1、2.7 函数的图象第一章集合与常用逻辑用语第二章函数的概念、基本初等函数()及函数的应用1.作函数的图象的两种基本方法(1)利用描点法作图，其一般步骤为：确定函数定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；描点并作出函数图象.(2)图象变换法.2.图象变换的四种形式(1)平移变换水平平移：yf(x)的图象向左平移 a(a0)个单位长度，得到_的图象；yf(xa)(a0)的图象可由 yf(x)的图象向_平移 a 个单位长度而得到；竖直平移：yf(x)的图象向上平移 b(b0)个单位长度，得到_的图象；yf(x)b(b0)的图象可由 yf(x)的图象向_平移 b 个单
2、位长度而得到.总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减”.(2)对称变换yf(x)，yf(x)，yf(x)三个函数的图象与 yf(x)的图象分别关于、对称；若对定义域内的一切 x 均有 f(mx)f(mx)，则 yf(x)的图象关于直线对称.(3)伸缩变换要得到 yAf(x)(A0)的图象，可将 yf(x)的图象上每点的纵坐标伸(A1 时)或缩(A0)的图象，可将 yf(x)的图象上每点的横坐标伸(a1 时)到原来的_.(4)翻折变换y|f(x)|的图象作法：作出 yf(x)的图象，将图象位于 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方，上方的部分不变；yf(|x|)的图象
3、作法：作出 yf(x)在 y 轴右边的图象，以 y轴为对称轴将其翻折到左边得 yf(|x|)在 y 轴左边的图象，右边的部分不变.自查自纠2.(1)yf(xa)右 yf(x)b 下(2)y 轴 x 轴 原点 xm (3)A 倍 1a倍 1.若 loga20，且 a1)，则函数 f(x)loga(x1)的图象大致是()A B C D解：因为 loga20，所以 0a1，由 f(x)loga(x1)的单调性可知 A，D 错误，再由定义域知 B 选项正确故选 B.2.函数 y1 1x1的图象是()A B C D 解：将 y1x的图象向右平移 1 个单位长度，再向上平移1 个单位长度，即可得到函数 y
4、1 1x1的图象，选项 B 符合题意故选 B.3.(2019 全国卷)函数 f(x)sinxxcosxx2在，的图象大致为()A B C D解：函数是奇函数，排除 A，又 f()0，排除 B，C.故选 D.4.已知函数 f(x)的部分图象如图所示，若不等式2f(xt)4 时，由 f(x)3 x0，得 x3，得 x9，若 a，b，c 互不相等，不妨设 abc，因为 f(a)f(b)f(c)，所以由图象可知 1a2b4c9，由 f(a)f(b)，得 1log2alog2b1，即 log2alog2b2，即 log2(ab)2，则 ab4，所以 abc4c，因为 4c9，所以 164c36，即 16
5、abc0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y 12|x|的图象，如图实线部分 (2)将函数 ylog2x 的图象向左平移一个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去，即可得到函数 y|log2(x1)|的图象，如图.(3)因为 y2 1x1，故函数图象可由 y1x图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位即得，如图.(4)yx22x1，x0，x22x1，x0.其图象如图.评析 画函数图象的一般方法：直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.图象变换法.若函数图象可由基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象
6、变换作出，应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.变式 1 作出下列函数的图象：(1)y|x24x3|；(2)y2x1x1；(3)y10|lgx|.解：(1)先画出函数 yx24x3 的图象，再将其 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方，如图.(2)y2x1x1 2 1x1，可由 y1x的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到，如图.(3)y10|lgx|x，x1，1x，0 x1如图所示 类型二 识图例 2(1)设函数 f(x)2x，则如图所示的函数图象对应的函数是()A.yf(|x|)B.y|f(x)|C.yf(|x|)D.yf(|x|)解：图中是函数 y2|x|
