1、微专题16立体几何中的最值、范围问题一、单项选择题12023黑龙江哈尔滨模拟将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为()ABCD22023广东韶关模拟已知四棱台ABCDA1B1C1D1的下底面为矩形，AB2A1B1，高为3，且该棱台的体积为63，则该棱台上底面A1B1C1D1的周长的最小值是()A15B14C13D123.2023河北衡水模拟如图，平面ABCD平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AB4，AF1，若G是线段EF上的动点，则三棱锥CABG的外接球表面积的最小值是()A16B20C32D364将一个体积为36的铁球切割
2、成正三棱锥的机床零件，则该零件体积的最大值为()A16B16C8D852023广东广州模拟已知圆台O1O的上、下底面半径分别为r，R，高为h，平面经过圆台O1O的两条母线，设截此圆台所得的截面面积为S，则()A当hRr时，S的最大值为(R2r)hB当hRr时，S的最大值为C当hRr时，S的最大值为(R2r)hD当h0得：0h4，此时函数V单调递增，由V0得：4h6，此时函数V单调递减，当h4时，V取得最大值，且最大值为(3431842)8.故选D.答案：D5.解析：如图，将圆台O1O补成圆锥PO.设圆台O1O的母线长为l，则l2h2(Rr)2，等腰梯形ABCD为过两母线的截面设PCx，APB，
3、由，得x，则SSPABSPCD(xl)2x2sinl2sin，当hRr时，90，当sin最大，即截面为轴截面时面积最大，则S的最大值为(2R2r)h(Rr)h.当h90，当sin1时，截面面积最大，则S的最大值为l2.故选D.答案：D6.解析：设该球的半径为R，则由题意知R336，解得R3.如图，连接AC，BD，相交于点E，连接PE并延长，交球于点Q，连接QD，使PQ2R6.易知PDQD，DEPQ，所以由射影定理，得PD2PEPQ，所以PE，所以DE，所以DCDE，所以正四棱锥的体积V()2(l4)，则V(4).令V0，得3l2，令V0，得2l3，所以V(l4)在3，2)上单调递增，在(2，3
4、 上单调递减，所以VmaxV(2).又因为V(3)，V(3)，所以Vmin，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选C.答案：C7解析：如图，FP所在的平面与正方体表面的交线为如图所示正六边形，故A错误，B正确；以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，其中，E，G分别是BC，CD的中点，则直线GE的方程为所以不妨设线段GE上的点P(x，x1，0)(0x1)，点F(2，1，2)，则|FP|，所以当x0时，|FP|max2；当x1时，|FP|min.故C正确，D错误故选BC.答案：BC8解析：对于A，取OO的中点M，易得MAMBMCMP，则M为三棱锥PABC外接球
5、的球心，在ABC中，由正弦定理得2OA2，所以OA，又OMOO1，所以AM2，所以三棱锥PABC外接球的表面积为42216.故A正确；对于B，过P作PQ平面ABC，垂足为Q，连接AQ，则PQBC，又因为PABC，PAPQP，所以BC平面PAQ，所以BCAQ，只有当AQ经过BC的中点时，才有ABAC，故B不正确；对于C，在ABC中，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos60AB2AC2ABAC(ABAC)2ABAC，所以9(ABAC)2ABACABAC，即ABAC9，当且仅当ABAC时，等号成立，所以SABCABACsin609，所以三棱锥PABC体积的最大值为2.故C正确；对于D，设点
