1、课时规范练13数学建模函数模型及其应用基础巩固组1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 kmB.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80 km/h的速度行驶1小时,消耗10 L汽油D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油2.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0x240,xN*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)
2、的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台3.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套房月租金应定为()A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元4.一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间t内的路程为s
3、=12t2米,那么,此人()A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车,但期间最近距离为14米D.不能追上汽车,但期间最近距离为7米5.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正数).公司决定从原有员工中分流x(0x100,xN*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了(1.2x)%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是()A.15B.16C.17D.186.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少13,至
4、少应过滤次才能达到市场要求.(已知lg 20.301 0,lg 30.477 1)7.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为y=ae-bt cm3,经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.8.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:g)与时间t(单位:h)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t);(2)据进一步测定:当每毫升血液中含药量不少于0.25 g时,治疗有效,求服药
5、一次后治疗有效的时间.综合提升组9.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0a1).(1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)=4,f(2)=6,求出所选函数f(x)的解析式(注:函数定义域是0,5,其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,以此类推);(3)在(2)的条件下预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.创新应用组13.声强级Y(单位:分贝)由公式Y=10lgI10-12给出,其中I为声强(单位:W/m2).(1)平常人交谈时的声强约为10-6 W/m2,求其声强级.(2)一般常人能听到的最低声强级是
6、0分贝,求能听到的最低声强为多少?(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y50分贝,已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为510-7 W/m2,问这两位同学是否会影响其他同学休息?参考答案课时规范练13数学建模函数模型及其应用1.D从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40km/h时的燃油效率大于5km/L,故乙车消耗1L汽油的行驶路程可大于5km,所以选项A错误;由图可知以相同速度行驶相同路程甲车消耗汽油最少,所以选项B错误;甲车以80km/h的速度行驶时的燃油效率为10km/L,故行驶1小时的路程为80km,消耗8L汽油,所以选项C错误;当最高限速为80km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃
7、油效率,故用丙车比用乙车更省油,所以选项D正确.2.C设利润为f(x)万元,则f(x)=25x-(3000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3000(0x240,xN*).令f(x)0,得x150,故生产者不亏本时的最低产量是150台.故选C.3.B由题意,设利润为y元,租金定为(3000+50x)元(0x70,xN),则y=(3000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)5058+x+70-x22=204800,当且仅当58+x=70-x,即x=6时,等号成立,故每月租金定为3000+300=3300(元)时,公司获
8、得最大利润,故选B.4.D已知s=12t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=12t2-6t+25=12(t-6)2+7.当t=6时,d取得最小值7.所以不能追上汽车,但期间最近距离为7米,故选D.5.B由题意,分流前每年创造的产值为100t万元,分流x人后,每年创造的产值为(100-x)1+(1.2x)%t,则0x100,xN*,(100-x)1+(1.2x)%t100t,解得01.当t=1时,由y=4,得k=4,由121-a=4,得a=3.则y=4t,0t1,(12)t-3,t1.(2)由y0.25,得0t1,4t0.25或t1,(12)t-30.25,解得116t5.因此服药一次后治疗
9、有效的时间为5-116=7916(h).9.B设AD的长为xm,则CD的长为(16-x)m,则矩形ABCD的面积为x(16-x)m2.因为要将点P围在矩形ABCD内,所以ax12.当0a8时,当且仅当x=8时,u=64;当8a2000,可得lg1.3+nlg1.12lg2,所以n0.050.19,得n3.8,所以第4年,即2022年全年投入的科研经费开始超过2000万元,故选C.11.y=2t2,0t1,2,1t2,2-12(2t-4)2,2t32如题图,当0t1时,重叠部分面积y=122t2t=2t2;当1t2时,重叠部分为直角三角形ABC,重叠部分面积y=1222=2(cm2);当2t3时,重叠部分为梯形,重叠部分面积y=SABC-12(2t-4)2=2-12(2t-4)2=-2t2+8t-6.综上,y=2t2,0t1,2,1t2,-2t2+8t-6,21,所以q=3,所以f(x)=x3-6x2+9x+4(0x5).(3)因为f(x)=x3-6x2+9x+4(0x5),所以f(x)=3x2-12x+9,令f(x)0,得1x50,故这两位同学会影响其他同学休息.
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