1、考前过关训练(二)证明不等式的基本方法 (35分钟60分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知mn,若x=m4-m3n,y=mn3-n4,则x,y的大小关系为()A.xyB.x=yC.x0,即xy.2.求证:-.证明:欲证-,只需证+2,只需证(+)2(2)2,只需证10+220,只需证5,只需证2125,这显然成立.所以-.上述证明过程应用了()A.综合法B.分析法C.综合法、分析法配合使用D.间接证法【解析】选B.根据分析法的特点可知,上述证明过程是分析法.3.若1x10,下面不等式中正确的是()A.(lgx)2lgx2lg(lgx)B.lgx2(lgx)2lg(lgx)C.(lgx
2、)2lg(lgx)lgx2D.lg(lgx)(lgx)2lgx2【解析】选D.因为1x10,所以0lgx1,0(lgx)21,0lgx22,lg(lgx)0.又(lgx)2-lgx2=(lgx)2-2lgx=lgx(lgx-2)0,所以(lgx)2lgx2.所以lg(lgx)(lgx)2lgx2.【一题多解】选D.因为1x10,所以0lgx1,lg(lgx)0,结合选项知A,B,C错误.4.若a,b,c为ABC的三条边,S=a2+b2+c2,p=ab+bc+ac,则()A.S2pB.pSpD.pS2p【解析】选D.S-p=a2+b2+c2-(ab+bc+ac)=(a-b)2+(b-c)2+(a
3、-c)20,所以Sp.又因为|a-b|c,|b-c|a,|a-c|b;所以a2-2ab+b2c2,b2-2bc+c2a2,a2-2ac+c2b2.所以a2+b2+c22(ab+bc+ac),所以SBB.ABC.ABD.AB【解析】选A.因为a,b,c是ABC的三边长,所以ca+b,所以B=+=A,所以B0,y0,可设x=sin2,y=cos2,故+=sin+cos=sin(+).二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2016沈阳高二检测)设,为锐角,P=sin(+),Q=sin+sin,则P与Q的大小关系为_.【解析】因为,为锐角,P-Q=sin(+)-(sin+sin)=sin(cos-1
4、)+sin(cos-1)0,所以PQ.答案:P2,+2,所以+2+2.所以+.即MN.答案:MN三、解答题(每小题10分,共30分)10.已知0a1,求证:+9.【证明】因为(3a-1)20,所以9a2-6a+10.所以1+3a9a(1-a).因为0a1,所以9,即9,所以+9.11.已知a2+b2=1,x2+y2=1,试用分析法证明:ax+by1.【证明】要证ax+by1成立,只需证1-(ax+by)0,只需证2-2ax-2by0,因为a2+b2=1,x2+y2=1,只需证a2+b2+x2+y2-2ax-2by0,即证(a-x)2+(b-y)20,显然成立.所以ax+by1.12.设数列an
5、的前n项和Sn满足:Sn=nan-2n(n-1).等比数列bn的前n项和为Tn,公比为a1,且T5=T3+2b5.(1)求数列an的通项公式.(2)设数列的前n项和为Mn,求证:Mn.【解析】(1)因为等比数列bn的前n项和为Tn,公比为a1,且T5=T3+2b5,所以b4+b5=2b5,所以b4=b5,所以公比a1=1,故等比数列bn是常数数列.数列an的前n项和Sn满足:Sn=nan-2n(n-1),当n2时,an=Sn-Sn-1=nan-2n(n-1)-(n-1)an-1-2(n-1)(n-2),所以an-an-1=4(n2),所以数列an是以1为首项,以4为公差的等差数列,an=4n-3.(2)因为数列的前n项和为Mn,=,所以Mn=.再由数列Mn是增数列,所以MnM1=.综上可得,Mn.
