1、第6节双曲线一、教材概念结论性质重现1双曲线的定义(1)定义：一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a|F1F2|.则平面上满足|PF1|PF2|2a的动点P的轨迹称为双曲线(2)相关概念：两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当ac时，点P不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2
2、(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴实轴|A1A2|2a；虚轴|B1B2|2b；半实轴长为a，半虚轴长为ba，b，c的关系c2a2b2(ca0，cb0)3.常用结论(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径(2)与双曲线1(a0，b0)有共同的渐近线的方程可表示为(0)(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(4)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|minac，|PF2|minca.二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)平面内到点F1(0,2)，F2(0，2)距离之差的绝对值等于4的点的
3、轨迹是双曲线( )(2)方程1(mn0)表示焦点在y轴上的双曲线( )(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )2双曲线y21的焦点坐标是()A(，0)，(，0)B(2,0)，(2,0)C(0，)，(0，)D(0，2)，(0,2)B解析：由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2a2b2314，所以c2，故焦点坐标为(2,0)，(2,0)3若双曲线1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.B5 C.D2A解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为0，即bxay0，2a
4、b.又a2b2c2，5a2c2.e25，e.4经过点A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_1解析：设双曲线方程为x2y2(0)，把点A(3，1)代入，得8，故所求双曲线方程为1.5已知双曲线x21上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于_6解析：设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|4，则|PF1|PF2|2，故|PF2|6或2.又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为ca1，故|PF2|6.考点1双曲线的定义基础性 (1)(2020浙江卷)已知点O(0,0)，A(2,0)，B(2,0)设点P满足|PA|PB|2，且P为函数y3图像上的点，则|OP|()A
5、. B. C. D.D解析：由双曲线定义可知，点P在以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上设P(x，y)，则x21(x1)，将y3代入可得x2，所以y23(x21)，所以|OP|.故选D.(2)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为2，左焦点为F1，点Q(0，c)(c为半焦距)P是双曲线C的右支上的动点，且|PF1|PQ|的最小值为6，则双曲线C的方程为_x21解析：设双曲线右焦点为F2，则|PF1|PF2|2a，所以|PF1|PQ|2a|PF2|PQ|，而|PF2|PQ|的最小值为|QF2|2c，所以|PF1|PQ|最小值为2a2c6.又2，解得a1，c2，于是b23，故双曲线C的方程
6、为x21.利用双曲线的定义求方程要注意的问题(1)实轴长为距离之差的绝对值(2)2a|F1F2|.(3)焦点所在坐标轴的位置1已知两圆C1：(x4)2y22，C2：(x4)2y22，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是()A.x0 B.1(x)C.1 D.1或x0D解析：动圆M与两圆C1，C2都相切，有四种情况：动圆M与两圆都外切；动圆M与两圆都内切；动圆M与圆C1外切、与圆C2内切；动圆M与圆C1内切、与圆C2外切在情况下，动圆圆心M的轨迹方程为x0.在的情况下，设动圆M的半径为r，则|MC1|r，|MC2|r.故得|MC1|MC2|2.在的情况下，同理得|MC2|MC1|
7、2.由得|MC1|MC2|2.已知|C1C2|8，根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1(4，0)，C2(4,0)为焦点的双曲线，且a，c4，b2c2a214，其方程为1.故选D.2(2020深圳市高三二模)已知双曲线C：1(a0，b0)的焦点分别为F1(5,0)，F2(5，0)，P为双曲线C上一点，PF1PF2，tan PF1F2，则双曲线C的方程为()Ax21 B.y21C.1 D.1A解析：如图，因为PF1PF2，tan PF1F2，|F1F2|10，所以|PF1|8，|PF2|6.根据双曲线的定义可得 |PF1|PF2|2a2，即a1，所以b2c2a225124，所以双曲线C的方程为x
8、21.考点2双曲线的方程综合性(1)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3)B(1，)C(0,3)D(0，)A解析：因为双曲线的焦距为4，所以c2，即m2n3m2n4，解得m21.又由所给方程表示双曲线得(1n)(3n)0，解得1n0，b0)，过抛物线y24x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为()A.1 B.x21C.y21 Dx2y21D解析：由题意知双曲线的两条渐近线互相垂直，所以双曲线C为等轴双曲线，渐近线的斜率分别为1和1.因为直线l与一条渐近线平行，抛物线y24x的焦点为(1,
9、0)，所以1，即b1.所以双曲线C的方程为x2y21.故选D.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值与双曲线1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为(0)(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值1已知双曲线C：1，则双曲线C的焦点坐标为()A(5,0)B(，0)C(0，5)D(0，)C解析：双曲线的焦点坐标在y轴上，又a216，b29，则c2a2b225，即c5，故双曲线的焦点坐标为(0，5)2(多选题)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(5,0)
