1、章末整合提升机械能守恒定律 专题一 功和功率的计算1功的计算方法(1)定义法求功：公式 WFlcos.(2)利用功率求功：此方法主要用于在发动机功率保持恒定的条件下，求牵引力做的功求机车发动机的牵引力做功实际上是求变力做功，一般不能用定义法求解，可由功率定义式变形求解，即 WPt.(3)利用动能定理求功：此方法主要用于求变力在短时间内做的功，或在曲线运动中随路径变化的外力的功，或在连续多个物理过程中求外力的功其优点在于将上述情况中外力做功的复杂过程变为在合力作用下物体动能的变化(4)微元法求功当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可看成直
2、线，先求每一小段上的功，再求和即可其结果等于力与物体运动的路程之积(5)用图象法求外力做的功若横坐标表示位移，纵坐标表示力，则可用图线与横坐标围成的面积表示功2功率的计算方法(1)PWt：此式是功率的定义式，适用于任何情况下功率的计算，但常用于求解某段时间内的平均功率(2)PFvcos：当 v 是瞬时速度时，此式计算的是 F 的瞬时功率；当 v 是平均速度时，此式计算的是 F 的平均功率【典例 1】用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比已知铁锤第一次使铁钉进入木板的深度为 d，接着敲第二锤，如果铁锤第二次敲铁钉时对铁钉做的功与第一次相同，那么，第二次使铁钉进入木板
3、的深度为()A(31)dB(21)dC.51d2D.22 d解析 解法一：根据题意可得 W F 1dkd2 d，W F 2dkdkdd2d，联立式解得 d(21)d.故选 B.解法二：用图象法来求解，在 Fl 图象中，图线与位移轴所围的面积表示功对于方向不变、大小随位移变化的力，可作出 Fl图象，求出图线与位移轴所围的面积，就求出了变力所做的功由题意知，木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，则有 Fkl，其中 k 为常数，作出 Fl 图象，如图所示铁锤两次对铁钉做的功相同，则OAB 的面积与梯形 BACD 的面积相等，即12d(kd)12kdk(dd)d解得 d(21)d，故选项 B 正
4、确答案 B用平均值法求变力做功问题时，若变力是时间的线性函数，则不能通过求变力 F 对时间的平均值来计算功若某大小恒定的变力方向始终与运动方向相同或相反，则该力做功的绝对值等于力与物体运动路程的乘积.针对训练 1(多选)质量为 m 的物体静止在光滑水平面上，从 t0 时刻开始受到水平力的作用水平力 F 与时间 t 的关系如图所示，力的方向保持不变，则()A3t0 时刻，物体的速度为15F0t0mB3t0 时刻，水平力 F 的瞬时功率为8F20t0mC在 t0 到 3t0 这段时间内，水平力 F 的平均功率为8F20t03mD在 t0 到 3t0 这段时间内，水平力 F 的平均功率为25F20t
5、06m解析 02t0 时间内，物体的加速度 a1F0m，位移 s112a1(2t0)22F0t20m，2t0 时刻的速度 v1a12t02F0t0m；2t03t0 时间内，物体的加速度 a22F0m，位移 s2v1t012a2t203F0t20m，3t0 时刻的速度 v2v1a2t04F0t0m，所以 3t0 时刻，水平力 F 的瞬时功率 P2F0v28F20t0m，选项A 错误，B 正确；03t0 时间内，水平力 F 的平均功率 P Wt F0s12F0s23t08F20t03m，选项 C 正确，D 错误答案 BC专题二 动能定理和机械能守恒定律机械能守恒定律与动能定理的比较【典例 2】如图
6、所示，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB 是长为 R 的水平直轨道，BCD 是圆心为 O、半径为 R 的34圆弧轨道，两轨道相切于 B 点在外力作用下，一小球从 A 点由静止开始做匀加速直线运动，到达 B 点时撤除外力已知小球刚好能沿圆弧轨道经过最高点 C，重力加速度大小为 g.求：(1)小球在 AB 段运动的加速度的大小；(2)小球从 D 点运动到 A 点所用的时间解析(1)小球在 BCD 段运动时，受到重力 mg、轨道的正压力N 作用，受力分析如图所示由题意知 N0，且小球在最高点 C 所受轨道的正压力为零，即 NC0.设小球在 C 点的速度大小为 vC，根据牛顿第二定律有 mgmv2
