1、第 1页深圳高级中学(集团）2019-2020学年高三第一次测试文科数学一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1集合|6AxN x，|22BxRx，则 AB=（）A0,5,6B5,6C4,6D|46xx2.若复数12izi ,则 z 的虚部为（）A.15iB15C 15 iD.153.已知向量 a(4，x)，b(4,4)，若 ab，则 x 的值为()A0B4C4D44.已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（）A.B.C.D.5.下列函数中，在其定义域上为增函数的是（）A2xy BxeyCxxys
2、inDxy6各项均为正数的等比数列 na的前项和为nS，若32,14nnSS，则4nS（）A.80B.16C.26D.307.设函数Rxxfy),(,“)(xfy 是偶函数”是“)(xfy 的图像关于原点对称”的()A.充分不必要条件B.必要不充条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。若该公司 2015 年全年投入研发奖金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长 12，则该公司全年投入的研发奖金开始超过 200 万元的年份是(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)A.2018 年B.2019
3、年C.2020 年D.2021 年9.将函数 3sin 2cos2f xxx的图象向右平移 6，再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 g x 的图象，则下列说法正确的是（）A.函数 g x 的最大值是 31B.函数 g x 的最小正周期为C.函数 g x 在区间2,63上单调递增D.函数 g x 的图像关于直线3x对称第 2页10.如图，平面四边形 ABCD 中，E,F 是 AD,BD 中点，AB=AD=CD=2，02 2,90BDBDC，将 ABD沿对角线 BD 折起至A BD，使平面A BDBCD，则四面体ABCD中，下列结论不正确的是（）A./EF平面A BCB
4、.异面直线 CD 与A B 所成的角为090C.异面直线 EF 与A C 所成的角为060D.直线A C 与平面 BCD 所成的角为03011.已知,(0,),sinsin02，则下列不等式一定成立的是（）A.2B.2C.D.12已知函数,1()(2),1xexf xf xx，若方程()10f xm x恰有两个不同实根，则正实数 m 的取值范围为A1(,1)(1,1)2eeB1(,1)(1,12eeC1(,1)(1,1)3eeD1(,1)(1,13ee二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13函数 1ln1xf xx的值域为_.14若1sinsin3a 则._coscos22a15
5、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列 na是等和数列，且21 a，公和为 5，这个数列的前2n-1项和21nS _.16.已知三棱锥 PABC 的所有棱长都相等，现沿 PA，PB，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为 2 6，则三棱锥 PABC 的内切球的体积为_第 3页三、解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 10 分）等差数列 na中，410a 且3610aaa，成等比数列，求数列 na前
6、20 项的和20S18.(本题满分 12 分）在 ABC中，角 A、B、C 所对的边分别为cba、，且满足AbBacos3sin。（1）求角 A 的大小；（2）若4a，求 ABC周长的最大值。19.（本小题满分 12 分）已知数列 na的前 n 项和为nS，11,2a 202)nnnnSa San（）求证：数列1nS是等差数列；（）求123111+23nSSSSn第 4页20.（本小题满分 12 分）在ABC 中，,2,332sinABABC点 D 在线段 AC 上，且334,2BDDCAD,（I）求ABCCOS；（II）求 BC 和 AC 的长21.（本小题满分 12 分）如图，AB 是圆
7、O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A，B 的点，PO 垂直于圆 O 所在的平面，且 PO=OB=1（）若 D 为线段 AC 的中点，求证：AC平面 PDO；（）求三棱锥 P-ABC 体积的最大值；（）若C2，点 E 在线段 PB 上，求 CE+OE 的最小值22.（本小题满分 12 分）函数 0ln1212axxaaxxf.（）讨论函数 fx 的单调性；（）当0a时，方程 mxxf在区间21,e 内有唯一实数解，求实数 m 的取值范围第 5页2019-2020学年第一学期高三年级第一次测试文科数学答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
