1、四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高二数学6月月考（期中）试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知复数，则 ( )A. B. 1+2iC. D. 【答案】B【解析】【分析】根据共轭复数的定义易得.【详解】解：复数，则.故选：B.【点睛】考查共轭复数的定义，基础题.2. 某同学为了调查支付宝中的75名好友的蚂蚁森林种树情况，对75名好友进行编号，分别为1，2，75，采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知11号，26号，56号，71号好友在样本中，则样本中还有一名好友的编号是（ ）A. 4
2、0B. 41C. 42D. 39【答案】B【解析】【分析】根据系统抽样等距性即可确定结果.【详解】根据系统抽样等距性得：11号，26号，56号，71号以及还有一名好友的编号应该按大小排列后成等差数列，样本中还有一名好友的编号为26号与56号的等差中项，即41号，故选：B【点睛】本题考查系统抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.3. 如图所示，程序框图算法流程图的输出结果是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】模拟程序图框的运行过程，得出当时，不再运行循环体，直接输出S值【详解】模拟程序图框的运行过程，得S=0,n=2,n0在(1,+)上有解.因此结合的单调性求出其在(1,+)上的最
3、值,即可得出结论.【详解】f(x)2ax在(1,+)上存在单调递增区间,只需0在(1,+)上有解即可.由已知得,该函数开口向下,对称轴为,故在(1,+)上递减,所以=2a0,解得a0.故选:D.【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用,难度不大.10. 我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来x2，类似地不难得到（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知求的例子，令，即，解方程即可得到的值.【详解】令
4、，即，即，解得(舍)，故故选：C【点睛】本题考查归纳推理，算术和方程，读懂题中整体代换的方法、理解其解答过程是关键，属于基础题.11. 甲、乙两人约定某天晚上6：007：00之间在某处会面，并约定甲早到应等乙半小时，而乙早到无需等待即可离去，那么两人能会面的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是，写出满足条件的事件是，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果【详解】解：由题意知本题是一个几何概型，设甲到的时间为，乙到的时间为，则试验包含的所有事件是，事件对应的集合表示的面积是，满足条件的事件是，则，则事件
5、对应的集合表示的面积是，根据几何概型概率公式得到；所以甲、乙两人能见面的概率故选：D【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，要解决此问题，一般要通过把试验发生包含的事件所对应的区域求出，根据集合对应的图形面积，用面积的比值得到结果12. 已知函数的导数满足对恒成立，且实数，满足，则下列关系式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令，求导后结合题意可得函数单调递增，进而可得；举出反例可判断A、C；由指数函数的单调性可判断B；令，求导后由函数单调性可判断D；即可得解.【详解】令，则，所以函数单调递增，又，所以，所以，对于A，当，时，此时，故A错误；对于B，由指数函数的单
6、调性可得，故B错误；对于C，当，时，此时，故C错误；对于D，令，则，所以函数单调递增，所以即，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与构造新函数的能力，合理构造新函数是解题关键，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. （为虚数单位）的虚部是_.【答案】【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则可得，再由复数虚部的概念即可得解.【详解】由题意.所以的虚部是.故答案为：.【点睛】本题考查了复数的运算及复数虚部的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.14. 已知，则函数的值域是_.【答案】【解析】【分析】对函数求导后，根据、解集，确定函数
7、的单调区间，进而可得函数的最值，即可得解.【详解】对函数求导得，所以当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；又，所以函数的值域是.故答案为：.【点睛】本题考查了利用导数求函数的值域，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于基础题.15. 228与1995的最大公约数是_；_（填，=）【答案】 (1). 57 (2). 【解析】【分析】根据辗转相除法求228与1995最大公约数，先将两数转化为十进制，即可比较大小.【详解】228与1995的最大公约数是57;故答案为：57，【点睛】本题考查辗转相除法，不同进制数换算，考查基本分析求解能力，属基础题.16. 已知函数，若方程f（x）m=0恰有两个实根
8、，则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】通过求导，得出分段函数各段上的单调性，从而画出图像.若要方程f（x）m=0恰有两个实根，只需y=m与y=f（x）恰有两个交点即可，从而得出的取值范围.【详解】（1）x0时，f（x）=exx1，易知f（0）=0，而f（x）=ex10，所以f（x）在（，0上递减，故f（x）f（0）=0，故f（x）在（，0上递增，且f（x）f（0），当x时，f（x）.（2）x0时，令f（x）0，得0xe；f（x）0得xe；故f（x）在（0，e）上递增，在（e，+）递减，故x0时，；x0时，f（x）；x+时，f（x）0.由题意，若方程f（x）m=0恰有两个实根，只需y