7、CR 小球从 B 点运动到 C 点的过程中，机械能守恒以地面为零势能面，设小球在 B 点的速度大小为 vB，则有12mv2B12mv2C2mgR小球在 AB 段由静止开始做匀加速运动，设加速度大小为 a，由运动学公式得 v2B2aR联立以上各式解得 a52g.(2)设小球在 D 点的速度大小为 vD，下落到 A 点时的速度大小为v，根据机械能守恒定律，小球从 B 点运动到 D 点的过程，有12mv2B12mv2DmgR小球从 B 点运动到 A 点的过程，根据机械能守恒，有12mv2B12mv2设小球从 D 点运动到 A 点所用的时间为 t，根据运动学公式有gtvvD解得 t(5 3)Rg.答案
8、(1)52g(2)(5 3)Rg机械能守恒定律多与其他知识相结合进行综合命题，一般为多过程问题，难度较大.解答此类题目时一定要注意机械能守恒的条件，分析在哪个过程中机械能守恒，然后列式求解，不能盲目使用机械能守恒定律.针对训练 2 如图所示，小球沿倾角 30的粗糙斜面顶端由静止开始滑下，与位于斜面底端 A 处且垂直于斜面的木板碰撞后反向弹回，假设每次与木板碰撞后都能弹回本次下滑距离的23，空气阻力不计，小球与木板碰撞后无动能损失，且 A、B 间距离 l06 m，求小球在静止前所通过的总路程为多少解析 设小球与斜面间的动摩擦因数为，球沿斜面下滑过程的受力分析图如图所示，研究小球第一次由静止从距
9、A 端 l0 处的 B 点下滑和碰撞弹回上升到速度为零的全过程，由动能定理得mgl023l0 sinmgl023l0 cos0即 15tan球最终一定停在 A 处，研究球从 B 处静止下滑到最终停在 A 处的全过程，由动能定理得 mgl0sinmgcosl 总0所以小球通过的总路程 l 总l0tan5l030 m.答案 30 m专题三 解决力学问题的两条途径1动力学的观点这是从分析物体的运动情况和受力情况入手解决力学问题的方法，其核心是牛顿运动定律和运动学公式的应用利用牛顿第二定律可以就某一状态建立合力与加速度的关系，利用运动学公式可以建立v、x、t、a 之间的关系它们之间联系的桥梁是物体的加
10、速度2能量的观点这是从分析力对物体做功与物体的能量转化情况入手解决问题的方法，其核心是利用常见的功能关系与能量守恒定律求解物理问题【典例 3】如图所示，质量为 m1 kg 的物体以 v02 m/s 的速度滑到水平传送带上的 A 点，物体和传送带之间的动摩擦因数为 0.2，传送带 AB 之间的距离为 L5 m，传送带一直以 v4 m/s 的速度匀速运动，求：(g 取 10 N/kg)(1)物体从 A 运动到 B 的过程中，摩擦力对物体做了多少功？(2)物体从 A 运动到 B 的过程中产生的热量(3)物体从 A 运动到 B 的过程中，带动传送带转动的电动机多做了多少功？(4)若传送带逆转，摩擦力对
11、物体做了多少功？解析(1)设物体加速到 v4 m/s 时，位移为 s，则 sv2v202g 3 mg 时，W1W2；当 ag 时，W1W2；当 ag 时，W1W2，故 D 项正确答案 D3某车以相同的功率在两种不同的水平路面上行驶，受到的阻力分别为车重的 k1 和 k2 倍，最大速率分别为 v1 和 v2，则()Av2k1v1Bv2k1k2v1Cv2k2k1v1Dv2k2v1解析 根据机车的启动规律可知，当牵引力等于阻力时，车速最大，有 vmPFf，又 Ffkmg，则v1v2Ff2Ff1k2k1，B 项正确答案 B4质量为 m 的汽车在平直路面上启动，启动过程的速度时间图象如图所示，从 t1