7、的图象，即函数 yf(|x|)的图象故选 C.(2)(2018浙江)函数 y2|x|sin2x 的图象可能是()A B C D解：函数 y2|x|sin2x 是奇函数，故排除 A，B 选项不论 x 取何值，2|x|始终大于 0.当 x0，2 时，sin2x0，故y2|x|sin2x0，图象在 x 轴的上方；当 x2，时，sin2x0，故 y2|x|sin2xcaB.cbaC.bacD.cab解：由题意可知，a 是函数 y2x 与 ylog12x 的交点的横坐标，b 是函数 y 12x与 ylog2x 的交点的横坐标c 是 y 12x与 yx23的交点的横坐标，在同一个平面直角坐标系中，作出函数
8、 y2x，ylog12x，y 12x，ylog2x，yx23的图象，结合图象，得 bac.故选 C.(3)(2019衡阳市高三第一次联考)若函数 f(x)的图象上存在两个不同点 A，B 关于原点对称，则称 A，B 两点为一对“优美点”，记作(A，B)，规定(A，B)和(B，A)是同一对“优美点”.已知 f(x)|cosx|，x0，lg（x），x0，则函数 f(x)的图象上共存在“优美点”()A.14 对 B.3 对 C.5 对 D.7 对解：与 ylg(x)的图象关于原点对称的函数是 ylgx，函数f(x)的图象上的优美点的对数，即方程|cosx|lgx(x0)的解的个数，也是函数 y|cos
9、x|与 ylgx 的图象的交点个数，在同一直角坐标系中分别作函数 y|cosx|与 ylgx 的图象，如图 f(3)1，f(10)1，而 9310，故由图可知，共有 7个交点，函数 f(x)的图象上存在“优美点”共有 7 对故选 D.评析 函数图象应用广泛，是研究函数性质不可或缺的工具.数形结合应以快、准为前提，充分利用“数”的严谨和“形”的直观，互为补充，互相渗透.变式 3(1)(2018深圳质检)设函数 y2x1x2，关于该函数图象的命题如下：一定存在两点，这两点的连线平行于 x 轴；任意两点的连线都不平行于 y 轴；关于直线 yx 对称；关于原点中心对称.其中正确的是_.(填写所有正确命
10、题的编号)解：y2x1x2 2（x2）3x22 3x2，图象如图所示，x2 及y2 是其渐近线，则不正确，正确y2 3x2由 y3x向右、向上平移 2 个单位得到，由 y3x关于 yx 对称知正确，不正确故仅正确故填.(2)(2018安徽江淮十校 4 月联考)若直角坐标系内 A，B 两点满足：点 A，B 都在函数 f(x)的图象上；点 A，B 关于原点对称，则称点对(A，B)是函数 f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”.已知函数 f(x)x22x，x0，2ex，x0，则 f(x)的“和谐点对”有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个解：作出函数 yx2
11、2x(x0)关于原点对称的图象，观察它与函数 y2ex(x0)的图象的交点个数即可，由图象可得交点个数为 2，即f(x)的“和谐点对”有 2 个故选 B.(3)已知函数 f(x)(xR)满足 f(2x)4f(x4)，若函数 y2x2x3与 yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则i1m(xiyi)()A.3mB.5mC.6mD.10m解：因为 f(2x)4f(x4)，即 f(2x)f(x4)4，令 t2x，x2t，则有 f(t)f(6t)4(利用“若函数 f(x)满足 f(x)f(2ax)2b，则函数 f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称图形”)，所以 f(
12、x)的图象关于点(3，2)对称 因为 y2x2x3 2（x3）8x32 8x3也关于点(3，2)对称，所以 x1x2x3xmm263m，y1y2y3ymm242m，则i1m(xiyi)x1x2x3xm y1y2y3ym5m.故选 B.1.涉及函数图象问题的主要考查形式(1)知图选(求)式.(2)知式选(作)图.(3)图象变换.(4)图式结合等.对基本初等函数，要“胸有成图”，会“依图判性”，进而达到对图“能识会用”.2.识图与用图(1)识图：对于给定的图象，要能从图象的左、右、上、下分布的范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、最大值、最小值等.(2)用图：函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，使问题成功获解的重要依托.函数图象主要应用于以下方面：求函数的解析式；求函数的定义域；求函数的值域；求函数的最值；判断函数的奇偶性；求函数的单调区间；解不等式；证明不等式；探求关于方程根的分布问题；比较大小；求函数周期；求参数范围等.3.图象对称性的证明(1)证明函数的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上.(2)证明曲线 C1 与 C2 的对称性，即证明 C1 上任一点关于对称中心(或对称轴)的对称点在 C2 上，反之亦然.