6、A到平面PBC距离为h，则VAPBChSPBCh23h，因为VAPBCVPABC，所以h，即点A到平面PBC距离的最大值为，故D正确故选ACD.答案：ACD9解析：由题可知当两球外切且与正方体包装盒对角的三个面相切时盒子棱长最小，过正方体对角作截面如图，设此时盒子棱长为acm，则ADacm，ABacm，ACacm，O1EO2F3cm，O1O26cm，ADa33662(cm)，即盒子棱长最小值为62cm.答案：6210解析：依题意，得球的半径R2，设圆锥的底面半径为r(r2)，圆锥的高为h，则母线长为，如图是圆锥的轴截面，则轴截面的面积S2rh(2r2)R，即rh2r2，平方整理得h，则圆锥的体
7、积Vr2h，令tr24，则V(t8)(82)，当且仅当t4时取得最小值，此时r2.或求导：V，所以V，当r280即r2时V0，V(r)单调递增，当r280即0r2时V0，V(r)单调递减，所以当r2时V最小，且最小值为.答案：11解析：(1)证明：在直三棱柱A1B1C1ABC中，侧面AA1B1B为正方形，所以ABA1B1，A1B1B1B，而C1FA1B1，B1BC1FF，B1B，C1F平面BB1C1C，所以A1B1平面BB1C1C，所以AB平面BB1C1C，又BC平面BB1C1C，所以ABBC，以B为坐标原点，AB，BC，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示则A
8、1(2，0，2)，C1(0，2，2)，D(1，1，0)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，B1(0，0，2)，故(1，0，0)，(0，2，1).设(01)，则(1，0，0)，故G(，1，0)，所以(2，1，2)，故(0，2，1)(2，1，2)0220，所以，即C1FA1G.(2)由(1)可知，(2，2，0)，(2，1，2)，(2，0，0)，设平面C1A1G的法向量为m(x，y，z)，则，即，令x2，则y2，z1，则平面GA1C1的一个法向量为m(2，2，1)，设平面A1GB1的法向量为n(a，b，c)，则，即，则a0，令c1，则b2，则平面GA1B1的一个法向量为n(0，2，1)，设平面GA
9、1C1与平面GA1B1的夹角为(090)，故cos|cosm，n|，令3t，t3，4，则cos，而函数y1在，时单调递增，故时，y1取最小值，所以当，即t4，1时，cos取得最大值为.故平面GA1C1与平面GA1B1夹角的余弦值的最大值为.12解析：(1)证明：如图，连接AE，由题意知AB为O的直径，所以AEBE.因为AD，EF是圆柱的母线，所以ADEF且ADEF，所以四边形AEFD是平行四边形所以AEDF，所以BEDF.因为EF是圆柱的母线，所以EF平面ABE，又因为BE平面ABE，所以EFBE.又因为DFEFF，DF、EF平面DEF，所以BE平面DEF.(2)由(1)知BE是三棱锥BDEF
10、底面DEF上的高，由(1)知EFAE，AEDF，所以EFDF，即底面三角形DEF是直角三角形设DFAEx，BEy，则在RtABE中有：x2y26，所以VBDEFSDEFBE(x)yxy，当且仅当xy时等号成立，即点E，F分别是，的中点时，三棱锥BDEF的体积最大，(另解：等积转化法：VBDEFVDBEFVDBCFVBCDFSCDFBC，易得当F与CD距离最远时取到最大值，此时E、F分别为、中点)下面求二面角BDFE的正弦值：法一由(1)得BE平面DEF，因为DF平面DEF，所以BEDF.又因为EFDF，EFBEE，所以DF平面BEF.因为BF平面BEF，所以BFDF，所以BFE是二面角BDFE的平面角，由(1)知BEF为直角三角形，则BF3.故sinBFE，所以二面角BDFE的正弦值为.法二由(1)知EA，EB，EF两两相互垂直，如图，以点E为原点，EA，EB，EF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Exyz，则B(0，0)，D(，0，)，E(0，0，0)，F(0，0，).由(1)知BE平面DEF，故平面DEF的法向量可取为(0，0).设平面BDF的法向量为n(x，y，z)，由(，0，0)，(0，)，得，即，即，取z1，得n(0，1).设二面角BDFE的平面角为，|cos|cosn，|，所以二面角BDFE的正弦值为.
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