+(211-10)=(2+22+23+211)-(1+2+10)=2(1-211)1-2-11102=212-2-55=212-57=4039.6.74设B型号健身器材这6个月投放量为bn,公比为q,则bn是以b1=64为首项,q=32的等比数列,q1,其前6项和为S6=641-(32)61-32=1330,5a+300+13302000,解得a74,故a的最小值为74.7.证明(1)当n=1时,左边=1,右边=1,不等式成立.(2)假设当n=k,kN*时,不
9、等式成立,即有1+12+13+14+12k-1k,则当n=k+1时,左边=1+12+13+14+12k-1+12k+12k+1+12k+1-1k+12k+12k+1+12k+1-1,又12k+12k+1+12k+1-112k2k=1,即1+12+13+14+12k-1+12k+12k+1+12k+1-1k+1,即当n=k+1时,不等式也成立.综上可得,对于任意nN*,1+12+13+14+12n-1n成立.8.证明(1)当n=1时,x1=5=31+2,y1=1-231=-5,满足条件,命题成立.(2)假设n=k时,命题成立,即xk=3k+2,yk=1-23k成立.当n=k+1时,由2xk+1+
10、3yk=7,有xk+1=12(7-3yk)=7-3(1-23k)2=4+23k+12=2+3k+1,由6xk+yk+1=13,有yk+1=13-6xk=13-6(3k+2)=1-23k+1.所以n=k+1时命题也成立.综上(1)和(2)可知,对一切nN*,命题xn=3n+2,yn=1-23n(nN*)成立.9.512(n+1)(n-2)由题意知f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,可以归纳出每增加一条直线,交点增加的个数为原有直线的条数.所以f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,猜测得出f(n)-f(n-1)=n-1(n4).有f(n)-f(3)=3+4+(n-1),所以f(n)
11、=12(n+1)(n-2).n=3时,也满足此式.10.B由题意可知,该大学毕业生两种还款方式所还的本金最终都是240000元,两种还款方式的本金没有差额.该大学毕业生决定2024年8月初将剩余贷款全部一次还清,从2019年9月初第一次还款到2024年8月初这5整年即60个月两种还款方式所还的利息也是一样的.按原约定所有还款数额-按现计划的所有还款数额=原约定还款方式从2024年9月起到最后还完这整60个月所还的利息.每月应还本金:240000120=2000(元),2024年8月还完后本金还剩240000-200060=120000(元).2024年9月应还利息为:1200000.5%,20
12、24年10月应还利息为:(120000-2000)0.5%,2024年11月应还利息为:(120000-20002)0.5%,最后一次应还利息为:(120000-200059)0.5%.后60个月所还的利息为:1200000.5%+(120000-2000)0.5%+(120000-20002)0.5%+(120000-200059)0.5%=0.5%120000+(120000-2000)+(120000-20002)+(120000-200059)=0.5%12000060-2000(1+2+59)=18300(元).11.证明(1)当n=1时,左边=1-12=12,右边=12,等式成立;
13、(2)假设当n=k(kN*)时等式成立,即1-12+13-14+12k-1-12k=1k+1+1k+2+12k,当n=k+1时,1-12+13-14+12k-1-12k+12(k+1)-1-12(k+1)=1k+1+1k+2+12k+12k+1-12k+2=1k+2+12k+12k+1+1k+1-12k+2=1k+2+1k+3+12k+1+12k+2=1(k+1)+1+1(k+1)+2+12(k+1)-1+12(k+1),根据(1)和(2),可知1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n成立,原等式得证.12.解根据题意,当孩子18岁生日时,孩子在一周岁生日时存入的a
14、元产生的本利合计为a(1+r)17,同理,孩子在2周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1+r)16,孩子在3周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1+r)15,孩子在17周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1+r),可以看成是以a(1+r)为首项,(1+r)为公比的等比数列的前17项的和,此时将存款(含利息)全部取回,则取回的钱的总数S=a(1+r)17+a(1+r)16+a(1+r)=a(1+r)(1+r)17-11+r-1=ar(1+r)18-(1+r).13.解(1)S1=T1=2,S2=T2=12,S3=T3=120;(2)猜想:Sn=Tn(nN*).证明:当n=1时,S1=
15、T1;假设当n=k(k1且kN*)时,Sk=Tk,即(k+1)(k+2)(k+k)=2k13(2k-1),则当n=k+1时,Sk+1=(k+1+1)(k+1+2)(k+1+k-1)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)(2k)(2k+1)(2k+2)=2k13(2k-1)k+1(2k+1)(2k+2)=2k+113(2k-1)(2k+1)=Tk+1.即n=k+1时也成立,由和可知nN*,Sn=Tn成立.14.(1)解由题意知:an+1=45an+25bn,bn+1=15an+35bn.(2)证明an+1=45an+25bn,且an+bn=3000,an+1=45an+25(30
16、00-an),an+1=25an+1200,an+1-2000=25(an-2000),又a1-2000=0,数列an-2000是常数列.15.解(1)由(Sn-1)2=anSn,令n=1,则(S1-1)2=S12,得S1=12,当n2时,由an=Sn-Sn-1,得(Sn-1)2=(Sn-Sn-1)Sn,得Sn=12-Sn-1,令n=2,得S2=23,令n=3,得S3=34,即S1=12,S2=23,S3=34.(2)由(1)知S1=12,S2=23,S3=34,猜想Sn=nn+1,下面用数学归纳法证明:当n=1时,由猜想知显然成立;假设n=k猜想成立,即Sk=kk+1,则当n=k+1时,由(
17、1)有Sk+1=12-Sk=12-kk+1=k+1k+2=k+1(k+1)+1,即当n=k+1时,猜想Sn=nn+1也成立.综合和可知,猜想Sn=nn+1成立,即Sn=nn+1.(3)由(2)知a1=12,当n2时,an=Sn-Sn-1=nn+1-n-1n=1n(n+1),综合知an=1n(n+1),又bn=(-1)n+1(n+1)2anan+1,则bn=(-1)n+1(n+1)21n(n+1)1(n+1)(n+2)=(-1)n+1n(n+2)=(-1)n+121n-1n+2.当n为偶数时,Tn=121-13-12-14+13-15-14-16+1n-1-1n+1-1n-1n+2=121-1n
18、+1-12+1n+2=1212+-1(n+1)(n+2);当n为奇数时,Tn=Tn-1+bn=1212+-1n(n+1)+121n-1n+2=1212+1(n+1)(n+2).综上可得Tn=1212+(-1)n+1(n+1)(n+2).16.解(1)由题意,得b1=0.2300+2100300+100=0.65(g/mL),a1=0.65100+2200200+100=1.55(g/mL).当n2时,bn=1400(300bn-1+100an-1)=14(3bn-1+an-1),an=1300(200an-1+100bn)=14(3an-1+bn-1),an-bn=12(an-1-bn-1),等比数列an-bn的公比为12,其首项a1-b1=1.55-0.65=0.9,an-bn=0.912n-1.(2)由题意可知,问题转化为解不等式0.912n-11+1+2lg3lg27.49,至少要操作8次才能达到要求.
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