1、微专题24函数的公切线问题一、单项选择题12023湖南长沙模拟若斜率为1的直线l与曲线yln (xa)和圆x2y2都相切，则实数a的值为()A1或2B0或2C0D22已知函数f(x)，g(x)alnx，aR，若曲线yf(x)与yg(x)相交，且在交点处有相同的切线，则a的值为()ABe2CeD2e3若直线ykxb是曲线f(x)lnx2的切线，也是曲线g(x)ln (x1)的切线，则kb()A3ln2B3ln2ClnD1ln242023河北沧州模拟已知直线ykxb与曲线yex2和曲线yln (e2x)均相切，则实数k的解的个数为()A0B1C2D无数二、多项选择题5若二次函数f(x)2x23的图
2、象与曲线C：g(x)aex3(a0)存在公切线，则实数a的可能取值为()ABCD答题区题号12345答案三、填空题62023海南海口模拟已知函数f(x)x3lnx的图象在点A(1，f(1)处的切线为l，若l与函数g(x)的图象也相切，切点为B(2，m)，则g(2)g(2)_7与曲线yex和y都相切的直线方程为_82023安徽定远模拟已知定义在(0，)上的函数f(x)x2m，g(x)6lnx4x，设曲线yf(x)与yg(x)在公共点处的切线相同，则实数m_92023福建厦门模拟已知函数f(x)mxlnx，g(x)x2mx，若曲线yf(x)与曲线yg(x)存在公切线，则实数m的最大值为_10202
3、3湖南长沙模拟若曲线C1：f(x)x2a和曲线C2：g(x)2lnx恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为_四、解答题11已知函数f(x)x21，函数g(x)alnx，其中a2.如果曲线yf(x)与yg(x)在x1处具有公共的切线，求a的值及切线方程解：12已知函数f(x)1eln (ax)，g(x)(a0).(1)求函数F(x)f(x)g(x)在(0，)上的极值；(2)当a1时，若直线l既是曲线yf(x)又是曲线yg(x)的切线，试判断l的条数解：微专题24函数的公切线问题1解析：设直线l与曲线yln (xa)的切点为P(x0，y0)，由yln (xa)，则1，则x01a，y00，即切点为
4、P(1a，0)，所以直线l为yx1a，又直线l与圆x2y2也相切，则有，解得a2或a0.故选B.答案：B2解析：f(x)，g(x)alnx，f(x)，g(x)(x0)，由已知得alnx，解得a.故选A.答案：A3解析：直线ykxb是曲线ylnx2的切线，也是曲线yln (x1)的切线，则两个切点都在直线ykxb上，设两个切点分别为(x1，kx1b)，(x2，kx2b), 则两个曲线的导数分别为y，y，由导数的几何意义可知k，则x1x21，且切点在各自曲线上，所以则将x1x21代入可得k(x21)bln (x21)2，可得k2，由k可得x1，x2，代入中可知1bln2，所以b1ln1ln2，所以
5、kb1ln2.故选D.答案：D4解析：根据题意可知，直线ykxb与曲线yex2和曲线yln (e2x)都相切，所以对于曲线yex2，则yexk，所以xlnk，所以切点A(lnk，k2)，对于曲线yln (e2x)，则yk(x0)，所以x，切点B(，ln2)(k0)，易知A，B不重合，因为公切线过A，B两点，所以k，进而可得klnklnkk10，令g(k)klnklnkk1(k0)，则g(k)lnk(k0)，令(k)g(k)lnk(k0)，则(k)0(k0)所以g(k)在(0，)单调递增，因为g(1)10，所以存在k0使得lnk00，即lnk0，所以当0kk0时，g(k)k0时，g(k)0，所以
6、g(k)在(0，k0)上单调递减，在(k0，)上单调递增，k0(1，e)，故g(k)ming(k0)k0lnk0lnk0k01.又因为lnk0，所以g(k)mink0k01k00，因为k0(1，e)，g(k0)g(e2)0，因为k0(1，e)，g(k0)g()0，则x10，2x2x122，即x21，a，x21，令h(x)，x1，可得h(x)，由h(x)0，得1x2；由h(x)2；所以h(x)在(1，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，所以h(x)maxh(2)，所以实数a的取值范围.因为e2.718，1.5，1.1，即1.35，则，则AC正确故选AC.答案：AC6解析：由题意得f(x)3x2
