1、第二节 两条直线的位置关系第九章内容索引0102强基础 增分策略增素能 精准突破课标解读衍生考点核心素养1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.1.两条直线的位置关系2.与距离有关的问题3.对称问题数学运算直观想象强基础 增分策略知识梳理1.两条直线的平行与垂直两条直线的方程位置关系的判定l1:y=k1x+b1l2:y=k2x+b2l1与l2重合k1=k2且b1=b2l1l2l1与l2相交k1k2l1l2当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,l1l2 k1=k2,且b
2、1b2 k1k2=-1 A1B2-A2B1=0 A1A2+B1B2=0 2.两条直线的交点直线l1和l2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组的解.相交方程组有;平行方程组;重合方程组有.唯一解无解无数个解微点拨虽然利用方程组解的情况可以判断两直线的位置关系,但是由于运算量较大,一般较少使用.3.三种距离点点距P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=点线距点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=线线距两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=此公式与两点的先后顺序无关可以转化为点到直线的距离微点拨应用点到直线的距离公式和两平行直线间
3、的距离公式时应注意:(1)将方程化为最简的一般形式;(2)利用两平行直线之间的距离公式时,应使两直线方程中x,y的系数分别对应相等.微思考点P(x1,y1),Q(x2,y2)关于直线y=kx+b(k0)对称,列出P,Q坐标的关系式.常用结论1.两种求直线方程的设法(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B20)垂直的直线可设为Bx-Ay+m=0.(2)与直线Ax+By+C=0(A2+B20)平行的直线可设为Ax+By+n=0.2.六种常见的对称点(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).(3)点
4、(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).(6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).3.三种直线系方程(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B20)平行的直线系方程为Ax+By+m=0(mR,且mC).(2)与直线Ax+By+C=0(A2+B20)垂直的直线系方程为Bx-Ay+n=0(nR).对点演练1.判断下
5、列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1=k2l1l2.()(2)若两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.()2.平行直线3x+4y-9=0和6x+8y+2=0之间的距离是()答案 B解析 因为直线6x+8y+2=0可化为3x+4y+1=0,所以两条平行直线之间的距离为 =2.故选B.3.已知点(a,2)(a0)到直线l:x-y+3=0的距离为 ,则a=.答案 1增素能 精准突破考点一考点二考点三考点一两条直线的位置关系(多考向探究)考向1.判断两直线的位置关系典例突
6、破例1.(2021天津南开中学模拟)已知直线l1:mx-2y+1=0,l2:x-(m-1)y-1=0,则“m=2”是“l1平行于l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 C解析 由直线l1平行于l2得-m(m-1)=1(-2),解得m=2或m=-1.经验证,当m=-1时,直线l1与l2重合,舍去,所以“m=2”是“l1平行于l2”的充要条件.故选C.考点一考点二考点三名师点析解决此类问题的关键是掌握两条直线平行与垂直的充要条件.考点一考点二考点三对点训练1直线l1:ax+y-1=0,l2:(a-1)x-2y+1=0,则“a=2”是“l1l2”的
7、()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B解析 l1l2的充要条件是a(a-1)-2=0,解得a=2或a=-1,所以“a=2”是“l1l2”的充分不必要条件.故选B.考点一考点二考点三考向2.由两直线的位置关系求参数典例突破例2.(2021广东深圳外国语学校月考)已知两条直线l1:(3+t)x+4y=5-3t,l2:2x+(5+t)y=8,l1l2,则t=()A.-1或-7B.-1C.-7答案 C考点一考点二考点三名师点析解决两直线平行与垂直求参数的问题要“前思后想”考点一考点二考点三对点训练2已知直线l1:ax+2y+1=0,直线l2:2x+ay+
8、1=0,若l1l2,则a=()A.0B.2 C.2D.4答案 A考点一考点二考点三考向3.由两直线的位置关系求直线方程典例突破例3.过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,且垂直于直线3x+4y-7=0的直线的方程为.答案 4x-3y+9=0 考点一考点二考点三故所求直线的方程为4x-3y+9=0.(方法3)由题意可设所求直线的方程为(2x+3y+1)+(x-3y+4)=0,即(2+)x+(3-3)y+1+4=0.因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,所以3(2+)+4(3-3)=0,解得=2,所以所求直线的方程为4x-3y+9=0.考点一考点二考点三方法总结求过两直线交点的
9、直线方程的两种方法考点一考点二考点三对点训练3过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点,且平行于直线4x-3y-7=0的直线方程为()A.4x-3y+6=0 B.4x-3y-6=0C.3x-4y+6=0 D.3x-4y-6=0答案 B考点一考点二考点三考点二与距离有关的问题典例突破例4.(1)若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m0)与l2:x+ny-3=0之间的距离是 ,则m+n=()A.0B.1C.-2D.-1(2)已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则实数a的取值范围为.考点一考点二考点三答案(1)A(2)0,10考点一考点二考点三名师点析利用距离公式应
10、注意:(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)两平行线间的距离公式要求两条直线方程中x,y的系数分别相等.考点一考点二考点三对点训练4(1)(2021安徽六安一中月考)若直线x-y-m=0与直线mx+y-4=0平行,则它们之间的距离为()(2)已知直线l过点P(-1,2),且点A(2,3),B(-4,5)到直线l的距离相等,则直线l的方程为.考点一考点二考点三答案(1)C(2)x+3y-5=0或x=-1考点一考点二考点三考点一考点二考点三考点三对称问题(多考向探究)考向1.中心对称问题典例突破例5.过点P(0,1)作直线l,使它被直
11、线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段恰好被点P平分,则直线l的方程为.答案 x+4y-4=0解析 设l1与l的交点为A(a,8-2a).由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,把点B的坐标代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.因为点A(4,0),P(0,1)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0.考点一考点二考点三方法总结两类中心对称问题(1)点关于点对称:点P(x,y)关于M(a,b)的对称点P(x,y)满足(2)直线关于点对称的两种方法考点一考点二考点三对点训练5若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)
12、对称,则直线l2过定点()A.(0,4)B.(0,2)C.(-2,4)D.(4,-2)答案 B解析 直线l1:y=k(x-4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2).又因为直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,所以直线l2恒过定点(0,2).故选B.考点一考点二考点三考向2.点关于直线对称典例突破例6.(2021河南郑州模拟)已知点A(0,4),B(1,0),动点P在直线x=-1上,则|PA|+|PB|的最小值是()A.3B.4C.5D.6答案 C解析 点B关于直线x=-1的对称点C的坐标为(-3,0),则|PB|=|PC|,则|PA|+|PB|的最小值
13、是|AC|=5.故选C.考点一考点二考点三方法总结若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0(A2+B20)对称,可得到点P1关于l对称的点P2的坐标.考点一考点二考点三对点训练6一束光线经过点P(2,3)射在直线l:x+y+1=0上,经反射后过点Q(1,1),则入射光线所在直线的方程为.答案5x-4y+2=0考点一考点二考点三考向3.直线关于直线对称典例突破例7.直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是()A.x-2y+3=0B.x-2y-3=0C.x+2y+1=0 D.x+2y-1=0考点一考点二考点三答案 A解析 设所求直线上任意一点P(x,y),点P关于直线x-y+2=0的对称点为P(x0,y0),因为点P(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.故所求直线方程为x-2y+3=0.故选A.考点一考点二考点三方法总结直线关于直线对称的两种求解方法考点一考点二考点三对点训练7直线ax+y+3a-1=0恒过定点N,则直线2x+3y-6=0关于点N对称的直线方程为.答案 2x+3y+12=0本 课 结 束
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