12、时刻起汽车的功率保持不变，整个运动过程中汽车所受阻力恒为 Ff，则()At1t2 时间内，汽车的平均速度等于v1v22B0t1 时间内，汽车的牵引力等于 mv1t1Ct1t2 时间内，汽车的功率等于mv1t1Ff v1D汽车运动的过程中最大速度 v2mv21Fft1解析 t1t2 时间内，汽车做加速运动，平均速度不等于v1v22，故 A 错误；0t1 时间内，汽车的加速度 av1t1，根据牛顿第二定律知，汽车所受的合力 F 合mamv1t1，则牵引力大于 mv1t1，故 B 错误；汽车做匀加速运动，有 FFfma，解得 FFfmv1t1，则汽车的功率 PFv1mv1t1Ff v1，故 C 正确
13、；汽车的额定功率 Pmv1t1Ff v1，当速度最大时，牵引力等于阻力，则最大速度 v2PFfmv1t1Ff v1Ff，故 D 错误答案 C5.从空中以 40 m/s 的初速度平抛一重为 10 N 的物体，物体在空中运动 3 s 落地，不计空气阻力，取 g10 m/s2，则物体落地前瞬间，重力的瞬时功率及落地过程中重力势能的变化量分别为()A300 W 450 J B400 W 150 JC500 W 300 J D700 W 0解析 物体落地瞬间 vygt30 m/s，PGmgvy300 WEpmghmg12gt2450 J.答案 A6如图所示是半径为 r 的竖直光滑圆形轨道，将一玩具小车放
14、到与轨道圆心 O 处于同一水平面的 A 点，并给小车一竖直向下的初速度，使小车沿轨道内侧做圆周运动要使小车不脱离轨道，则在 A处使小车获得竖直向下的最小初速度应为()A.7grB.5grC.3grD.2gr解析 小车恰好不脱离轨道的条件是在最高点满足 mgmv2r.小车沿轨道内侧做圆周运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒设小车在 A 处获得的最小初速度为 vA，以 A 点所在水平面为零势能面，由机械能守恒定律得12mv2Amgr12mv2，解得 vA 3gr.故选项 C 正确答案 C7如图所示，质量为 m 的物块与转台之间能出现最大静摩擦力，且为物块重力的 k 倍，它与转轴 OO相距 R，物
15、块随转台由静止开始转动，当转速缓慢地增加到某一定值时，物块即将在转台上滑动在物块由静止到开始滑动前的这一过程中，转台对物块做的功为()A0 B2mgRC2kmgRD.12kmgR解析 设物块开始滑动时的速度大小为 v，则 kmgmv2R，而根据动能定理 W12mv2，故转台对物块做的功 W12kmgR，D 正确答案 D8(多选)如图所示，利用倾角为 的传送带把一个质量为 m 的木箱匀速传送 L 距离，这时木箱升高 h，木箱和传送带始终保持相对静止关于此过程，下列说法正确的是()A木箱克服重力做功 mghB摩擦力对木箱做功为零C摩擦力对木箱做功为 mgLcos，其中 为摩擦因数D摩擦力对木箱做功
16、为 mgh解析 木箱和传送带间的摩擦力为静摩擦力，对木箱做正功，木箱匀速运动，根据动能定理，摩擦力对木箱做的功等于木箱克服重力做的功 mgh，A、D 正确答案 AD9.(多选)如图所示，某段滑雪雪道倾角为 30，总质量为 m(包括雪具在内)的滑雪运动员从距底端高为 h 处的雪道上由静止开始匀加速下滑，加速度为13g.在他从上向下滑到底端的过程中，下列说法正确的是()A运动员减少的重力势能全部转化为动能B运动员获得的动能为23mghC运动员克服摩擦力做功为23mghD下滑过程中系统减少的机械能为13mgh解析 运动员的加速度为13g，沿斜面：mgsin30Ffm13g，Ff16mg，Wf16mg
17、2h13mgh，所以 A、C 项错误，D 项正确；Ekmgh13mgh23mgh，B 项正确答案 BD10(多选)地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送到地面某竖井中矿车提升的速度大小 v 随时间 t 的变化关系如图所示，其中图线分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，提升的质量相等不考虑摩擦阻力和空气阻力对于第次和第次提升过程，()A矿车上升所用的时间之比为 45B电机的最大牵引力之比为 21C电机输出的最大功率之比为 21D电机所做的功之比为 45解析 由题意可知两次提升过程位移相等，故图线、所围面积相等，有12t012v012v0(t2t0
