1、上海市杨浦区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 函数的零点是 2. 计算： 3. 若的二项展开式中项的系数是，则 4. 掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为 5. 若、满足，则目标函数的最大值为 6. 若复数满足，则的最大值是 7. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3、3、2的三角形，则该圆锥的体积是 8. 若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则 9. 若，则的值为 10. 若为等比数列，且，则的最小值为 11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，. 若为钝角，则的面积为 12. 已知非零向量、不
2、共线，设，定义点集. 若对于任意的，当，且不在直线上时，不等式恒成立，则实数的最小值为 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知函数的图象如图所示，则的值为（ ） A. B. C. D. 14. 设A、B是非空集合，定义：且.已知，则等于（ ）A. B. C. D. 15. 已知，则“”是“直线与平行”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要16. 已知长方体的表面积为，棱长的总和为24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大值为（ ） A. B. C. D. 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17
3、. 共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用，据市场分析，每辆单车的营运累计利润y（单位：元）与营运天数x满足函数关系式.（1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围；（2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润的值最大？18. 如图，在棱长为1的正方体中，点E是棱AB上的动点.（1）求证：；（2）若直线与平面所成的角是45，请你确定点E的位置，并证明你的结论.19. 已知数列，其前项和为，满足，其中，.（1）若，（），求数列的前项和；（2）若，且，求证：数列是等差数列.20. 已知椭圆，直线不过原点O且不平行于坐标轴，与有两 个交点A、B
4、，线段AB的中点为M.（1）若，点K在椭圆上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；（2）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（3）若过点，射线OM与交于点P，四边形能否为平行四边形？ 若能，求此时的斜率；若不能，说明理由21. 记函数的定义域为D. 如果存在实数、使得对任意满足且的x恒成立，则称为函数.（1）设函数，试判断是否为函数，并说明理由；（2）设函数，其中常数，证明：是函数；（3）若是定义在上的函数，且函数的图象关于直线（m为常数）对称，试判断是否为周期函数？并证明你的结论.上海市杨浦区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5
5、分，共54分）1. 函数的零点是 【解析】2. 计算： 【解析】3. 若的二项展开式中项的系数是，则 【解析】4. 掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为 【解析】5. 若、满足，则目标函数的最大值为 【解析】三个交点为、，所以最大值为36. 若复数满足，则的最大值是 【解析】结合几何意义，单位圆上的点到的距离，最大值为27. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3、3、2的三角形，则该圆锥的体积是 【解析】8. 若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则 【解析】9. 若，则的值为 【解析】，10. 若为等比数列，且，则的最小值为 【解析】11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，. 若
6、为钝角，则的面积为 【解析】，12. 已知非零向量、不共线，设，定义点集. 若对于任意的，当，且不在直线上时，不等式恒成立，则实数的最小值为 【解析】建系，不妨设，设，即，点在此圆内，二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知函数的图象如图所示，则的值为（ ） A. B. C. D. 【解析】，选C14. 设A、B是非空集合，定义：且.已知，则等于（ ）A. B. C. D. 【解析】，选A15. 已知，则“”是“直线与平行”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要【解析】推出直线平行或重合，选B16. 已知长方体的表面积为，棱长的
7、总和为24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大值为（ ） A. B. C. D. 【解析】设三条棱，整理得， 最短棱长为1，体对角线长为，选D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用，据市场分析，每辆单车的营运累计利润y（单位：元）与营运天数x满足函数关系式.（1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围；（2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润的值最大？【解析】（1）要使营运累计收入高于800元，令， 2分解得. 5分所以营运天数的取值范围为40到80天之间
8、.7分（2） 9分 当且仅当时等号成立，解得 12分 所以每辆单车营运400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为20元每天 .14分18. 如图，在棱长为1的正方体中，点E是棱AB上的动点.（1）求证：；（2）若直线与平面所成的角是45，请你确定点E的位置，并证明你的结论.【解析】以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则， C(0,1,0) ，D1(0,1,2) ，A1(1,0,1)，设（1）证明：，2分 4分 所以DA1ED1. 6分另解：，所以. 2分又，所以. 4分所以 6分（2）以A为原点，AB为x轴、AD为y轴、AA1为z轴建立空间直角坐标系7分所以、，设，则 8分设平面CED
9、1的法向量为，由可得，所以，因此平面CED1的一个法向量为 10分由直线与平面所成的角是45，可得 11分可得，解得 13分由于AB=1，所以直线与平面所成的角是45时，点在线段AB中点处. 14分19. 已知数列，其前项和为，满足，其中，.（1）若，（），求数列的前项和；（2）若，且，求证：数列是等差数列.【解析】（1），所以.两式相减得.即 2分所以，即， 3分又，所以，得 4分因此数列为以2为首项，2为公比的等比数列.，前n项和为 7分（2）当n = 2时，所以. 又，可以解得， 9分所以，两式相减得即. 猜想，下面用数学归纳法证明： 10分 当n = 1或2时，猜想成立； 假设当（）时
10、， 成立则当时，猜想成立.由、可知，对任意正整数n，. 13分所以为常数，所以数列是等差数列. 14分另解：若，由，得，又，解得 9分由， ，代入得，所以，成等差数列，由，得，两式相减得：，即所以 11分相减得：所以所以， 因为，所以，即数列是等差数列.14分20. 已知椭圆，直线不过原点O且不平行于坐标轴，与有两 个交点A、B，线段AB的中点为M.（1）若，点K在椭圆上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；（2）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（3）若过点，射线OM与交于点P，四边形能否为平行四边形？ 若能，求此时的斜率；若不能，说明理由【解析】（1）椭圆，两个焦点、，设所以由于，所以，
11、 3分由椭圆性质可知，所以5分（2）设直线（），所以为方程的两根，化简得，所以，. 8分，所以直线的斜率与的斜率的乘积等于为定值. 10分（3）直线过点，不过原点且与有两个交点的充要条件是，设 设直线（），即.由（2）的结论可知，代入椭圆方程得12分由（2）的过程得中点， 14分若四边形为平行四边形，那么M也是OP的中点，所以，得，解得所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形 16分21. 记函数的定义域为D. 如果存在实数、使得对任意满足且的x恒成立，则称为函数.（1）设函数，试判断是否为函数，并说明理由；（2）设函数，其中常数，证明：是函数；（3）若是定义在上的函数，且函数的图象关于直线（m
12、为常数）对称，试判断是否为周期函数？并证明你的结论.【解析】（1）是函数 . 1分理由如下：的定义域为，只需证明存在实数，使得对任意恒成立.由，得，即.所以对任意恒成立. 即 从而存在，使对任意恒成立.所以是函数. 4分（2）记的定义域为，只需证明存在实数，使得当且时，恒成立，即恒成立.所以， 5分化简得，.所以,. 因为，可得，,即存在实数，满足条件，从而是函数. 10分（3）函数的图象关于直线（为常数）对称，所以 （1）， 12分又因为 （2）， 所以当时，由（1） 由（2） （3）所以（取由（3）得）再利用（3）式，.所以为周期函数，其一个周期为. 15分当时，即，又，所以为常数. 所以函数为常数函数，是一个周期函数. 17分综上，函数为周期函数 18分（其他解法参考评分标准，酌情给分）