1、高考资源网（） 您身边的高考专家第6节立体几何中的向量方法证明平行与垂直一、教材概念结论性质重现1直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量，记作0l平面的法向量如果是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面垂直，则称n为平面的一个法向量，记作n(1)若l是空间一条直线，A，B是l上任意两点，则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量(2)设a，b是平面内两个不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为2空间位置关系的向量
2、表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmmn0lnmnm平面，的法向量分别为n，mnmnmnmnm0用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量ab(R)即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)直线的方向向量是唯一确定的( )(2)平面的单
3、位法向量是唯一确定的( )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行( )(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行( )(5)若ab，则a所在直线与b所在直线平行( )(6)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行( )2若直线l的方向向量a(1，3,5)，平面的法向量n(1,3，5)，则有()AlBlCl与斜交Dl或lB解析：由an知，na，则有l.故选B.3平面的一个法向量为(1,2，2)，平面的一个法向量为(2，4，k)若，则k等于()A2 B4 C4 D2C解析：因为，所以两平面的法向量平行，所以，所以k4.4若平面，垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是()An1(1,
4、2,1)，n2(3,1,1)Bn1(1,1,2)，n2(2,1,1)Cn1(1,1,1)，n2(1,2,1)Dn1(1,2,1)，n2(0，2，2)A解析：两个平面垂直时其法向量也垂直，只有选项A中的两个向量垂直5两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，则l1与l2的位置关系是_平行解析：因为v22v1，所以v1v2.又l1与l2不重合，所以l1l2.考点1利用空间向量证明平行问题基础性1如图，平面PAD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，则平面EFG与平面PBC的位置关系是
5、()A相交B平行C垂直D不能确定B解析：因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PAAD，且四边形ABCD为正方形，所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0，2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)因为(0,1,0)，(0,2,0)，所以2，所以BCEF.又因为EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF平面PBC，同理可证GFPC，从而得出GF平面PBC.又EFGFF，EF平面EFG，FG平面EFG，所以平面EFG平面PBC.2如图，在四
6、棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，ABCBCD90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30角求证：CM平面PAD.证明：由题意知，CB，CD，CP两两垂直，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.因为PC平面ABCD，所以PBC为PB与平面ABCD所成的角，所以PBC30.因为PC2，所以BC2，PB4，所以D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，所以(0，1,2)，(2，3,0)，.设n(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，由
7、得取y2，得x，z1，所以n(，2,1)是平面PAD的一个法向量因为n2010，所以n.又CM平面PAD，所以CM平面PAD.利用空间向量证明线面、面面平行的方法(1)证明线面平行的常用方法：证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面；证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行；证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(2)证明面面平行常用的方法：利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面；证明两个平面的法向量平行；证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量考点2利用空间向量证明垂直问题综合性如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上
8、已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM3.试证明平面AMC平面BMC.证明：(1)如图所示，以O为坐标原点，分别以射线OD，OP为y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0，3,0)，B(4,2,0)，C(4，2,0)，P(0,0,4)，所以(0,3,4)，(8,0,0)，所以(0,3,4)(8,0,0)0，所以，即APBC.(2)由(1)知|5，又|3，且点M在线段AP上，所以.又(4，5,0)，所以，则(0,3,4)0，所以，即APBM.由(1)知APBC，且BCBMB，所以AP平面BMC，于是AM平面B
9、MC.又AM平面AMC，故平面AMC平面BMC.利用空间向量证明线面、面面垂直的方法(1)证明线面垂直的常见思路：将线面垂直的判定定理用向量表示；证明直线的方向向量与平面的法向量共线(2)证明面面垂直的常见思路：利用面面垂直的判定定理，证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量；证明两平面的法向量互相垂直1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM所成的角为_90解析：以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M
10、，O，N，O0，所以ON与AM所成的角为90.2如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)AECD；(2)PD平面ABE.证明：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设PAABBC1，则P(0,0,1)(1)因为ABC60，所以ABC为正三角形所以C，E.设D(0，y,0)，由ACCD，得0，即y，则D，所以.又，所以0，所以，即AECD.(2)(方法一)由(1)知，D，P(0，0,1)，所以.又(1)0，所以，即PDAE.因为(1,0,0)，所以0.所以PDA
11、B.又ABAEA，AB，AE平面AEB，所以PD平面AEB.(方法二)由(1)知，(1,0,0)，设平面ABE的一个法向量为n(x，y，z)，则令y2，则z，所以n(0,2，)为平面ABE的一个法向量因为，显然n.因为n，所以平面ABE，即PD平面ABE.考点3利用空间向量解决与平行、垂直有关的综合问题应用性考向1存在性问题如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD；(2)若SD平面PAC，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，则ACBD
12、.由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点，OB，OC，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系设底面边长为a，则高SOa，所以S，D，B，C，所以，则0.故OCSD.所以ACSD.(2)解：棱SC上存在一点E使得BE平面PAC，此时SEEC21.理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且，.设t(0t1)，则t，又0，所以aa0，所以t.即当SEEC21时，.而BE平面PAC，故BE平面PAC.“是否存在”型问题的两种探索方式(1)根据条件做出判断，再进一步论证(2)利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求
13、出，或有矛盾，则判定“不存在”考向2折叠问题如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.(1)证明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值(1)证明：由已知可得BFPF，BFEF，PFEFF，PF，EF平面PEF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.(2)解：如图，作PHEF，垂足为H.由(1)得，PH平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得，DEPE.又DP2，DE1，所以PE.又PF1
14、，EF2，所以EF2PE2PF2，所以PEPF.所以PH，EH.则H(0,0,0)，P，D，.又为平面ABFD的一个法向量，设DP与平面ABFD所成的角为，则sin |cos，|.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.解决折叠问题的关键是弄清折叠前后的不变量如图1，在RtABC中，C90，BC3，AC6，D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE2.将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图2.(1)若M是A1D的中点，求直线CM与平面A1BE所成角的大小；(2)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由解：(1)由折叠的性质得CDDE，A1DDE.又
15、CDA1DD，所以DE平面A1CD.又因为A1C平面A1CD，所以A1CDE.又A1CCD，CDDED，所以A1C平面BCDE.建系如图，则C(0,0,0)，D(2,0,0)，A1(0，0,2)，E(2,2,0)，B(0,3,0)，所以(0,3，2)，(2,2，2)设平面A1BE的一个法向量为n(x，y，z)，则所以取z，则x1，y2，所以n(1,2，)为平面A1BE的一个法向量又因为M(1,0，)，所以(1,0，)，所以cos，n.所以CM与平面A1BE所成角的大小为45.(2)假设线段BC上存在点P满足条件，设P点坐标为(0，a,0)，a0,3，所以(0，a，2)，(2，a,0)设平面A1DP的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则取y16，则x13a，z1a，所以n1(3a,6，a)若平面A1DP与平面A1BE垂直，则n1n0，所以3a123a0，即6a12，所以a2.因为0a3，所以a2舍去所以线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直高考资源网版权所有，侵权必究！
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