18、)，解得 t52t0，两次上升时间之比为45，A 正确；加速阶段牵引力 F 最大且恒定，两次提升加速度相等，由牛顿第二定律 aFmgm可知，两次牵引力大小相等，B 错误；由电机输出的功率 PFv 可知，加速阶段 F 最大且相等，此时 v 最大则 P 最大，两阶段最大速度之比为 21，所以最大功率之比为 21，C 正确；由功能关系可知，电机做的功 WmghEk，而 Ek0，提升的高度相同，故电机做的功相等，D 错误答案 AC二、填空题(本题共 2 小题，共 16 分)11(6 分)某同学用如下图所示的实验装置探究外力做功与小车动能变化的关系(1)实验中，该同学让小车从静止开始运动一段位移，利用打
19、点计时器测得了小车的速度 v 和位移 x，读取了弹簧测力计的示数 T，还测得了小车的质量 M，沙桶的质量 m，则细线对车做的功可以用 W_来计算(2)实验中，该同学改变拉力，仍让小车从静止开始运动，保持位移一定，测得 W 与 v 对应的多组数据，得到如右图所示的 Wv2 关系图象，但与预期的过原点直线不符，经检查测量、计算与作图均无误你认为主要原因是_；实验操作中改进的具体措施是_.解析(1)细线的拉力等于弹簧测力计的示数 T，则细线对车所做的功 WTx.(2)因没有平衡小车的摩擦力，故细线拉力对小车所做的功 W12Mv2Wf.(其中 Wf 为小车克服阻力所做的功)答案(1)Tx(2)小车受到
20、了阻力 将平板左端适当垫高平衡小车受到的摩擦力12(10 分)在验证机械能守恒定律的实验中：(1)实验中动能的增加量应略_(选填“大于”、“小于”或“等于”)重力势能的减少量，其主要原因是_A重物下落的实际距离大于测量值B重物下落的实际距离小于测量值C重物下落受到阻力D重物的实际末速度大于计算值(2)甲、乙两位同学分别得到 A、B 两条纸带，他们的前两个点间的距离分别是 1.9 mm、4.0 mm.那么应该选用_同学的纸带，一 定 存 在 操 作 误 差 的 同 学 是 _，可 能 的 错 误 原 因 是_(3)如下图所示，有一条纸带，各点距 A 点的距离分别为 d1，d2，d3，各相邻点间的
21、打点时间间隔为 T，当地重力加速度为 g.要用它来验证重物从 B 到 G 处的机械能是否守恒，则 B 点的速度表达式为 vB_，G 点的速度表达式为 vG_，若 B 点和 G点的速度 vB、vG 及 BG 间的距离 h 均为已知量，则当满足_时，重物的机械能守恒解析(1)做验证机械能守恒定律的实验时，由于空气阻力以及纸带与限位孔之间的摩擦，重物动能的增加量要略小于重力势能的减少量，选项 C 正确(2)当重物自由下落时，第一、二两点之间的距离 h12gT22 mm，由此可知甲同学的纸带最为理想，乙同学所得出的纸带，开始两点之间的距离明显大于 2 mm，这说明他在操作过程中开始打点时，纸带已经具有
22、了速度，可能原因是乙同学在实验时先释放重物，后接通电源(或释放纸带的初速度不为零等)(3)根据匀变速直线运动中，时间中点的瞬时速度等于该过程中的平均速度，得出 B、G 两点的瞬时速度大小分别为 vBd22T，vGd7d52T，若机械能守恒，则有 mgh12mv2B12mv2G，即有 v2Gv2B2gh.答案(1)小于 C(2)甲 乙 乙同学在实验时先释放重物，后接通电源(或释放纸带的初速度不为零等)(3)d22T d7d52T v2Gv2B2gh三、计算题(本题共 4 小题，共 44 分要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位，只写结果的，不能得分)13(10 分)如图所示，绳的一
23、端固定在天花板上，通过一动滑轮将质量 m10 kg 的物体由静止开始以 2 m/s2 的加速度提升 3 s求绳的另一端拉力 F 在 3 s 内所做的功(g 取 10 m/s2，滑轮和绳的质量及摩擦均不计)解析 解法一：物体受到两个力的作用：拉力 F和重力 mg，由牛顿第二定律得 Fmgma，所以 Fm(ga)10(102)N120 N，则力 F12F60 N.物体从静止开始运动，3 s 内的位移为l12at212232 m9 m，力 F 作用在绳的端点，而在物体发生 9 m 位移的过程中，绳的端点的位移为 2l18 m，所以力 F 做的功 WF2l6018 J1080 J.解法二：本题还可用等
