1、一元二次方程根的分布(学生探讨、教师纠错)例1 求实数m的范围，使关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根，且都比1大；(3)有两个实根、，且满足014；(3) 有两个实根，且都在1，1内； （若是（1，1）呢？）(4)至少有一个正根。选题分析： 第（1）题由学生思考并回答。灵活运用初中所学知识，可以解决此问题。设x1 x2是方程的两实根，则 即 。但此题又存在一种更具特色的解法。设f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6,则这是一条开口向上的抛物线，由题意，抛物线与直线x=2的交点在x轴的下方，于是f(2)0。即22 +2(m
2、-1)2+2m+60。第二种方法比起第一种方法，在思维上是一种飞跃，它是将抛物线的有关知识运用到一元二次方程上来，需要很好地掌握两方面的知识，学生初次接触这种方法，部分学生在理解上会产生一定的困难。作为教师要注意到这一点，事先有足够的准备，要作重点讲解。第（2）、（3）、（4）题都是在第（1）题的基础上，难度逐个递增的小题，这三个小题仅用初中所学知识是不够的，必须把的相应问题转化为二次函数问题来解决。也即二次函数的图象与x轴的交点的位置的分布。学生在解决这类问题时，容易出现的错误是思考不周，少考虑了一些必须考虑的因素，特别有区间时，区间的端点常常成为盲点，从而使得到的条件组的条件不足。这是教学
3、时特别要注意的。 关于教学方法，我认为用师生共同讨论的方法较好。如第（3）题，在令f(x)=x2+2(m-1)x+2x+6之后，让学生想想，图该怎样画？由这张图，你能得到怎样的条件组？与已知条件等价吗？这三个小题都有一定的难度，尤其是第4小题，更加困难一些，因此一个学生的回答可能会有缺陷，需要有其他学生补充、纠正，必要时教师应适时引导。本节课给出的第二个例题是：例题2 在下列条件下，分别求出m的取值范围（）方程x2-mx+4=0在-1，1 有解：（）函数f(x)=x2-3x+4-m的图象与横轴 x在-1，1 上有交点。设计例题2，是希望能让学生见识一下其它情形的一元二次方程的根的分布，拓展视野
4、；同时也体会一下分类讨论思想在这类问题中是如何运用的；例题2也是在例题1的基础上的再提高。这个例题的主要解答过程也是由学生回答。三、教学后的反思这节课按照设想完成了。效果如何呢？我布置了如下的几道作业题：.关于X的方程2kx2-2x-3k-2=0的两个实根一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围。.已知关于x的方程kx2+1/2kx+k-2=0有两个实根，其中一根在(0，1)之间，另一根在(-1，0)之间，求实数k的取值范围。.关于x的方程2x2-3x-3+2m=0的两根均在-1，1之间，求m的范围。.集合A=（x,y）|y=x2+mx+2,B=(x,y)|x-y+1=0且0x2，若AB，
5、求实数m的取值范围。思考题：.关于实系数的一元二次方程x2+ax+bx=0的两实根，证明（）如果|2，|2，那么2|a|4+b且|b|4;（）如果2|a|b+4且|b|4，那么|2,|2. 题1和题2和例1中第（1）、（3）题相似，差不多都做对了。第3题与两道例题略有差别，约三分之二的学生做对。第4题需要一定的灵活性才能解决，约三分之一的学生做对。思考题是一道高考题，题目难度大，是给基础扎实，学有余力的学生做的。个别学生能完成。从整个情况看，作业做得不错，基本上实现了教学目的。我认为，在生源比较好的学校，按照上述要求上课，学生是能够接受的。一元二次方程根的分布例题剖析例1、令 x2+2(m-1
6、)x+2m+6，其对称轴方程为x=1-m，=4（m-5）(m+1)（1）（2）（3） （3）误解： 正解：(4)分类讨论：一正一负：2m+60，x1x20(亦可按上法处理)例2、（1）分离参数法： 分类讨论：有一解：f(1)0或f(1)0；有两解：通解，不可能（简解：=m2-160时，|m|4,|1）； 关于两解：巧解：由x1x2=410知，两根同号，但不可能都在1，0或0，1内，故这种情况不可能。 （体会：反思通解，引出简解，创造巧解） （2）分离参数法：， 或即这两道例题纵向比较：例1是对称轴“动”且不过定点，而例2（1）是对称轴“动”但过定点，（2）是对称轴“静”；除以上这些情况外还有开口方向不定、定义域变化等情形。“三个二次”紧扣开口方向、对称轴、判别式三要素。另外还有端点值的符号。所找的不等式组应与已知条件保持等价性。