8、题目要求的.题号123456789101112答案BDCACDBBCCCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13.14.1315.51,21()25,2()2nnnkkNSn nk kN 16.32 三、解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 10 分）等差数列 na中，410a 且3610aaa，成等比数列，求数列 na前 20 项的和20S解：设数列 na的公差为d，则3410aadd，642102aadd，1046106aadd 由3610aaa，成等比数列得23 106a aa，即2(10)(106)(102
9、)ddd，整理得210100dd，解得0d 或1d 当0d 时，20420200Sa当1d 时，143103 17aad ，20120 19202Sad20 7 190330 18.(本题满分 12 分）在 ABC中，角 A、B、C 所对的边分别为cba、，且满足AbBacos3sin。（1）求角 A 的大小；（2）若4a，求 ABC周长的最大值。18 解：（1）依正弦定理BbAasinsin可将AbBacos3sin化为ABBAcossin3sinsin又因为在 ABC中，0sinB所以有3tancos3sinAAA，即.A0,3 A（2）因为 ABC的周长cbcba4，所以当cb 最大时，
10、ABC的周长最大.第 6页解法一：316)(3)(cos21622222cbbcbccbAbccba4)(2cbbc且864)(4)(316)(222cbcbcbcb（当且仅当4 cb时等号成立）所以 ABC周长的最大值 1219.（本小题满分 12 分）已知数列 na的前 n 项和为nS，11,2a 202)nnnnSa San（）求证：数列1nS是等差数列；（）求123111+23nSSSSn19.（）证明：因为当2n 时，1nnnaSS，所以211()0nnnnnnSSSSSS所以110nnnnSSSS,2 分因为11,2a 所以216a ，所以10nnSS，3 分所以1111nnSS
11、4 分所以1nS是以112S 为首项，以 1 为公差的等差数列 6 分（）由（）可得1211nnnS ，所以11nSn.8 分所以 1111(1)1nSnn nnn 10 分所以12311111111+1+232231nSSSSnnn11111nnn 12 分20.（本小题满分 12 分）在ABC 中，,2,332sinABABC点 D 在线段 AC 上，且334,2BDDCAD,（I）求ABCCOS；（II）求 BC 和 AC 的长20.（）、3133212sin21cos22ABCABC.4 分第 7页（）、设bDCaBC,则bACbAD3,2在 ABC中，ABCCOSBCABBCABAC
12、2222,即,31224922aabaab344922.6 分在 ABC中，bbBDA2334244316cos2，.8 分由0cosBDACOSBDC得6322 ab.10 分由、解得1,3ba，所以 BC=3，AC=3.12 分21.（本小题满分 12 分）如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A，B 的点，PO 垂直于圆 O 所在的平面，且 PO=OB=1（）若 D 为线段 AC 的中点，求证：AC平面 PDO；（）求三棱锥 P-ABC 体积的最大值；（）若C2，点 E 在线段 PB 上，求 CE+OE 的最小值21 解法一：（）在 AOC中，因为,OAOC D为 AC
13、 的中点，所以 ACDO又 PO 垂直于圆O 所在的平面，所以 POAC因为 DOPOO，所以 AC 平面 PDO.（）因为点C 在圆O 上，所以当COAB时，C 到 AB 的距离最大，且最大值为 1.又2AB，所以 ABC面积的最大值为 12 1 12 又因为三棱锥 PABC的高1PO ，故三棱锥 PABC体积的最大值为 111 133 （）在 POB中，1,90POOBPOB，所以22112PB,同理2PC，所以 PBPCBC在三棱锥 PABC中，将侧面 BCP 绕 PB 旋转至平面 BC P，使之与平面 ABP 共面，如图所示。当,O E C共线时，CEOE取得最小值又因为,OPPB C
14、 PC B，所以OC垂直平分 PB，即 E 为 PB 中点从而2622OCOEEC262，亦即CEOE的最小值为262.第 8页解法二：（）（）同解法一.（）在 POB中，1,90POOBPOB，所以2245,112OPBPB，同理2PC 所以 PBPCBC，所以60CPB.在三棱锥 PABC中，将侧面 BCP 绕 PB 旋转至平面 BC P，使之与平面 ABP 共面，如图所示。当,O E C共线时，CEOE取得最小值.所以在 OC P中，由余弦定理得：21 22 12 cos(4560)OC 2123122 2()2222 23从而26232OC 所以CEOE的最小值为262.22.（本小题
15、满分 12 分）函数 0ln1212axxaaxxf.（）讨论函数 fx 的单调性；（）当0a时，方程 mxxf在区间21,e 内有唯一实数解，求实数 m 的取值范围22.【解析】（I）1111,0axxfxaxaxxx，（i）当0a时，xxxf1，令 0 xf,得10 x，令 0 xf,得1x，函数 f(x)在1,0上单调递增，,1上单调递减；（2 分）（ii）当10 a时，令 0 xf，得11 x,112 ax（3 分）令 0 xf,得axx1,10，令 0 xf,得ax11，函数 f(x)在1,0和,1a上单调递增，a1,1上单调递减；（4 分）（iii）当1a时，0 xf，函数 f(x