24、效法求力 F 的功由于滑轮和绳的质量及摩擦均不计，所以拉力 F 做的功和拉力 F对物体做的功相等，即 WFWFFl1209 J1080 J.答案 1080 J14(10 分)汽车的质量为 4103 kg，额定功率为 30 kW，运动中阻力大小恒为车重的 0.1.汽车在水平路面上从静止开始以 8103 N 的牵引力出发，(g 取 10 m/s2)求：(1)汽车所能达到的最大速度 vmax；(2)汽车能保持匀加速运动的最长时间 tm；(3)汽车加速度为 0.6 m/s2 时的速度 v；(4)在匀加速运动的过程中发动机做的功 W.解析(1)汽车在水平路面上匀速行驶时，此时达到最大速度，汽车的功率达到
25、额定功率 P 额，则有 F 牵F 阻，P 额F 牵vmaxF 阻vmax，所以 vmaxP额F阻，代入数据得 vmax7.5 m/s.(2)当汽车以恒定的牵引力启动，即以加速度 a 匀加速启动，根据牛顿第二定律可得：F 牵F 阻ma，又由 vat 知汽车的速度不断增加所以可得：汽车的输出功率将不断增大，当 P 出P 额时，汽车功率不再增加，此时汽车的匀加速运动将结束，速度为 vt，则有 P 额F牵vtF 牵atm，tm P额F牵aP额F牵F牵F阻m，代入数据解得 tm3.75 s.(3)汽车的加速度为 0.6 m/s2 时的牵引力 FF 阻ma，代入数据可解得 F6.4103 N8103 N.
26、说明匀加速运动过程已经结束，此时汽车的功率为 P 额，所以由 P 额Fv 可得 v P额F301036.4103 m/s4.7 m/s.(4)汽车在匀加速运动过程中，发动机做的功，也就是牵引力所做的功为：WF 牵xmaxF 牵12F牵F阻mt2m，代入数据可得 W5.6104 J.答案(1)7.5 m/s(2)3.75 s(3)4.7 m/s(4)5.6104 J15(12 分)如图甲所示，质量 m1 kg 的物体静止在光滑的水平面上，t0 时刻，物体受到一个变力 F 作用，t1 s 时，撤去力 F，某时刻物体滑上倾角为 37的粗糙斜面；已知物体从开始运动到斜面最高点的 vt 图象如图乙所示，
27、不计其他阻力，求：(1)变力 F 做的功(2)物体从斜面底端滑到最高点过程中克服摩擦力做功的平均功率(3)物体回到出发点的速度解析(1)物体 1 s 末的速度 v110 m/s，根据动能定理得：WF12mv2150 J(2)物体在斜面上升的最大距离：x12110 m5 m物体到达斜面时的速度 v210 m/s，到达斜面最高点的速度为零，根据动能定理：mgxsin37Wf012mv22解得：Wf20 J，P Wft 20 W(3)设物体重新到达斜面底端时的速度为 v3，则根据动能定理：2Wf12mv2312mv22解得：v32 5 m/s此后物体做匀速直线运动，到达原出发点的速度为 2 5 m/
28、s答案(1)50 J(2)20 W(3)2 5 m/s16(12 分)光滑水平面 AB 与竖直面内的圆形导轨在 B 点连接，导轨半径 R0.5 m，一个质量 m2 kg 的小球在 A 处压缩一轻质弹簧，弹簧与小球不拴接用手挡住小球不动，此时弹簧弹性势能 Ep49 J，如图所示放手后小球向右运动脱离弹簧，沿圆形轨道向上运动恰能通过最高点 C，g 取 10 m/s2.求：(1)小球脱离弹簧时的速度大小(2)小球从 B 到 C 克服阻力做的功(3)小球离开 C 点后落回水平面时的动能大小解析(1)根据机械能守恒定律Ep12mv21v12Epm 2492m/s7 m/s(2)由动能定理得mg2RWf12mv2212mv21小球恰能通过最高点，故mgmv22R由得 Wf24 J(3)根据机械能守恒定律mg2REk12mv22由得 Ek25 J答案(1)7 m/s(2)24 J(3)25 J