9、=m与y=f（x）恰有两个交点，同一坐标系画出它们的图象如下：如图所示，当直线y=m在图示，位置时，与y=f（x）有两个交点，所以m的范围是：.故答案为：.【点睛】本题考查了方程根的问题转化为函数图像交点问题，以及利用导数求函数单调性.考查了转化思想和数形结合，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18_22题每小题12分17. （1）用秦九韶算法求，当时的值；（2）如图，给岀了一个程序框图，其作用是输入的值，输岀相应的值.写出函数的解析式.并求当输出的结果在区间时，输入的的取值范围，【答案】（1）0；（2），【解析】【分析】（1）由题意转化条件得，再由秦九韶算法
10、逐步计算即可得解；（2）由条件结构程序框图的功能可知，按照、分类讨论即可得输入的的取值范围.【详解】（1）由题意，所以，所以当时，的值为0；（2）由程序框图可知，输出结果在区间，当即时，不合题意；当即时，解得；输入的的取值范围是.【点睛】本题考查了秦九韶算法的应用及条件结构程序框图的应用，考查了分段函数及分类讨论思想的应用，属于中档题.18. 已知函数.（1）求曲线y=f（x）在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（2）求过点作曲线y=f（x）的切线方程.【答案】（1）；（2）y或18x2y35=0.【解析】【分析】（1）函数的导数为=x2，曲线y=f（x）在点处的切线的斜率为k=1，写出切
11、线的方程，分别令x=0，y=0，得到在x，y轴上的截距，再利用三角形面积公式求解.（2）易得A（2，）不在图象上，设切点为（m，n），则切线的斜率为m2，切线的方程为yn=m2（xm），再由求解.【详解】（1）因为函数，所以=x2，所以所以曲线y=f（x）在点处的切线的斜率为k=1，则切线的方程为yx1，即为6x6y1=0，令x=0，可得y；y=0，可得x.则切线与坐标轴围成的三角形的面积为S；（2）由A（2，）和，可得f（2），即A不在f（x）的图象上，设切点为（m，n），则切线的斜率为m2，切线的方程为yn=m2（xm），则，解得或，故切线的方程为y或18x2y35=0.【点睛】本题主要考
12、查导数的几何意义及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19. 为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分），分为6组：，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值；（2）记表示事件“从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于80分”，估计的概率；（3）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有
13、关”?优秀非优秀合计男生40女生50合计100参考公式及数据：，.【答案】（1）；（2）；（3）列联表见解析，没有【解析】【分析】（1）由题意结合各组频率和为1即可得解；（2）由题意求出比赛成绩不低于80分的频率，由样本估计总体即可得解；（3）由题意完成列联表，代入公式求出，与比较后即可得解.【详解】（1）由题意，；（2）由频率分布直方图可得样本中比赛成绩不低于80分的频率为：，可估计的概率为0.35；（3）由频率分布直方图可知抽取的100名学生中，优秀的人数为，列联表如下：优秀非优秀合计男生104050女生252550合计3565100，不能有的把握认为比赛成绩是否优秀与性别有关.【点睛】本
14、题考查了频率分布直方图的应用，考查了独立性检验的应用及运算求解能力，属于基础题.20. 某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关，得到的统计数据如下表：月份12345销量（百台）0.60.81.21.61.8（1）经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量（百件）与月份之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测6月份该商场空调的销售量；（2）若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查.假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：有购买意
15、愿对应的月份789101112频数60801201308030现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率.参考公式与数据：线性回归方程，其中，.【答案】（1）；2.16（百台）；（2）【解析】【分析】（1）由题意计算平均数与回归系数，写出线性回归方程，再利用回归方程计算对应的函数值；（2）利用分层抽样法求得抽取的对应人数，用列举法求得基本事件数，再计算所求的概率值【详解】（1）因为，所以，则，于是关于的回归直线方程为.当时，（百台）（2）现采用分层抽样的方法从购买意
16、愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，则购买意愿为7月份的抽4人记为，购买意愿为12月份的抽2人记为，从这6人中随机抽取3人所有情况为、，共20种，恰好有2人是购买意愿的月份是12月的有、，共4种，故所求概率为.【点睛】本题考查了线性回归方程与列举法求古典概型的概率问题，是中档题21. 已知函数，其中.（1）当时，求函数的极值；（2）当时，若恒成立，实数的取值范围.【答案】（1）极小值为，极大值为；（2）【解析】【分析】（1）由题意求导可得函数的单调区间，由函数极值的概念即可得解；（2）由题意转化条件得恒成立，令，求导后即可得函数的最小值，由恒成立问题的解决方法即可得解.【详解】
17、（1）由题意，则，则120+0极小极大所以函数的极大值，极小值；（2）因为恒成立，所以即恒成立，令，则，所以当时，单调递增；当时，单调递减；所以，所以【点睛】本题考查了导数的应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，关键是对条件的合理转化，属于中档题.22. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，证明.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）分两种情况讨论的范围，求出，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）函数有两个零点分别为，不妨设则，原不等式等价于令，只需证明证，利用导数研究函数的单调性，求出的最大值即可得结论.试题解析：1）当时，所以在上单调递减；当时，得都有，在上单调递减；都有，在上单调递增.综上：当时，在上单调递减，无单调递增区间；当时，在单调递减，在上单调递增.（2）函数有两个零点分别为，不妨设则，要证：只需证：只需证：只需证：只需证：只需证：令，即证设，则，即函数在单调递减则即得
