1、四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高二数学6月月考（期中）试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知复数，则 ( )A. B. 1+2iC. D. 【答案】B【解析】【分析】根据共轭复数的定义易得.【详解】解：复数，则.故选：B.【点睛】考查共轭复数的定义，基础题.2.某同学为了调查支付宝中的75名好友的蚂蚁森林种树情况，对75名好友进行编号，分别为1，2，75，采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知11号，26号，56号，71号好友在样本中，则样本中还有一名好友的编号是（ ）A. 40B. 41C. 42D. 39【答案】B【解析】【分
2、析】根据系统抽样等距性即可确定结果.【详解】根据系统抽样等距性得：11号，26号，56号，71号以及还有一名好友的编号应该按大小排列后成等差数列，样本中还有一名好友的编号为26号与56号的等差中项，即41号，故选：B【点睛】本题考查系统抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.3.如图所示，程序框图算法流程图的输出结果是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】模拟程序图框的运行过程，得出当时，不再运行循环体，直接输出S值【详解】模拟程序图框运行过程，得S=0,n=2,n0在(1,+)上有解.因此结合的单调性求出其在(1,+)上的最值,即可得出结论.【详解】f(x)2ax在(1,+)上存在
3、单调递增区间,只需0在(1,+)上有解即可.由已知得,该函数开口向下,对称轴为,故在(1,+)上递减,所以=2a0,解得a0.故选:D.【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用,难度不大.9.甲、乙两人约定某天晚上6：007：00之间在某处会面，并约定甲早到应等乙半小时，而乙早到无需等待即可离去，那么两人能会面的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是，写出满足条件的事件是，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果【详解】解：由题意知本题是一个几何概型，设甲到的时间为，乙到的时间为，则试验包含的所有事件是，事
4、件对应的集合表示的面积是，满足条件的事件是，则，则事件对应的集合表示的面积是，根据几何概型概率公式得到；所以甲、乙两人能见面的概率故选：D【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，要解决此问题，一般要通过把试验发生包含的事件所对应的区域求出，根据集合对应的图形面积，用面积的比值得到结果10.从、中选出四个数，组成没有重复数字的四位数，其中偶数有（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对个位数是否为进行分类讨论，利用分类加法计数原理可求得结果.【详解】若个位数为，则其余三个数位上的数没有限制，此时，符合条件的四位数的偶数个数为；若个位数不是，则个位数为或，首位不能排，此时，符合条件
5、的四位数的偶数个数为.综上所述，符合条件的四位数的偶数个数为.故选：A.【点睛】本题考查数字的排列问题，解题时要对个位数字是否为零进行分类讨论，考查分类加法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.11.我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来x2，类似地不难得到（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知求的例子，令，即，解方程即可得到的值.【详解】令，即，即，解得(舍)，故故选：C【点睛】本题考查
6、归纳推理，算术和方程，读懂题中整体代换的方法、理解其解答过程是关键，属于基础题.12.已知函数的导数满足对恒成立，且实数，满足，则下列关系式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令，求导后结合题意可得函数单调递增，进而可得；举出反例可判断A、C；由指数函数的单调性可判断B；令，求导后由函数单调性可判断D；即可得解.【详解】令，则，所以函数单调递增，又，所以，所以，对于A，当，时，此时，故A错误；对于B，由指数函数的单调性可得，故B错误；对于C，当，时，此时，故C错误；对于D，令，则，所以函数单调递增，所以即，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查
7、了运算求解能力与构造新函数的能力，合理构造新函数是解题关键，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.（为虚数单位）的虚部是_.【答案】【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则可得，再由复数虚部的概念即可得解.【详解】由题意.所以的虚部是.故答案为：.【点睛】本题考查了复数的运算及复数虚部的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.14.已知，则函数的值域是_.【答案】【解析】【分析】对函数求导后，根据、的解集，确定函数的单调区间，进而可得函数的最值，即可得解.【详解】对函数求导得，所以当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；又，所以函数的值域是.故答案为：.【点睛】本题
8、考查了利用导数求函数的值域，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于基础题.15.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同参赛方案种数为_.【答案】96【解析】【分析】根据题意，分2种情况讨论选出参加竞赛的4人，选出的4人没有甲；选出的4人有甲；分别求出每一种情况下分选法数目，由分类计数原理计算可得答案【详解】根据题意，从5名学生中选出4人分别参加竞赛，分2种情况讨论：选出的4人没有甲，即选出其他4人即可，有种情况；选出的4人有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，在剩余4人中任选3人，参加剩下的三科竞赛，有，则此时共有种选法；综上，总共有
9、种不同的参赛方案；答案选D【点睛】本题考查分类计数原理，属于基础题16.已知函数，若方程f（x）m=0恰有两个实根，则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】通过求导，得出分段函数各段上单调性，从而画出图像.若要方程f（x）m=0恰有两个实根，只需y=m与y=f（x）恰有两个交点即可，从而得出的取值范围.【详解】（1）x0时，f（x）=exx1，易知f（0）=0，而f（x）=ex10，所以f（x）在（，0上递减，故f（x）f（0）=0，故f（x）在（，0上递增，且f（x）f（0），当x时，f（x）.（2）x0时，令f（x）0，得0xe；f（x）0得xe；故f（x）在（0，e）上递增，在（