7、，则f(1)1，f(1)4，所以切线l的方程为y14(x1)，即y4x3.所以m4235，则g(2)5，g(2)4，g(2)g(2)9.答案：97解析：设直线与曲线yex相切于点(x1，ex1)，因为yex，所以该直线的方程为yex1ex1(xx1)，即yex1xex1(1x1)，设直线与曲线y相切于点(x2，)，因为y，所以该直线的方程为y(xx2)，即yx，所以，解得x10，x22，所以该直线的方程为yx1.答案：yx18解析：依题意设曲线yf(x)与yg(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同f(x)x2m，g(x)6lnx4x，f(x)2x，g(x)4，即，即m6lnx02x03，x0
8、0，x01，m5.答案：59解析：f(x)m，g(x)2xm，假设两曲线在同一点(x0，y0)处相切，则，可得1lnx0x，即xlnx010，因为函数yx2lnx1单调递增，且x1时y0，所以x01，则m，此时两曲线在(1，)处相切，根据曲线的变化趋势，若m继续增大，则两曲线相交于两点，不存在公切线，所以m的最大值为.答案：10解析：由题意得f(x)2x，g(x)，(x0)，设与曲线f(x)x2a相切的切点为(x1，xa)，与曲线g(x)2lnx相切的切点为(x2，2lnx2)，则切线方程为y2x1(xx1)xa，即y2x1xxa，y(xx2)2lnx2，即yx2lnx22，由于两切线为同一直
9、线，所以，得ax2lnx12(x10).令(x)x22lnx2(x0)，则(x)2x，当0x1时，(x)1时，(x)0，(x)在(1，)上单调递增即在x1处(x)取得极小值，也为最小值，且为(1)1.又两曲线恰好存在两条公切线，即a(x)有两解，结合当x0时，x2趋近于0，lnx趋于负无穷大，故(x)趋近于正无穷大，当x时，x2趋近于正无穷大，且增加幅度远大于lnx的增加幅度，故(x)趋近于正无穷大，由此结合图象可得a的范围是(1，).答案：(1，)11解析：因为函数f(x)x21，函数g(x)alnx，则f(x)2x，g(x)，因为曲线yf(x)与yg(x)在x1处具有公共的切线，则，即，故
10、a2，所以f(1)2，故所求切线方程为y2(x1)，即2xy20.12解析：(1)由题知F(x)f(x)g(x)1eln (ax)，所以F(x)a，令F(x)0，解得x.故当x变化时，F(x)，F(x)的变化情况如下表：xF(x)0F(x)单调递增极大值单调递减所以当x时，F(x)取得极大值，F12elna，无极小值(2)f(x)1elnx，f(x)，g(x)，g(x)，所以曲线yf(x)在点(t，1elnt)处的切线方程为y(1elnt)(xt)，即yxelnte1.同理可得曲线在点处的切线方程为y(xb)，即yx.若曲线yf(x)与曲线yg(x)有公切线，则由(i)得teb2，代入(ii)
11、得2eln|b|10，所以问题转化为判断关于b的方程2eln|b|10在(，0)(0，)的根的个数因b0，当b0时，令h(x)2elnx1(x0)，即h(x)，令h(x)0，得x.所以当x时，h(x)0，h(x)单调递增；所以h(x)minh10，h(1)10，所以hh0，h(1)h0)在(0，)上有两个零点，即2elnb10在(0，)上有两个不相等的正实数根；当b0时，令k(x)2eln (x)1，则k(x)，显然x(，0)时，k(x)0，k(1)30，所以k(x)2eln (x)1在(，0)上有唯一一个零点，即方程2eln (b)10在(，0)上有唯一一个负实数根所以曲线yf(x)与曲线yg(x)的公切线l有3条
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