10、，F2(5,0)，则能使双曲线C的方程为1的是()A离心率为 B双曲线过点C渐近线方程为3x4y0 D实轴长为4ABC解析：双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(5,0)，F2(5,0)，可得c5.如果离心率为，可得a4，则b3.所以双曲线C的方程为1，所以A正确；由c5，双曲线过点，可得解得a4，b3，所以双曲线C的方程为1，所以B正确由c5，渐近线方程为3x4y0，可得，a2b225，解得a4，b3，所以双曲线C的方程为1，所以C正确由c5，实轴长为4，可得a2，b，双曲线C的方程为1，所以D不正确3与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)的双曲线方程为_1解析：设
11、与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2k.将点(2，2)代入得k(2)22，所以双曲线的标准方程为1.考点3双曲线的几何性质综合性考向1双曲线的渐近线若双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()Ayx ByxCyx DyxA解析：(方法一)由题意知，e，所以ca，所以ba，即，所以该双曲线的渐近线方程为yxx.(方法二)由e，得，所以该双曲线的渐近线方程为yxx.求双曲线的渐近线的方法已知双曲线1(a0，b0)或1(a0，b0)的方程，求渐近线的方程时，可令0，得yx；或令0，得yx.反之，已知渐近线方程为yx，可设双曲线方程为(a0，b0，0)考向2求双曲线的离心率(1)(
12、2020浏阳一模)已知双曲线C1：1(a0，b0)，圆C2：x2y22axa20.若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是()A BC(1,2)D(2，)A解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为yx，即bxay0，圆C2：x2y22axa20可化为(xa)2y2a2，圆心C2的坐标为(a,0)，半径ra.由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得2b，即c24b2.又知b2c2a2，所以c24(c2a2)，即c2a2，所以e1，所以双曲线C1的离心率的取值范围为.(2)(2020江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1(a0)的一条渐近线方
13、程为yx，则该双曲线的离心率是_解析：因为双曲线1(a0)的渐近线方程为yx，所以，所以a2，则离心率e.求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)求a，b，c的值，由1直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解考向3与双曲线有关的最值和范围问题已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点若0，则y0的取值范围是()A. B.C. D.A解析：因为F1(，0)，F2(，0)，y1，所以(x0，y0)(x0，y0)xy30，即3y10，解得y00，b0)的一条渐近线与圆(x2)2(y1)21相
14、切，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.B解析：由题意知，双曲线C的渐近线方程为byax0，结合图形(图略)易知与圆相切的只可能是byax0.又圆心坐标为(2,1)，则1，得3a4b，所以9a216b216(c2a2)，则e2.又e1，故e.2已知焦点在x轴上的双曲线1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是_(0,2)解析：对于焦点在x轴上的双曲线1(a0，b0)，它的一个焦点(c,0)到渐近线bxay0的距离为b.双曲线1，即1，其焦点在x轴上，则解得4m0，b0)的左顶点、右焦点以及右支上的动点若PFA2PAF恒成立，则双曲线的离心率为()A BC2D1四字程序读想算思A，F分别是
15、双曲线的左顶点和右焦点，P是双曲线上的动点1.双曲线的离心率的表达式是什么？2如何把几何条件PFA2PAF转化为代数式子？设PAF，建立PAF和PFA之间的联系数形结合PFA2PAF，求双曲线的离心率1.e；2转化为直线的倾斜角，进而用直线的斜率表示二者之间的关系tanPFAtan 2利用特殊值法或者代数运算，都要结合图形解决问题思路参考：特殊值法，不妨设PFA90求解C解析：因为PFA2PAF恒成立，不妨令PFA90，则PAF45.在双曲线1中，令xc，易得P.因为tanPAF1，所以ac，所以c2ac2a20，所以(ca)(c2a)0，解得c2a，即e2.思路参考：利用诱导公式表示出直线P
16、A，PF之间斜率的关系求解C解析：设PAF，PFA2，kPAk1，kPFk2，k2tan(2).设点P(x0，y0)，故1，因为k2，k1，所以，联立消去y0得：x(4a2c)x0c22ac0，(*)当且仅当时，(*)式恒成立，此时e2.思路参考：造构相似三角形，结合平面几何知识求解C解析：如图1，ACB2ABC，由平面几何知识，ACDBAD，故，所以c2b2ab，反之亦然 图1 图2在双曲线中，设点P(x0，y0)，过点P作PMAF，如图2.因为PFA2PAF，同理可得|PA|2|PF|2|AF|PF|，又|PA|2|PF|2(|AM|2|MP|2)(|MF|2|MP|2)(|AM|MF|)
17、(|AM|MF|)|AF|(2x0ac)，所以|PF|2x0ac.由双曲线的焦半径公式知，|PF|ex0a，所以2x0acex0a，此时e2.思路参考：设出点P(m，n)，利用过两点的斜率公式与倾斜角关系求解C解析：如图，作PMAF于M，设PAF，PFA2，设点P(m，n)在RtPAM中，tan ，在RtPFM中，tan 2.因为tan 2，所以，所以2(ma)(cm)(ma)2n2，所以2(ma)(cm)(ma)2b2，所以2m22(ca)m2acm22amc2恒成立所以所以e2.1本题考查双曲线的离心率的计算，其基本策略是根据双曲线的几何性质寻找a，c的关系式2基于课程标准，解答本题要熟练掌握双曲线的定义，直线的斜率公式和正切的二倍角公式，体现了数学运算的核心素养3基于高考数学评价体系，本题通过知识间的相互联系和转化，体现了基础性和综合性的统一已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()AB2 CD2D解析：(方法一)由离心率e，得ca.又b2c2a2，得ba，所以双曲线C的渐近线方程为yx.由点到直线的距离公式，得点(4,0)到双曲线C的渐近线的距离为2.(方法二)离心率e的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是yx，所以点(4,0)到双曲线C的渐近线的距离为2.
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