10、e，+）递减，故x0时，；x0时，f（x）；x+时，f（x）0由题意，若方程f（x）m=0恰有两个实根，只需y=m与y=f（x）恰有两个交点，同一坐标系画出它们的图象如下：如图所示，当直线y=m在图示，位置时，与y=f（x）有两个交点，所以m的范围是：.故答案为：.【点睛】本题考查了方程根的问题转化为函数图像交点问题，以及利用导数求函数单调性.考查了转化思想和数形结合，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，1822题，每小题12分17.已知二项式；（1）若展开式中第5项为常数项，求其常数项.（2）若展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列，求展开式中二
11、项式系数最大的项.【答案】（1）60；（2），【解析】【分析】（1）首先写出二项式展开式的通项，由第5项为常数项，求出，从而计算可得；（2）依题意可得，成等差数列，即可得到方程求出，即可求解；【详解】解：（1）.展开式中第5项为常数项，常数项为60.（2）由题意得：第2项二项式系数：，第3项二项式系数：，第4项二项式系数：，二项式系数最大的项为第4项，第5项，.【点睛】本题考查二项式定理的应用，特定项系数的求法，考查计算能力，属于中档题18.已知命题p：，若p为真命题，求实数m的取值范围；若有命题q：，当为真命题且为假命题时，求实数m的取值范围【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（）由题得
12、且，解不等式即得m的取值范围. （）先转化为，再求的最大值得m的范围，因为为真命题且为假命题时，所以真假或假真， 从而得到关于m的不等式组，解不等式组即得解.【详解】（）， ，且，解得为真命题时，. （）， ，.又时，. 为真命题且为假命题时，真假或假真， 当假真，有，解得；当真假，有，解得； 为真命题且为假命题时， 或【点睛】(1)本题主要考查不等式的恒成立问题，考查不等式的存在性问题，考查复合命题的真假判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.19.某校在高二数学竞赛初赛后，对90分及以上的
13、成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若分数段的参赛学生人数为2.（1）求该校成绩在分数段的参赛学生人数；（2）估计90分及以上的学生成绩的众数、中位数和平均数（结果保留整数）【答案】（1）人；（2）众数为115，中位数约为113，平均数约为113【解析】【分析】（1）首先求分数在分数段的参赛学生的频率，再求样本容量，再求成绩在的频率，最后求人数；（2）众数是频率分布直方图最高的矩形所在成绩区间的中点，中位数的左右两侧的频率分别都是0.5，平均数是每一组的中间值乘以本组的频率的和，根据定义分别计算.【详解】解：（1）由题可知：分数段的参赛学生频率为：，（人）.成绩在分数段的参赛学生频率为：，
14、该校成绩在分数段的参赛学生人数为：（人）.（2）由图可知：90分及以上的学生成绩的众数为（分）.设90分及以上的学生成绩的中位数为x.，90分及以上的学生成绩的中位数为113分.90分及以上的学生成绩的平均数为：90分及以上的学生成绩的众数为115，中位数约为113，平均数约为113.【点睛】本题考查频率分布直方图的简单应用，重点考查样本容量，频率，频数，中位数，众数，平均数，属于基础题型.20.某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关，得到的统计数据如下表：月份12345销量（百台）0.60.81.21.61.8（1）经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量（
15、百件）与月份之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测6月份该商场空调的销售量；（2）若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查.假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：有购买意愿对应的月份789101112频数60801201308030现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率.参考公式与数据：线性回归方程，其中，.【答案】（1）
16、；2.16（百台）；（2）【解析】【分析】（1）由题意计算平均数与回归系数，写出线性回归方程，再利用回归方程计算对应的函数值；（2）利用分层抽样法求得抽取的对应人数，用列举法求得基本事件数，再计算所求的概率值【详解】（1）因为，所以，则，于是关于的回归直线方程为.当时，（百台）.（2）现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，则购买意愿为7月份的抽4人记为，购买意愿为12月份的抽2人记为，从这6人中随机抽取3人的所有情况为、，共20种，恰好有2人是购买意愿的月份是12月的有、，共4种，故所求概率为.【点睛】本题考查了线性回归方程与列举法求古典概型的概率问题
17、，是中档题21.已知函数，其中.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若恒成立，求实数b的范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由函数求导得到，分， ，四种情况讨论求解.（2）将恒成立，转化为恒成立，令，用导数法求其最小值即可.【详解】（1），定义域为.，.令，则，.当时，令，则；令，则.在上单调递增；在上单调递减.当时，令，则；令，则或.在，上单调递减；在上单调递增.当时，令，则在上单调递减.当时，令，则；令，则或.在，上单调递减；在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递增；在上单调递减.当时，在，上单调递减；在上单调递增.当时，在上单调递减.当时， 在，上单调递减；在上单调
18、递增.（2），且当时，恒成立.恒成立.令，即.，在上单调递减；在上单调递增，.【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立问题，还考查了分类讨论和转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.22.已知函数.（1）讨论的极值；（2）若有两个零点，证明：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可得到极值；（2）根据零点的概念得到，利用分析法只需证：，令，即证，设，根据函数的单调性证明即可.【详解】（1），当时，由于，故，所以在内单调递减，无极值；当时，由，得，在上，在上，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，函数有极小值，无极大值，综上：当时，无极值；当时，有极小值，无极大值.（2）函数有两个零点，不妨设，由（1）得，且，则，即，要证：，需证：，只需证：，只需证：，只需证：，只需证：，令，即证，设，则，即函数在单调递减，则，即得.【点睛】本题主要考查了函数的单调性和极值与导数的关系，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查不等式的证明，属于综合题.