16、)在,0上单调递增；（5 分）（iv）当1a时，110 a（6 分）令 0 xf,得1,10 xax，令 0 xf,得11 xa，（7 分）函数 f(x)在a1,0和,1上单调递增，1,1a上单调递减；（8 分）第 9页综上所述：当0a时，函数 f(x)的单调递增区间为1,0，单调递减区间为,1；当10 a时，函数 f(x)的单调递增区间为1,0和,1a，单调递减区间为a1,1；当1a时，函数 f(x)的单调递增区间为,0；当1a时，函数 f(x)的单调递增区间为a1,0和,1，单调递减区间为1,1a（9 分）（II）当0a时，xxxfln，由 mxxf，得mxxxln，又0 x，所以1lnx
17、xm，要使方程 mxxf在区间21,e 上有唯一实数解，只需1lnxxm有唯一实数解，（10 分）令 01lnxxxxg，2ln1xxxg，由 0 xg得ex 0；0 xg得ex，()g x 在区间e,1上是增函数，在区间2,ee上是减函数.（11 分）11g，11 eeg，1222 eeg，故2211me 或11me（12 分）第 10页一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1集合|6AxN x，|22BxRx，则 AB=（）A0,5,6B5,6C4,6D|46xx2.若复数12izi ,则 z 的虚部为（）A.15iB15C
18、15 iD.153已知向量 a(4，x)，b(4,4)，若 ab，则 x 的值为()A0B4C4D44.已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（）A.B.C.D.5.下列函数中，在其定义域上为增函数的是（）A2xy BxeyCxxysinDxy6各项均为正数的等比数列 na的前项和为nS，若32,14nnSS，则4nS（）A.80B.16C.26D.307.设函数Rxxfy),(,“)(xfy 是偶函数”是“)(xfy 的图像关于原点对称”的()A.充分不必要条件B.必要不充条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入
19、。若该公司 2015 年全年投入研发奖金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长 12，则该公司全年投入的研发奖金开始超过 200 万元的年份是(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)A.2018 年B.2019 年C.2020 年D.2021 年9.将函数 3sin 2cos2f xxx的图象向右平移 6，再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 g x 的图象，则下列说法正确的是（）A.函数 g x 的最大值是 31B.函数 g x 的最小正周期为C.函数 g x 在区间2,63上单调递增D.函数 g x 的图像关
20、于直线3x对称10.如图，平面四边形 ABCD 中，E,F 是 AD,BD 中点，AB=AD=CD=2，02 2,90BDBDC，将 ABD沿对角线 BD 折起至A BD，使平面A BDBCD，则四面体ABCD中，下列结论不正确的是（）A./EF平面A BC第 11页B.异面直线 CD 与A B 所成的角为090C.异面直线 EF 与A C 所成的角为060D.直线A C 与平面 BCD 所成的角为03011.已知,(0,),sinsin02，则下列不等式一定成立的是（）A.2B.2C.D.12已知函数,1()(2),1xexf xf xx，若方程()10f xm x恰有两个不同实根，则正实数
21、 m 的取值范围为A1(,1)(1,1)2eeB1(,1)(1,12eeC1(,1)(1,1)3eeD1(,1)(1,13ee二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13函数 1ln1xf xx的值域为_.13.14若1sinsin3a 则._coscos22a1315定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列 na是等和数列，且21 a，公和为 5，这个数列的前2n-1项和21nS _.53n 16.已知三棱锥 PABC 的所有棱长都相等，现沿 PA，PB，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为 2 6，则三棱锥 PABC 的内切球的体积为_32 三棱锥 P-ABC 展开后为一等边三角形，设边长为 a，则 4 6asin3，a6 2，三棱锥 P-ABC棱长为 3 2，三棱锥 P-ABC 的高为 2 3，设内切球的半径为 r，则 413rSABC13SABC2 3，r 32，三棱锥 P-ABC 的内切球的体积为43r3 32.
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